第01讲 圆的认识（3个知识点+10类题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（华东师大版）

第01讲 圆的认识 课程标准 学习目标 ①圆的基本元素 ②圆的对称性 ③圆周角 1.利用圆的对称性，探索得出圆的基本性质． 2. 发现弦、弧、圆心角三者之间的关系；学会只用圆周角定理；在生活问题中使用垂径定理。 知识点01 圆的基本元素 圆的定义（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. （2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 圆的性质（1）旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 　 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. 两圆的性质 两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线. 相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 与圆有关的角 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. 知识点02 圆的对称性 轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 知识点03 圆周角 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 题型01 圆的理解 【典例1】下列语句中，不正确的是（    ） A．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形 B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．当圆绕它的圆心旋转时，不会与原来的圆重合 D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 【答案】C 【分析】此题考查了圆的轴对称性质和圆的旋转不变性，解题的关键是掌握以上知识点． 根据圆是轴对称图形的性质，以及圆的旋转不变性即可求解． 【详解】解：A、因为圆旋转任意一个角度都能够与自身重合，所以圆不仅是中心对称图形，也是旋转对称图形，正确； B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确； C、当圆绕它的圆心旋转时，会与原来的圆重合，错误； D、任意过圆心的直线都是圆的对称轴，有无数条，对称中心即是圆心，有一个，正确． 故选：C． 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．大于半圆的弧叫做优弧 B．长度相等的两条弧叫做等弧 C．过圆心的线段是直径 D．直径一定大于弦 【答案】A 【分析】此题考查了圆的有关定义及性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、大于半圆的弧叫做优弧，原说法正确，符合题意； B、在同圆或等圆中长度相等的两条弧叫做等弧，原说法错误，不符合题意； C、过圆心的弦是直径，原说法错误，不符合题意； D、在同圆或等圆中，直径一定大于除直径外的弦，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【变式2】下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①直径是圆中最长的弦； ②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆； ④等弧所对的圆心角相等； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等； ⑥顶点在圆上的角是圆周角； ⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴； ⑨半圆是弧； ⑩过圆心的线段是直径． 【答案】①③④⑨ 【分析】本题主要考查圆的有关性质．根据弦、直径、等圆、等弧的概念判断即可． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦，说法正确； ②在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原说法错误； ③面积相等的两个圆是等圆，说法正确； ④等弧所对的圆心角相等，说法正确； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的优弧相等，劣弧相等，原说法错误； ⑥圆周角的定义包括两个基本特征：一是顶点位于圆周上，二是角的两边都与圆相交，原说法错误； ⑦将圆绕圆心旋转一个角度可以和自身重合，原说法错误； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径所在直线都是它的对称轴，原说法错误； ⑨半圆是弧，说法正确； ⑩过圆心且两端都在圆上的线段是直径，原说法错误； 故答案为：①③④⑨． 【变式3】如图，在 中， （1）半径有： ． （2）直径有： ． （3）弦有： ． （4）劣弧 对应的优弧是 ，它们刚好拼成一个完整的圆． 【答案】 ， ，， 【分析】本题考查圆的基本概念，根据半径，直径，弦，弧的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：（1）半径有，； （2）直径有； （3）弦有，，； （4）劣弧 对应的优弧是； 故答案为：，；；，，； 【变式4】如图，在两个同心圆中，大圆的半径和分别交小圆于点C和D，连接、，交于点P． 求证：； 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，圆的性质，先证明，由全等三角形的性质得出，再根据圆的性质可知，，从而得出， 再利用证明． 【详解】证明∶在和中， ∴； ∴． ∵，， ∴， 即， 在和中， ∴ 题型02 圆中的弦 【典例1】如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 【变式1】如图，图中的弦共有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】根据弦的定义解答即可． 【详解】解：图形中有弦AB和弦CD，共2条， 故选B． 【点睛】本题考查弦的定义，熟记弦的定义是解题的关键． 【变式2】的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径． 根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个． 【详解】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 【变式3】如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 【变式4】如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）连接，线段即为所求； （3）连接，线段即为所求（答案不唯一）． 