第04讲 正多边形和圆（3个知识点+7类题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（华东师大版）

第04讲 正多边形和圆 课程标准 学习目标 ①正多边形的中心角 ②三角形的外接圆与内切圆 ③正多边形——尺规作图 1.认识正多边形的中心角． 2.探索三角形的外接圆与内切圆的异同点，学会用尺规画正多边形 。 知识点01 三角形的外接圆与内切圆 三角形的内心、外心、重心、垂心 （1）三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. （2）三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示. （3）三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示. （4）垂心：是三角形三边高线的交点. 要点诠释： （1）任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； （2）解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). （3） 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 知识点02 圆内接四边形和外切四边形 （1）四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. （2）各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等. 题型01 正多边形的中心角 【典例1】正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的旋转对称问题，根据正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形与旋转对称图形的性质解答． 【详解】解：∵正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形， ∴顶点处的周角被分成四个相等的角，， ∴这个正方形绕着它的中心旋转的整数倍后，就能与它自身重合， 因此这个角度至少是． 故选C． 【变式1】如图，在同一个圆中作出圆的内接正三角形 和正八边形 ，若连接 ，则 的度数是 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆，连接 ，，，，求出正三角形和正八边形的中心角的度数，再利用圆周角定理，进行求解即可． 【详解】如图，连接 ，，，． 正三角形的中心角 ， 正八边形的中心角 ， ， ， ． 【变式2】正八边形的中心角等于 度． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．根据正多边形中心角公式是即可解题． 【详解】解：正八边形的中心角等于； 故答案为：． 【变式3】如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键． 连接，由正六边形的性质得出，由圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵多边形是正六边形， ， ， ， 故答案为：． 【变式4】如图，在梯形中，（），，．将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、． (1)当点正好落在的延长线上时，求的度数； (2)联结，设，． ①求关于的函数解析式； ②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形．设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求双同正多边形的边数． 【答案】(1) (2)①；②理由见解析，双同正多边形的边数为 【分析】（1）当点正好落在的延长线上时，连接，根据平行线的性质、旋转的性质、等边对等角的性质，得出，结合三角形内角和为求出度数即可； （2）①连接、、、，过点作于点，根据旋转的性质、相似三角形的判定定理，证明，得出，结合勾股定理，用含的代数式表示出、，代入中整理得出关于的函数解析式即可；②根据①过程中，，，已知，说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形即可；根据当这两个正多边形的面积比是时，相似多边形的面积比等于相似比的平方，得出相似比为，求出的长，结合勾股定理计算，求出，得出，计算即可得出双同正多边形的边数． 【详解】（1）解：如图，当点正好落在的延长线上时，连接， ∵，，将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴（两直线平行，内错角相等），，， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接、、、，过点作于点， ∵将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴， 和都等于旋转角，即， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， ， 整理得：； ②以线段、为边的正多边形是双同正多边形，理由如下， 如图，由①过程得：，，， ∵，是一个正多边形的中心角，将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴， ∴也是一个正多边形的中心角， ∴以线段、为边，以点为的中心的两个正多边形的中心角也相等，即这两个正多边形是双同正多边形， ∴这两个正多边形也是相似多边形， ∵当这两个正多边形的面积比是时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这两个正多边形的中心角， ∴这两个正多边形的边数， ∴当这两个正多边形的面积比是时，双同正多边形的边数为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正多边形的性质等，熟练掌握相似三角形的判定与性质、推理证明是解题的关键． 题型02 运用中心角求边数 【典例1】如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】B 【分析】连接，，根据正边形的性质知，得，则正边形中心角为，即可解决问题．本题主要考查了正边形和圆的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，， 多边形是正边形， ， ， 正边形中心角为， ， 故选：B． 