第二十六章 反比例函数（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第26章 反比例函数（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列函数中不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．如果双曲线经过点，那么此双曲线也一定经过（   ） A． B． C． D． 3．在反比例函数图象在第一、三象限上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点A为反比例函数 的图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，已知△ABO的面积为3，则k值为(     ) ． A．-3 B．3 C．-6 D．6 5．已知反比例函数 ，当 时， 的取值范围是（  ） A． B． C． D． 6．已知圆柱体体积一定，则它的底面积与高之间的函数图象大致为（      ） A． B． C． D． 7．函数的图象经过点（1，－2），则函数的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．已知电功率与电压、电阻的关系式是：．当两个灯泡并联接在电压为的电路中时，如果它们的电功率的比，那么它们的电阻的比（    ） A．2 B．4 C． D． 9．反比例函数的图象上有，，三点．下列选项正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 10．如图，函数：与函数的图象交于A，B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆C上，Q是的中点，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．反比例函数的图象位于第 象限． 12．已知，当 时，是的反比例函数． 13．在，，这三个数中任选两个数分别作为点的横坐标和纵坐标，过点画双曲线（为常数，），则该双曲线位于第一、三象限的概率是 ． 14．如图，在矩形中，，，是上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，若时，则 ． 15．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是 ． 16．如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数的图象经过C，D两点，已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为 ． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 18．（8分）已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点． (1)求这两个函数的表达式； (2)在同一坐标系中画出上述两个函数图象，观察图象：当时，直接写出自变量x的取值范围． 19．（8分）在温度不变的条件下，一定量的气体的压强与它的体积成反比例．已知当时，． (1)求p与V的函数表达式； (2)当p不超过时，直接写出V的取值范围． 20．（8分）如图，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点在反比例函数的图象上．一次函数的图象过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接和，求的面积； 21．（8分）如图，点在轴的正半轴上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交轴于点，记四边形的面积为． (1)若点的纵坐标为2，求的值； (2)求证：无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 22．（10分）小明同学利用寒假30天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为10元/千克，在第天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致）： 销售量 （千克） 销售单价 （元/千克） 当 时， 当 时， 设第天的利润元． （1）请计算第几天该品种草莓的销售单价为25元/千克？ （2）这30天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？注：利润＝（售价－成本）×销售量 23．（10分）如图，直线过点， (其中，).反比例函数的图象与直线交于C，D两点，连接. （1）已知，的面积为S，问：当n为何值时，S取最大值？并求这个最大值； （2）若，，当，，的面积都相等时，求p的值． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的函数表达式； (2)过点作轴，垂足为． ①点在轴正半轴上，且，将直线向下平移个单位长度得到直线，若直线经过点，求的值； ②若直线与轴交于点，连接交轴于，求的长及的面积． 25．（14分）如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当最小时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当以C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26章 反比例函数（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列函数中不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：是反比例函数，故A选项不合题意； 可变形为，是反比例函数，故B选项不合题意； 是一次函数，不是反比例函数，故C选项符合题意； 可变形为，是反比例函数，故D选项不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的识别，解题的关键是掌握定义．可写成形式的函数叫作反比例函数． 2．