【详解】（1）如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）如图所示，连接，线段即为所求； （3）如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，连接圆上任意两点是圆的弦，直径是经过圆心的弦，半径是圆上一点与圆心的连线，掌握以上知识是解题的关键． 题型03 圆心角的理解 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角 B．圆心角α的取值范围是 C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角 D．圆心角就是在圆心的角 【答案】C 【分析】由圆心角的定义：圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，即可求得答案． 【详解】解：∵圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角， ∴A、D错误，C正确； ∵圆心角α的取值范围是， ∴B错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了圆心角的定义，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义． 【变式1】下列图形中的角，是圆心角的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； B、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； C、是圆心角，故本选项符合题意； D、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆心上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键． 【变式2】直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是 ． 【答案】/60度 【分析】连接、，证明为等边三角形得到即可． 【详解】解：如图，连接、，   直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式3】在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆心角的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：如图，连接、，    ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆心角、等边三角形的判定与性质，熟知是圆心角是解答的关键． 【变式4】如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 【答案】 【分析】连接，由弧的度数为，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出，再由，即可得到． 【详解】解：连接，如图， ∵弧的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵弦， ∴． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 题型04 弦、弧、圆心角的关系 【典例1】如图，在中，是直径，，，那么的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，根据圆周角定理可得，根据垂径定理可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，已知是的直径，D，C是劣弧 的三等分点，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是弧与圆心角的关系，根据题意先求出，再利用邻补角即可求出即可． 【详解】解：∵D，C是劣弧 的三等分点，， ∴， ∴， 故选B． 【变式2】如图，点A、B、C在上，D是的中点，交于点E．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆心角与弧之间的关系，三角形外角的性质，连接，根据D是的中点，得到，再由圆周角定理得到，据此根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵D是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，为，则弦所对的圆心角度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，连接，由为可得，据此即可求解，掌握弧、弦、圆心角之间的关系是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为， ∴， ∴弦所对的圆心角度数为， 故答案为：． 【变式4】如图，在中，点是优弧的中点，分别是上的点，且，弦分别过点． (1)求证：； (2)和的长度相等吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)和的长度相等，理由见解析 【分析】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）连接，只要证明即可解决问题； （2）欲证明，只要证明即可； 【详解】（1）证明：连接． 点是优弧的中点， ， ， ，， ，， ， ． （2）解：和的长度相等，理由如下， 分别连接，， ， ，， ， ，， ， ，， ， ． 和的长度相等． 题型05 垂径定理 【典例1】如图在中，于C，若，，则半径长度为（   ） A．5 B．8 C．10 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．先根据垂径定理求出的长，设的半径为r，再连接，在中利用勾股定理求出r的值即可． 【详解】解：连接， ∵于C， ∴， 设的半径为r， 则，， ∴，解得， 故选：A． 【变式1】半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【答案】C 【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离． 【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图， ， ， ，， 而，， ，， 在中，，； 在中，，； 当圆点在、之间，与之间的距离； 当圆点不在、之间，与之间的距离； 所以与之间的距离为7或1． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用． 【变式2】如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 【答案】 【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 【变式3】一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水面宽度变为，则此时排水管水面上升了 ． 【答案】10或70 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理的运用，解题的关键是垂径定理，易错点是分类讨论水面在直径是下方和上方． 