4.2 指数函数（两课时）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.2 指数函数 4.2.1 指数函数的概念 问题：二维码会有用尽的一天吗？ 情境引入 揭秘二维码的生成原理 思考1 方格数与生成二维码数之间是否存在函数关系? 思考2 你能写出方格数与生成二维码数之间的函数解析式吗？ 方格数 生成二维码数 情境引入 问题1：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，Ａ，Ｂ两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，而Ｂ地则取消了景区门票．右表给出了Ａ，Ｂ两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量． 探究1：如何直观研究A、B两地旅游收入的变化情况？ 情境引入 探究2：观察图象与表格，你有何发现？ 探究1：如何直观研究A、B两地旅游收入的变化情况？ 情境引入 探究2：观察图象与表格，你有何发现？ Ａ地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为10万次）； Ｂ地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律． 探究3：能否通过对Ｂ地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？ 情境引入 从2002年起，将Ｂ地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率． 增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量． 情境引入 线性增长 与 非线性增长 情境引入 A景区人次/万次 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 600 609 620 631 641 650 661 671 681 691 702 711 721 732 743 B景区人次/万次 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 278 309 344 383 427 475 528 588 655 729 811 903 1005 1118 1244 从2001年开始，Ｂ地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 1年后，游客人次是2001年的 倍； 2年后，游客人次是2001年的 倍； 3年后，游客人次是2001年的 倍； …… 年后，游客人次是2001年的 倍． 设2001年以后经过 年，B地景区游客人数为2001年的 倍： 结果表明，Ｂ地的游客人次年增长率都约为一个常数0.11. 像这样，增长率为常数的变化方式， 我们称为指数增长． 情境引入 问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”. 问题：生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 解： 设衰减率为p,把刚死亡的生物体内碳14含量看成一个单位 情境引入 死亡1年后，生物体内碳14含量为 死亡2年后，生物体内碳14含量为 死亡3年后，生物体内碳14含量为 死亡5730年后，生物体内碳14含量为 有条件 情境引入 一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 指数函数的定义 思考：为什么要规定 ？ 情境引入 概念形成 在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3) 的系数必须为1. 牛刀小试：下列函数一定是指数函数的是(　　) A. B． C． D． D 情境引入 概念形成 情境引入 概念形成 例题精讲 例2 （1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况． （2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？ 情境引入 概念形成 例题精讲 解： 情境引入 概念形成 例题精讲 情境引入 概念形成 例题精讲 所以，生物死亡10 000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30% 情境引入 概念形成 例题精讲 情境引入 概念形成 例题精讲 练习（第115页） C 当堂检测 情境引入 概念形成 例题精讲 应用巩固 情境引入 概念形成 例题精讲 应用巩固 解： 3．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具） 所以该湖泊的蓝藻变为原来的6.16倍． 情境引入 概念形成 例题精讲 应用巩固 解： 第四章 指数函数与对数函数 4.2 指数函数 4.2.2 指数函数的图象和性质 表4.2-2 x y -2 -1.5 0.35 -1 -0.5 0.71 0 0.5 1.41 1 1.5 2.83 2 表4.2-2 x y -2 0.25 -1.5 0.35 -1 0.5 -0.5 0.71 0 1 0.5 1.41 1 2 1.5 2.83 2 4 课堂探究 x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 … y = 2x … 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 … x y -3 -2 -1 0 1 2 3 8 7 6 5 4 3 2 1 课堂探究 课堂探究 课堂探究 课堂探究 课堂探究 课堂探究 指数函数性质 函数 y=ax (a>1) y=ax (0<a<1) 图 象 定义域 R 值 域 性质 当 x=0 时， ，恒过定点（0，1） 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 若x>0， 则y>1 若x<0， 则0<y<1 若x<0 ，则y>1 若x>0，则0<y<1 过定点 函数值的变化 奇偶性 非奇非偶 总结提升 31 指数函数y=ax，y=bx，y=cx，y=dx 的图象如下图，试判断a、b、c、d、1之间的大小关系。 y=ax y=bx y=cx y=dx 牛刀小试： 课堂探究 x=1 指数函数在第一象限内——底大图高 2、指数函数图像下端与x轴无限接近，但永不相交. 总结提升 指数函数的其他性质： 1、指数函数在第一象限内——底大图高. 3、指数函数都是下凸的函数. 课堂探究 例题精讲 解： 3.1 课堂探究 例题精讲 中间值法 例4 如图4.2-7，某城市人口呈指数增长． （1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）； （2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ 分析： （1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期． （2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系． 课堂探究 例题精讲 解：（１）观察图4.3-7，发现该城市人口经过 20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由 10万人口增加到20 万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年． （２）因为倍增期为20年，所以每经过20年， 人口将翻一番．因此，从80万人开始，经过20年， 该城市人口大约会增长到160万人． 例4 如图4.2-7，某城市人口呈指数增长． （1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）； （2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ 课堂探究 例题精讲 练习（第118页） 当堂检测 课堂探究 例题精讲 应用巩固 课堂探究 例题精讲 应用巩固 3．体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图． 课堂探究 例题精讲 应用巩固 课堂小结 1、指数函数的概念 2、指数函数的图象与性质 （定义域、值域、定点、单调性、奇偶性、底大图高、下凸） 3、指数函数的应用 （比较大小、实际生活） 定义与表示 图象与性质 应用与价值 作业布置 1、教材习题4.2 2、本节同步练习册 3、预习下一节 $$