如果双曲线经过点，那么此双曲线也一定经过（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，双曲线经过点，可知点的横纵坐标的积为，根据反比例函数图象上的点的坐标的特点可知双曲线经过的点． 【详解】解：∵双曲线经过点， ∴， A.，故选项A符合题意； B. ，故选项B不符合题意； C. ，故选项C不符合题意； D. ，故选项D不符合题意； 故选：A． 3．在反比例函数图象在第一、三象限上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像的分布确定比例系数的属性,建立不等式求解即可. 【详解】∵反比例函数图象在第一、三象限上， ∴k-3＞0， ∴， 故选C. 【点睛】本题考查了反比例函数图像分布与k的关系，熟练掌握图像分布与k的关系，并建立起正确的不等关系是解题的关键. 4．如图，点A为反比例函数 的图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，已知△ABO的面积为3，则k值为(     ) ． A．-3 B．3 C．-6 D．6 【答案】C 【分析】先设出A点的坐标，由△AOB的面积可求出xy的值，即xy＝﹣6，即可写出反比例函数的解析式． 【详解】解：设A点坐标为A（x，y）， 由图可知A点在第二象限， ∴x＜0，y＞0． 又∵AB⊥x轴， ∴|AB|＝y，|OB|＝|x|， ∴S△AOB|AB|×|OB|y×|x|＝3， ∴﹣xy＝6， ∴k＝﹣6． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 5．已知反比例函数 ，当 时， 的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键，即在中，当时，在每个象限内，y随x的增大而增大．利用反比例函数的增减性即可求得答案． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴当时，y随x的增大而增大， 当时，， ∴当时，， 故选：A． 6．已知圆柱体体积一定，则它的底面积与高之间的函数图象大致为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据圆柱体的体积公式列出解析式，再根据反比例函数的性质解答． 【详解】根据题意可知：y=（v＞0，x＞0）依据反比例函数的图象和性质可知，图象为反比例函数在第一象限内的部分． 故选D 【点睛】主要考查了反比例函数的应用和反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 7．函数的图象经过点（1，－2），则函数的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】试题分析：先根据函数的图象经过点（1，－2）求得k的值，再根据一次函数的性质求解即可. 解：∵函数的图象经过点（1，－2） 函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限 故选C. 考点：待定系数法求函数关系式，一次函数的性质 点评：解题的关键是熟练掌握一次函数的性质：当时，图象经过第一、二、三象限；当时，图象经过第一、三、四象限；当时，图象经过第一、二、四象限；当时，图象经过第二、三、四象限. 8．已知电功率与电压、电阻的关系式是：．当两个灯泡并联接在电压为的电路中时，如果它们的电功率的比，那么它们的电阻的比（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，明确经过两个电阻的电压相同是解题的关键． 由题意得，经过两个电阻的电压相同，进而求解． 【详解】解：由题意得，经过两个电阻的电压相同， 故， 即． 故选：C． 9．反比例函数的图象上有，，三点．下列选项正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴反比例函数的图象过一，三象限，在每一个象限内，随的增大而减小， ∵，，三点在双曲线上， ∴当时，，则：，故A选项正确； 当且时，，当且时，，故B选项错误； 当时，，则：，故C选项错误； 当且时，则：；当且时，则：，故D选项错误； 故选A． 10．如图，函数：与函数的图象交于A，B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆C上，Q是的中点，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、中位线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 先求出点A，B的坐标，连接并延长交于点D，过点B作轴，根据已知条件可得，所求长的最小值，即求的长最小，即点P运动到与圆的交点时，此时的长最小，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点D，过点B作轴， 根据题意，联立，得， 解得，， ∴，， ∴点O为中点， ∵Q是的中点， ∴，， ∴若长最小，则的长最小， 即点P运动到与圆的交点时，此时的长最小， ∵，， ∴，， 由勾股定理，得， 即， ∴． 故选：A． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．反比例函数的图象位于第 象限． 【答案】二、四 【分析】根据反比例函数的性质解答即可； 【详解】解：∵反比例函数的， 反比例函数的图象位于第二四象限， 故答案为：二、四． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，属于基本题型，熟练掌握当k>0时，反比例函数的图象在第一、三象限，当k<0时，反比例函数的图象在第二、四象限是解题关键． 12．已知，当 时，是的反比例函数． 【答案】1 【分析】此题考查了反比例函数的定义，形如或的函数叫做反比例函数．据此得到，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，在，当，即时， 是的反比例函数． 故答案为：1． 13．在，，这三个数中任选两个数分别作为点的横坐标和纵坐标，过点画双曲线（为常数，），则该双曲线位于第一、三象限的概率是 ． 【答案】 【分析】列举法求概率即可． 【详解】解：由题意，得：点共有：，6种情况， ∵当点的横纵坐标符号相同时，双曲线位于第一、三象限，共有种情况， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查列举法求概率．