根据半径为，则直径为；又根据水面宽度为，则有两种情况，水面在水面平行的直径下方，过点作于点；水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点，根据垂径定理，勾股定理，即可求出． 【详解】连接 ∵ ∴圆的直径为 ∴水面在水面平行的直径下方 ∴过点作于点 ∴且与交于点 ∵， ∴， ∴在直角三角形中， ∴ ∴； 在直角三角形中， ∴ ∴ ∴上升的距离为 水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点 同理可得，上升的距离为：． 故答案为：10或70． 【变式4】据《尔雅·释器》记载：“好倍肉，谓之瑗（yuàn）．”如图1，“好”指中间的孔，“肉”指中孔以外的边（阴影部分），“好倍肉”指中孔和环边比例为． (1)观察： “瑗”的主视图可以作两个同心圆，根据图1中的数据，可得小圆与大圆的半径之比是_______； (2)联想： 如图2，在中，，，平分交于点，则_______； (3)迁移： 图3表示一个圆形的玉坯，若将其加工成玉瑗，请利用圆规和无刻度的直尺先确定圆心，再以题（2）的知识为作图原理作出内孔．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)作图见解析 【分析】（1）根据图1中的数据可确定小圆和大圆的半径，即可得出答案； （2）根据直角三角形两锐角互余可得，根据角平分线的定义可得，再根据等角对等边和角的直角三角形可得，，可得出答案； （3）作直线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，交于点，过点作，以点为圆心，为半径画弧交圆于点，连接并延长交于点，作的平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆，根据垂径定理的推论和垂直平分线的性质可确定点为大圆的圆心，证明为等边三角形，得到，从而得到，再结合（2）的结论可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，小圆半径是：，大圆半径是：， ∴小圆与大圆的半径之比是：， 故答案为：； （2）∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：； （3）作直线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，交于点，过点作，以点为圆心，为半径画弧交圆于点，连接并延长交于点，作的平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆， ∵垂直平分，是圆的弦， ∴线段为圆的直径， ∵垂直平分于点， ∴点为大圆的圆心，， ∵以点为圆心，为半径画弧交圆于点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， 由（2）知：，， 则小即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了利用尺规作垂直平分线、过一点作垂线、作一个角的角平分线、作一条线段等于已知线段，垂径定理的推论，垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，角的直角三角形，等角对等边等知识点．解题的关键是理解题意，利用数形结合思想解决问题． 题型06 垂径定理的应用 【典例1】我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺10寸）．这根圆柱形木材的直径是（    ） A．6寸 B．寸 C．13寸 D．26寸 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可得，由垂径定理可得，设半径，则，然后根据勾股定理列出方程解之即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得， 是的半径， 设半径 则 在中：，即 解得： 木材的直径为寸 故选：D． 【变式1】如图是一根装有水的圆柱形排水管道截面图，已知水面的宽为米，水面与管道上端的最大距离为0.2米，则水面距管道底部的最大深度为（    ） A．0.5米 B．1米 C．0.2米 D．0.8米 【答案】D 【分析】本题考查了圆的性质、垂径定理、勾股定理等知识点．根据垂径定理、勾股定理求出圆的半径，进一步计算即可得． 【详解】解：如图，设圆心为点O，过点O作于点C，延长交圆O于点D和，连接， 由圆的性质可知，米，米，水面距管道底部的最大深度为的长， 设圆的半径为， 由垂径定理得：，， 在中，，即， 解得， 即水面距管道底部的最大深度为米， 故选：D． 【变式2】如图，蔬菜大棚的截面是圆弧形，其水平跨度长米，拱高弧的中点到弦的距离为米，则该圆弧所在圆的半径是 米 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．设圆心为，连接，过点作由点交于点，构建方程求解即可． 【详解】解：设圆心为，连接，过点作由点交于点． 设米， ， 米， 在中，， ， ． 故答案为：． 【变式3】某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为 ． 【答案】 【分析】取与的交点为点G，由题意得，，，从而可得，，根据直角三角形的性质可得，，设，则，，进而可得，，再利用，列方程求解即可． 【详解】解：取与的交点为点G， 由题意得，，， ∴，， ∴， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形的性质、垂径定理、平行线的性质、解一元一次方程，熟练掌握直角三角形的性质和垂径定理是解题的关键． 【变式4】【提出问题】 某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案？ 拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料 素材 1 图1是一座拱桥，图2是桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．每年夏季，该河段水位在此基础上会再涨达到最高． 素材2 在旅游旺季，拟在图1所示的桥拱上悬挂“鲤鱼跃龙门”五个大字的牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾宽，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于，牌匾上的每个字占地为长度和宽度都是的正方形，为了美观，相邻两个字的水平间距均为（第一个文字和最后一个文字与牌匾两端也分别有一个的间距）． 【解决问题】 (1)若桥拱所构成的曲线是抛物线，在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)请你设计方案：在（1）的基础上，牌匾悬挂能否成功？若能成功，请说明理由；若不能成功，请你设计可行性的方案；（可以考虑改变字体的大小和字与字的间距从而改变牌匾的宽度或者改变牌匾底部与水面的安全距离） (3)若素材1中的桥拱形状是圆弧，其他条件不变，悬挂方案仍需满足素材 2 的牌匾悬挂条件，请你通过计算判断方案是否可行，若不可行，请你重新设计可行性的方案．