【变式1】一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是(   ) A．14 B．18 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形的有关知识．根据正多边形的中心角为计算即可． 【详解】解：∵一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为， ∴该正多边形的边数为：，故D正确． 故选：D． 【变式2】一个正多边形的边长为2，中心角为，则这个正多边形的周长是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了多边形内角：n边形的外角和为．一个正多边形的每个内角都相等，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以中心角为就可以求出多边形的边数，即可得到结论． 【详解】解：∵多边形的边数为：， 则这个多边形是八边形， ∴这个多边形的周长， 故答案为：16． 【变式3】如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的边数是 ． 【答案】12 【分析】本题考查正多边形的中心角与边数之间的关系，根据正边形的中心角为，即可解题． 【详解】解：设这个正多边形的边数是，且一个正多边形的中心角等于， 有，解得， 故答案为：12． 【变式4】如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)30 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到，，，利用解直角三角形求得， ，进而可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴，又， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴； （2）解：， 证明：连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P， ∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心． ∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长为 ． 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 题型03 三角形的内心 【典例1】如图，是的内切圆，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内切圆的定义，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内心，切线长定理．过点I作，，垂足分别为G，F，可得，，，设，，，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点I作，，垂足分别为G，F，    ∵点I为的内心， ∴以为半径的圆I是的内切圆， ∴，，， 设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 【变式2】已知中，，点I是它的内心，则 ． 【答案】/125度 【分析】本题考查了三角形的内心的定义，熟知三角形的内心是三角形角平分线的交点是解题关键．先求出，根据内心的定义得到，即可求出，最后求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵I是内心， ∴、分别平分、， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式3】如图，点是的内心，若，则 ． 【答案】/125度 【分析】本题考查了三角形内心的概念，角平分线的定义，掌握三角形内心的定义是解题的关键； 先根据三角形的内心的定义得到平分，平分，根据角平线的定义得，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：， ， 点I是的内心，， 平分，平分， ， ， 故答案为：． 【变式4】如图1，在中 ，，是的外接圆，连结并延长交于点 D． (1)求证：； (2)如图2，点E是线段上的动点，连结并延长交分别交，于点F，M，连结， ①当点 E与重合时（如图3），求证：； ②在①的条件下，若，求的长度； ③若， 求的最大值，并写出此时的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②；③的最大值为，此时 【分析】（1）连接，，证明，得到，根据题意得到，根据等腰三角形三线合一即可得证； （2）①利用等边对等角及角平分线的性质，证明，列出比例式，即可得证； ②根据题意，证明，列出比例式，代入求值即可解答；③根据，得到，推出的最大值即为的最大值，设，则，根据，得到的最大值为．此时，连接，先证明是的中线，再证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ，，， ， ， 延长交于点 D， ， ， 是等腰三角形， ； （2）①证明：，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； ②解：，，，， ， 解得（负值已舍去）， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； ③解：， ， 的最大值即为的最大值， ，设，则， ， ， 当时，的最大值， 的最大值为． ， 连接， ， 点是的中点， 由（1）得：点是的中点， 是的中线， ， ， ． 【点睛】本题考查圆的综合应用，主要考查等腰三角形三线合一的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，二次函数最值的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 题型04 三角形的内切圆与外接圆 【典例1】已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，三角形的内切圆圆心到三条边的距离相等，三角形的外接圆圆心到三个顶点的距离相等，熟记相关结论即可求解.由题意得是直角三角形，设的内切圆半径和外接圆半径分别为，则，直角三角形外接圆圆心为斜边的中点，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 设的内切圆半径和外接圆半径分别为， 则， 解得：； ∵直角三角形外接圆圆心为斜边的中点， ∴ 故选：B 【变式1】如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理； 连接，，作于G，证明是等边三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，，作于G，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即它的内切圆半径为， 故选：D． 