熟练掌握列举法，以及双曲线上点的特征，是解题的关键． 14．如图，在矩形中，，，是上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，若时，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，三角形面积的同底问题的应用．连接，利用同底面积比等于高之比，得到点坐标，再利用反比例函数的关系式的求法计算即可． 【详解】解：连接， 由题意得：， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：80． 15．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是 ． 【答案】2≤k≤ 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数和三角形有交点的临界条件分别是交点为A、与线段BC有交点，由此求解即可． 【详解】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A． ∵过点A（1，2）的反比例函数解析式为y=， ∴k≥2． 随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意， 经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y=﹣x+7， 由，得：x2﹣7x+k=0． 根据△≥0，得：k≤． 综上可知：2≤k≤． 故答案为2≤k≤． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，有一定难度．注意自变量的取值范围． 16．如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数的图象经过C，D两点，已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为 ． 【答案】(，3)/（4.5,3） 【分析】根据点D求出k和直线OD的表达式，再用OA和算面积，将OA用表示出来，用表示出来，B点坐标用表示出来，最后将B点代入直线OD表达式，解出，算出B点坐标，即可 【详解】∵D(3，2)在反比例函数上 ∴ 解得： 反比例函数解析式为： 设直线OD表达式为： 将D点坐标带入得： 解得： 故直线OD： 设C(，) ∵B点在直线OD上 ∴ 解得：yC=3 故B(，3) 故答案为：(，3) 【点睛】本题考查反比例函数，平行四边形，正比例函数；难点在于将B点坐标用一个未知数表示出来 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，即可求解； （2）当时，y随x的值增大而减小，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， ∴a的取值范围是：； （2）解：∵当时，y随x的值增大而减小， ， 解得：， ∴a的取值范围是：． 18．（8分）已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点． (1)求这两个函数的表达式； (2)在同一坐标系中画出上述两个函数图象，观察图象：当时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 ，一次函数的表达式为 (2) 或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题及待定系数法求反比例函数与一次函数解析式，也考查了观察图象的能力．（1）把点代入反比例函数求出，即可求出反比例函数解析式，再求出点坐标，由待定系数法求出一次函数解析式；（2）由题意得出函数的图象总在函数的图象上方，即可得出结果． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为 ， 点在反比例函数的图象上， ， 点B的坐标为 ， 一次函数的图象经过点A、B，将A、B两个点的坐标代入， 得：， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）画出图象： 观察函数图象可知：符合条件的x取值范围是： 或． 19．（8分）在温度不变的条件下，一定量的气体的压强与它的体积成反比例．已知当时，． (1)求p与V的函数表达式； (2)当p不超过时，直接写出V的取值范围． 【答案】(1) (2)不小于 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是： （1）根据反比例的定义求V与p的函数表达式即可； （2）根据函数关系代入求值，然后根据反比例函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设， 把，代入，得， 解得， ∴p与V的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得， ∵在第一象限，p随V的增大而减小， 又p不超过， ∴V不小于． 20．（8分）如图，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点在反比例函数的图象上．一次函数的图象过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接和，求的面积； 【答案】(1)反比例函数，一次函数 (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解解析式，反比例函数与一次函数的性质，割补法求图形的面积，是解决问题的关键． （1）将点A坐标代入两个函数解析式求出k值，b值即可； （2）首先求出点C的坐标，再联立两个函数解析式求得点B的坐标，运用计算即得． 【详解】（1）把点分别代入和 ， 得，， 解得，， ∴； （2）设直线交y轴于点C， 当时，， ∴， ∴， 当时，， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∴， 故的面积为， 21．（8分）如图，点在轴的正半轴上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交轴于点，记四边形的面积为． (1)若点的纵坐标为2，求的值； (2)求证：无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义，熟知反比例函数图像上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据题意求得、点的坐标，即可求得，，然后根据矩形的面积公式即可求解； （2）利用反比例函数系数的几何意义即可证得结论． 