（参考数据： 【答案】(1)（答案不唯一） (2)牌匾悬挂不能成功，见解析 (3)原方案可行 【分析】（1）过水面宽度的中点作水面宽度的垂线，与拱形桥顶端交于点O，以点O为原点，建立直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得出结论； （2）根据题意， 危险高度，安全最低高度为，计算出安全宽度，与方案宽度比较，计算判断即可． （3）设圆弧所在圆的圆心为点O，水面宽度为，过点O作于点C，交圆弧于点N，根据垂径定理，得， ，设圆的半径为，则，，利用垂径定理，勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：过水面宽度的中点作水面宽度的垂线，与拱形桥顶端交于点O，以点O为原点，建立如图所示的坐标系， 由题意可知该抛物线顶点坐标为，， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：根据题意， 危险高度，安全最低高度为， ∵， 当时，， 解得， ∴匾额的最大长度为， 根据题意，方案的设计长度为， 由， 故牌匾悬挂不能成功． 若相邻两个字的水平间距均为，则匾额的长度为， 即把字间距由改为即可实现悬挂目标． （3）解：设圆弧所在圆的圆心为点O，水面宽度为，过点O作于点C，交圆弧于点N，根据垂径定理，得， ∵， 设圆的半径为，则，， 根据勾股定理，得， 解得， 在上截取，过点G作，交圆于点E，F两点， 连接，则，， ∴， ∴， 根据题意，方案的设计宽度为， 由， 故牌匾悬挂能成功． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，垂径定理，勾股定理，待定系数法求解析式，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． 题型07 圆周角的理解 【典例1】下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角的定义．根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】14．下列说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等 【答案】D 【分析】本题题考查了圆周角定理、以及弦、弧、圆心角的概念和联系．解题的关键是熟记与正确理解定义与定理．根据相关概念与知识点之间的联系，逐项判断．即可解题． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧相等，所对的劣弧相等，故选项错误，不符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； D、等弧一定是在同圆或等圆中， 等弧所对的弦相等，故选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝ 【答案】54° 【分析】根据圆的基本性质，可得∠OEB=∠OBE，∠AOB=18°，从而得到∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，继而得到∠BOE=108°，即可求解． 【详解】解：∵CD是⊙O的直径， ∴OD=OE=OB， ∴∠OEB=∠OBE， ∵AB=OD， ∴AB=OB， ∴∠AOB=∠A， ∵∠A＝18°， ∴∠AOB=18°， ∴∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°， ∴∠BOE=108°， ∴∠EOD=180°-∠BOE-∠AOB=54°． 故答案为：54° 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 【变式3】如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则 . 【答案】40°、20°、100° 【分析】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段上，点P在延长线上，点P在的延长线上．分这三种情况进行讨论即可． 【详解】解：①根据题意，画出图1， 在中，， ∴， 在中， ∴ 又∵ ∴ 在中， 即 整理得， ∴ ． ②当P在线段的延长线上，如图2 在中， 把①②代入③得 则 ∴ ③当P在线段的反向延长线上，如图3， ①②③④联立得 故答案为：40°、20°、100°． 【点睛】本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，画出图形，进行分类讨论是解题的关键． 【变式4】如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求的度数 【答案】68° 【分析】连接OB，如图，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠EBO=2∠A，则∠E=2∠A，再利用∠EOD=84°得到2∠A+∠A=84°，解得∠A=28°，接着计算出∠BOE的度数，从而得到的度数． 【详解】解：连接OB，如图， ∵OB=OC，OC=AB， ∴OB=AB， ∴∠A=∠BOA， ∴∠EBO=∠A+∠BOA=2∠A， ∵OB=OE， ∴∠E=∠EBO=2∠A， ∵∠EOD=∠E+∠A， ∴2∠A+∠A=84°，解得∠A=28°， ∴∠E=∠EBO=56°， ∴∠BOE=180°-∠E-∠EBO=180°-56°-56°=68°， ∴的度数为68°． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，添加辅助线，构造等腰三角形，是解题的关键． 题型08 圆周角定理 【典例1】如图，在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理等，连接，根据圆周角定理求出，根据可求得的度数．掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． ， ， ， ． 故选：． 【变式1】如图，是的直径，是弦的弦心距，，为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本定义，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键．先利用为，得出，再利用直角三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵为， ∴， ∴， ∵是弦的弦心距， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，是的外接圆，若，则的度数为 ． 【答案】65 【分析】本题考查了圆周角定理.根据等腰三角形的性质由得，再根据三角形内角和定理计算出，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：65． 【变式3】如图，四边形是的内接四边形，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形性质，根据圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：130． 【变式4】如图，内接于，是的直径，是上一点，弦交于点，弦于点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角和，得到，根据同弧所对的圆周角相等，得到，根据三角形的外角和可得，再根据，即可证明； （2）连接、，过点作于点，根据直角所对的圆周角等于可得，由勾股定理可求出，证明四边形是平行四边形，得到，，根据勾股定理求出，再利用，求出，证明四边形是矩形，得到，最后根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （2）如图，连接、，过点作于点， 是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，， ． 【点睛】本题考查圆与几何的综合，涉及圆的相关性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 题型09 半圆所对的圆周角是直角 【典例1】如图，为的直径，点，在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，直角三角形两个锐角互余，根据圆内接四边形对角互补求得，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】∵为的直径， ∴， ∵四边形是圆内接四边形，， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】如图，内接于，为直径，半径，连结，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理及其推论，熟练掌握基本性质是解题关键． 根据圆周角定理和平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，是的直径，点在上，于交于点，，，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，则，再证明得到，根据等边对等角得到，则，可得，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的半径为， 故答案为；． 【点睛】本题主要考查了圆周角与弦之间的关系，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等边对等角，证明，得到是解题的关键． 【变式3】如图，是的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则的直径为 ． 【答案】 【分析】先利用圆周角定理得到，再根据角平分线的性质得到点到的距离等于，则利用三角形面积得到，设，，利用勾股定理得到，然后解方程得到的长，从而得到的半径．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形面积公式． 【详解】解：是的直径， ， 平分， 点到的距离等于， ， ， ， 设，， 在中，， 解得，（舍去）， ， 的直径为． 故答案为：． 【变式4】如图，是的内接三角形，为的直径，平分，交于点，连接，点在弦上，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查了角平分线、圆周角、三角形外角的定义和性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角的性质是解题关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，进而证明结论； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质求出，根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，可有， 即，解得， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 题型10 圆的内接四边形对角互补 【典例1】如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，，，则的长为（    ）． A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据圆内接四边形对角互补得到，根据得到结合角平分线得到，即可得到：，从而得到，结合勾股定理即可得到答案； 【详解】解：连接， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理及圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等知识，掌握这些知识是解题的关键． 【变式1】如图，是的内接四边形的一个外角，若的度数为，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由圆的内接四边形的性质得到，由同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得到． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 由题意得 ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，在的内接四边形中，，，则的度数为 ． 【答案】100 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，等边对等角的知识，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 连接，先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由等边对等角的性质以及三角形内角和的定理求出的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是圆内接四边形，， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴． 故答案为： 【变式3】如图，四边形内接于，延长交于点E，连接，若，，则的大小为 °． 【答案】50 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆周角定理得到，求出，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， 故答案为：50． 【变式4】已知，在中，，点，点在上，交于，交于，连接． (1)如图，求证：；    (2)如图，过点作于，连接，若，求证：平分；    (3)如图，在（2）的条件下，过点作，交于，连接，，延长交于，若，，求线段的长．    【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据圆的内接四边形的性质以及等腰三角形的性质即可证得； （2）连接，，根据题意可证得，即可得到平分， （3）连接，为直径，过作于，，，中位线，连接，，易证， 设，，，中，勾股，（舍），中，勾股，连接，中，勾股，． 【详解】（1）证明：在中，四边形内接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：连接，，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分， （3）解：连接，，过作于，如图所示：    ∵，平分， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形内接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：，（舍）， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题为圆的综合题，考查了圆的内接四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理解三角形，知识点综合性比较强，解题的关键在于能够通过找到相应的方法并熟练的运用． 