【详解】（1）解：由题意可知点的纵坐标为2， 把代入， 可得 ，解得 ， ∴， ∴点的横坐标为3， 把代入得，， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：延长，交轴于， ∵轴，轴， 又∵点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上， ∴，， ∴， ∴无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 22．（10分）小明同学利用寒假30天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为10元/千克，在第天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致）： 销售量 （千克） 销售单价 （元/千克） 当 时， 当 时， 设第天的利润元． （1）请计算第几天该品种草莓的销售单价为25元/千克？ （2）这30天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？注：利润＝（售价－成本）×销售量 【答案】（1）第10、20天该品种草莓的销售单价为25元/千克；（2）第10天或16天时获得的利润最大，最大利润为450元 【分析】（1）分两种情形分别代入解方程即可； （2）分两种情形写出所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式，然后根据函数的性质解答即可. 【详解】（1）当时，把n=25代入得， ， 解得； 当时，把代入得， ， 解得x=20； 答：第10、20天该品种草莓的销售单价为25元/千克 （2）当时，=； ∵，当x=10时，w有最大值为450， 当时，w=， ∵，当时，w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值为450． ∴第10天或16天时获得的利润最大，最大利润为450元。 【点睛】本题考查二次函数的应用、反比例函数的性质等知识，解题的关键是利用二次函数的性质解决问题. 23．（10分）如图，直线过点， (其中，).反比例函数的图象与直线交于C，D两点，连接. （1）已知，的面积为S，问：当n为何值时，S取最大值？并求这个最大值； （2）若，，当，，的面积都相等时，求p的值． 【答案】（1）当时，S取最大值；（2）． 【分析】（1）根据题意，得：，，又由，得，进而可得S关于m、n的关系式，结合二次函数的性质计算可得答案； （2）设直线的解析式为，根据题意，可得关于k、b的关系式，过点D、C分别作x轴的垂线，垂足分别点E、F，由，，的面积都相等，可得关系式，解可得答案． 【详解】（1）根据题意，得，， ∴， 又由，得， ∴， ∴当时，S取最大值； （2）设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴直线的函数关系式为， 如图，过点D、C分别作x轴的垂线，垂足分别点E、F， 当，，的面积都相等时， 有，即， ∴，即C点的纵坐标为2， 将代入，得，即点C的坐标为， ∵点C在反比例函数图象上， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象的性质以及其与直线的关系，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的函数表达式； (2)过点作轴，垂足为． ①点在轴正半轴上，且，将直线向下平移个单位长度得到直线，若直线经过点，求的值； ②若直线与轴交于点，连接交轴于，求的长及的面积． 【答案】(1)， (2)①；②， 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数交点问题，待定系数法和数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①求出点坐标为，设直线的函数表达式为由直线经过点，代入即可求出的值；②求出直线的解析式，得到点坐标为，点坐标为，进一步即可求出答案． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 得 ∴反比例函数表达式为 点在反比例函数的图象上， ，得 ∴点坐标为 点，点都在一次函数的图象上， ， 解得， 一次函数表达式为； （2）①由（1）得点坐标为， 根据题意，点坐标为， 点在轴正半轴上，且， 点坐标为， 设直线的函数表达式为 ∵直线经过点， ，得； ②设直线，根据题意得 解得 ∴， 当时，， 点坐标为， 当时， ∴点坐标为， ∴的面积． 25．（14分）如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当最小时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当以C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，设点关于轴的对称点为，连接交轴于点，则最小，此时，据此求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． （3）由菱形的性质可得．轴，则设，利用两点坐标公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为； 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：将代入，得， ． 设点关于轴的对称点为， 连接交轴于点，则最小，此时． 设过点和的直线为， 将，代入，得 解得 ， 点的坐标为． （3）解：设直线的表达式为， 将，代入，得： ． 如图，C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，．轴， 设， ∴， 解得， ∴或 点的坐标为，点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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