1．如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆周角定理.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，据此进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴ 故选：C 2．如图，是的直径，点A在上．弧弧，，则度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角是圆心角的一半．据此即可解答． 【详解】解：∵弧弧，， ∴， 故选：B． 3．如图，在中，是直径，是弦，于点E，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出的度数，再根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径，是弦，于点E， ∴， ∴； 故选D． 4．如图，在中，，，，以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 过C作交于点M，首先根据勾股定理求出，然后利用等面积法求出，然后利用勾股定理求出，最后利用垂径定理求解即可． 【详解】解：如图，过C作交于点M， ∵，，， ∴， 由垂径定理可得M为的中点， ∵， ∴ ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴ （舍去负值）． ∴． 故选：C． 5．如图，以的一边为直径的半圆与其他两边，分别交于点D，E，且E为的中点，若，，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆周角的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理，熟练掌握圆周角的性质及勾股定理是解题的关键；连接，由题意易得，则有，设，则，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为直径， ∴，即， ∵E为的中点， ∴， 设，则，根据勾股定理可得： ，即， 解得：， ∴； 故选D． 6．如图，A、B、C在上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 7．如图，点，，在上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 8．如图，的直径和弦相交于点E，已知 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，作，连接，先求出半径，进而得出，再根据直角三角形的性质得，然后根据勾股定理求出，最后根据垂径定理得出答案． 【详解】过点O作于点F，连接． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 9．如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则等于 度．    【答案】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，先由两直线平行，同位角相等得到，再根据圆内接四边形对角互补进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是确定点的位置．作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点．此时最小，且等于的长，连接，，由，可得，根据为的中点，推出，根据垂径定理可推出，得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点． 此时最小，且等于的长． 连接，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 则，又， 则， 故答案为：． 11．已知：如图，．求作：以为弦的，使到和的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图：角平分线与线段的垂直平分线，圆的相关性质，．根据题意，先作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆即可． 【详解】解：作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求． 理由：平分 到和的距离相等 垂直平分 是半径 即为的弦． 故即为所求． 12．如图，是的两条弦，，垂足分别为E，F．比较和的大小，并证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【分析】根据垂径定理得到，再由，即可证明． 【详解】解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解题的关键． 13．如图，内接于，为的中点，在上，连接．若，垂足为，直线分别交，于点， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，垂直平分线的判定以及圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接、，先得，则，因为半径相等，得出、都在的垂直平分线上，即可作答． （2）先由直角三角形的两个锐角互余，得，运用圆周角定理得，然后结合等角对等边，则．故是等腰三角形，再结合三线合一，即可作答． 【详解】（1）证明：连接、，如图， 为优弧的中点， ， ， 又， 、都在的垂直平分线上， 即是垂直平分线， ； （2）证明：连接，如图， ，， ，， ， ∵， ， ， ． ∴是等腰三角形， 又， ； 14．如图，是的直径，弦于点，点在上，． (1)求证：； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）根据，则，根据同弧或者等弧所对的圆周角相等，即可； （2）根据，垂径定理，得，连接，根据同弧或者等弧所对的圆周角相等，则，根据，则，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．即的直径为6. 15．如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽与桥长均为24米，桥拱顶部离水面的距离为8米，以桥拱顶部为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． (1)求圆弧型桥拱所在圆的半径； (2)如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米． ①求出轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式； ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度． 【答案】(1)圆弧型桥拱所在圆的半径为13米 (2)①；②经过钢缆最低点的彩带的长度为米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，待定系数法求解析式，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． （1）设圆弧型拱桥的圆心为，圆的半径为，则米，米，利用勾股定理列式解答即可； （2）①由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，然后利用待定系数法求函数解析式； ②连接圆与，作于点，如图2，从而得到米，米，利用勾股定理求得米，求得米，米，进而得解． 【详解】（1）解：设圆弧型拱桥的圆心为，圆的半径为，连接，交于点，如图1， 由题意得：，米，米， ∴米，米， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：圆弧型桥拱所在圆的半径为13米； （2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，设其表达式为，将代入得： ， 解得：， ∴右边钢缆所在抛物线表达式为：； ②由题意可知，即为所求彩带的长度，如图2，连接圆与，作于点， 则米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：经过钢缆最低点的彩带的长度为米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 圆的认识 课程标准 学习目标 ①圆的基本元素 ②圆的对称性 ③圆周角 1.利用圆的对称性，探索得出圆的基本性质． 2. 发现弦、弧、圆心角三者之间的关系；学会只用圆周角定理；在生活问题中使用垂径定理。 知识点01 圆的基本元素 圆的定义（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. （2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 圆的性质（1）旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 　 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. 两圆的性质 两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线. 相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 与圆有关的角 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. 知识点02 圆的对称性 轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 知识点03 圆周角 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 题型01 圆的理解 【典例1】下列语句中，不正确的是（    ） A．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形 B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．当圆绕它的圆心旋转时，不会与原来的圆重合 D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．大于半圆的弧叫做优弧 B．长度相等的两条弧叫做等弧 C．过圆心的线段是直径 D．直径一定大于弦 【变式2】下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①直径是圆中最长的弦； ②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆； ④等弧所对的圆心角相等； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等； ⑥顶点在圆上的角是圆周角； ⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴； ⑨半圆是弧； ⑩过圆心的线段是直径． 【变式3】如图，在 中， （1）半径有： ． （2）直径有： ． （3）弦有： ． （4）劣弧 对应的优弧是 ，它们刚好拼成一个完整的圆． 【变式4】如图，在两个同心圆中，大圆的半径和分别交小圆于点C和D，连接、，交于点P． 求证：； 题型02 圆中的弦 【典例1】如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】如图，图中的弦共有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式2】的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 【变式3】如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【变式4】如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 题型03 圆心角的理解 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角 B．圆心角α的取值范围是 C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角 D．圆心角就是在圆心的角 【变式1】下列图形中的角，是圆心角的为（    ） A． B． C． D． 【变式2】直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是 ． 【变式3】在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆心角的度数为 ． 【变式4】如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 题型04 弦、弧、圆心角的关系 【典例1】如图，在中，是直径，，，那么的度数等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知是的直径，D，C是劣弧 的三等分点，，那么（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，点A、B、C在上，D是的中点，交于点E．若，，则的度数为 ． 【变式3】如图，为，则弦所对的圆心角度数为 ． 【变式4】如图，在中，点是优弧的中点，分别是上的点，且，弦分别过点． (1)求证：； (2)和的长度相等吗？请说明理由． 题型05 垂径定理 【典例1】如图在中，于C，若，，则半径长度为（   ） A．5 B．8 C．10 D．4 【变式1】半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【变式2】如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 【变式3】一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水面宽度变为，则此时排水管水面上升了 ． 【变式4】据《尔雅·释器》记载：“好倍肉，谓之瑗（yuàn）．”如图1，“好”指中间的孔，“肉”指中孔以外的边（阴影部分），“好倍肉”指中孔和环边比例为． (1)观察： “瑗”的主视图可以作两个同心圆，根据图1中的数据，可得小圆与大圆的半径之比是_______； (2)联想： 如图2，在中，，，平分交于点，则_______； (3)迁移： 图3表示一个圆形的玉坯，若将其加工成玉瑗，请利用圆规和无刻度的直尺先确定圆心，再以题（2）的知识为作图原理作出内孔．（不写作法，保留作图痕迹） 题型06 垂径定理的应用 【典例1】我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺10寸）．这根圆柱形木材的直径是（    ） A．6寸 B．寸 C．13寸 D．26寸 【变式1】如图是一根装有水的圆柱形排水管道截面图，已知水面的宽为米，水面与管道上端的最大距离为0.2米，则水面距管道底部的最大深度为（    ） A．0.5米 B．1米 C．0.2米 D．0.8米 【变式2】如图，蔬菜大棚的截面是圆弧形，其水平跨度长米，拱高弧的中点到弦的距离为米，则该圆弧所在圆的半径是 米 【变式3】某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为 ． 【变式4】【提出问题】 某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案？ 拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料 素材 1 图1是一座拱桥，图2是桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．每年夏季，该河段水位在此基础上会再涨达到最高． 素材2 在旅游旺季，拟在图1所示的桥拱上悬挂“鲤鱼跃龙门”五个大字的牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾宽，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于，牌匾上的每个字占地为长度和宽度都是的正方形，为了美观，相邻两个字的水平间距均为（第一个文字和最后一个文字与牌匾两端也分别有一个的间距）． 【解决问题】 (1)若桥拱所构成的曲线是抛物线，在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)请你设计方案：在（1）的基础上，牌匾悬挂能否成功？若能成功，请说明理由；若不能成功，请你设计可行性的方案；（可以考虑改变字体的大小和字与字的间距从而改变牌匾的宽度或者改变牌匾底部与水面的安全距离） (3)若素材1中的桥拱形状是圆弧，其他条件不变，悬挂方案仍需满足素材 2 的牌匾悬挂条件，请你通过计算判断方案是否可行，若不可行，请你重新设计可行性的方案．（参考数据： 题型07 圆周角的理解 【典例1】下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】14．下列说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等 【变式2】如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝ 【变式3】如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则 . 【变式4】如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求的度数 题型08 圆周角定理 【典例1】如图，在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，是的直径，是弦的弦心距，，为，则为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，是的外接圆，若，则的度数为 ． 【变式3】如图，四边形是的内接四边形，，则 ． 【变式4】如图，内接于，是的直径，是上一点，弦交于点，弦于点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型09 半圆所对的圆周角是直角 【典例1】如图，为的直径，点，在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，内接于，为直径，半径，连结，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，是的直径，点在上，于交于点，，，，则的半径为 ． 【变式3】如图，是的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则的直径为 ． 【变式4】如图，是的内接三角形，为的直径，平分，交于点，连接，点在弦上，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型10 圆的内接四边形对角互补 【典例1】如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，，，则的长为（    ）． A．2 B．3 C． D． 【变式1】如图，是的内接四边形的一个外角，若的度数为，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在的内接四边形中，，，则的度数为 ． 【变式3】如图，四边形内接于，延长交于点E，连接，若，，则的大小为 °． 【变式4】已知，在中，，点，点在上，交于，交于，连接． (1)如图，求证：；    (2)如图，过点作于，连接，若，求证：平分；    (3)如图，在（2）的条件下，过点作，交于，连接，，延长交于，若，，求线段的长．    1．如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，点A在上．弧弧，，则度数为（  ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是直径，是弦，于点E，且，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，以的一边为直径的半圆与其他两边，分别交于点D，E，且E为的中点，若，，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C． D． 6．如图，A、B、C在上，若，则 ． 7．如图，点，，在上，若，则 ． 8．如图，的直径和弦相交于点E，已知 ． 9．如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则等于 度．    10．如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值是 ． 11．已知：如图，．求作：以为弦的，使到和的距离相等． 12．如图，是的两条弦，，垂足分别为E，F．比较和的大小，并证明你的结论． 13．如图，内接于，为的中点，在上，连接．若，垂足为，直线分别交，于点， (1)求证：； (2)求证：． 14．如图，是的直径，弦于点，点在上，． (1)求证：； (2)若，，求的直径． 15．如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽与桥长均为24米，桥拱顶部离水面的距离为8米，以桥拱顶部为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． (1)求圆弧型桥拱所在圆的半径； (2)如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米． ①求出轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式； ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$