【变式2】设的内接三角形满足，则的内接正方形的面积等于 ． 【答案】8 【分析】本题考查了圆周角定理、含有30角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．先连接，并延长交于点D，再连接，根据同圆中同弧所对的圆周角相等，可得，而是直径，那么易知是直角三角形，再利用直角三角形中的角所对的边等于斜边的一半，那么可求，进而可知半径的长，任意圆内接正方形都是以两条互相垂直的直径作为对角线的四边形，故利用勾股定理可求正方形的边长，从而可求正方形的面积． 【详解】解：连接，并延长交于点D，再连接，如图， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， ∴的直径是4， ∵的内接正方形是以两条互相垂直的直径为对角线的， ∴=． 故答案为：8． 【变式3】一个直角三角形两条直角边的长分别为，，则这个直角三角形的内心与外心之间的距离是 ． 【答案】 【分析】此题考查了直角三角形的外心与内心概念，及内切圆的性质．利用在，可求得，根据内切圆的性质可判定四边形是正方形，所以用r分别表示：，，；再利用作为相等关系求出，则可得，N为圆与的切点，M为的中点，根据直角三角形中外接圆的圆心是斜边的中点，即M为外接圆的圆心；在中，先求得，由勾股定理可求得． 【详解】解：如图，在，，，， ∴， 设的内切圆的半径为r，则， ∵， ∴，，， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴． 【变式4】已知：如图，是的内切圆，．若，，求的半径r；若，，，求的半径r． 【答案】3； 【分析】本题考查了直角三角形的内切圆的性质及半径的求法，利用切线长定理得出四边形是正方形是解题的关键； 首先设、、与的切点分别为D、E、F；证四边形是正方形；根据切线长定理可得：，由此可求出r的长． 【详解】解：如图； 设、、与的切点分别为D、E、F； 在，，，； 根据勾股定理； 四边形中，，； 则四边形是正方形； 由切线长定理，得：，，； 则； 即：． 当，，， 由以上可得： ； 即：． 则的半径r为：． 题型05 直角三角形周长、面积与内切圆半径关系 【典例1】直角三角形的两直角边分别为a，b，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，则a，b，R，r    四者之间的关系是 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用．切于E，切于F，切于D，得出正方形推出，根据切线长定理结合三角形的周长求出，即可求出答案． 【详解】解：如图，切于E，切于F，切于D，连接， 则，， ∴四边形是正方形， ∴， 由切线长定理得：， ∵直角三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r， ∴， 即的周长是 ， ∴， 故选：A． 【变式1】刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，三角形内接圆半径，令，根据选项中关系式计算比较判断即可． 【详解】解：为直角三角形， 令． 选项A：，选项B：，选项C：，选项D：， 只有D选项结果跟其他选项结果不一致， 表达式错误的是D选项， 故选：D． 【变式2】在中，，，则的内切圆的半径为 ． 【答案】1 【分析】本题考查求直角三角形的内切圆的半径，勾股定理求出的长，设内切圆的半径为，根据切线长定理，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设的内切圆与三边的切点分别为，内切圆的半径为，如图， 则：四边形为正方形，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 【变式3】如图，在中，，是的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为 ． 【答案】1 【分析】连接、．由已知条件可得出，，结合已知条件证明四边形是正方形，由正方形的性质可得出， 根据切线长定理可得，，进而可得出，，，最后利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：连接、． ∵内切于， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴．． ∵内切于， ∴，， ∵，， ∴，， 在中， 即． 解得：，（舍去）， 故的半径为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质，正方形的判定以及性质，切线长定理，勾股定理，掌握三角形内切圆的性质，正方形的判定以及性质，切线长定理是解题的关键． 【变式4】我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设为三角形三边，为面积，则，这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设（周长的一半），则 （1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值； （2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从或者）； （3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，的内切圆半径为，三角形三边长为，仍记，为三角形面积，则． 【答案】（1）；（2）公式和等价；推导过程见解析；（3）见解析． 【分析】分别将5,7,8代入两个公式计算验证即可； 求出，把①中根号内的式子可化为： ，即可得出结论； 连接，，由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：由得：， 由得：， ； 公式和等价；推导过程如下： ， ， 中根号内的式子可化为： ， ； 连接，如图所示： ． 【点睛】本题考查三角形的内切圆、数学常识以及三角形面积公式；熟练掌握三角形面积的计算方法是解题的关键． 题型06 一般三角形周长、面积与内切圆半径关系 【典例1】如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据切线的性质可得，由三角形的内角和定理可得，等量代换即可判断选项B；根据切线长定理可设设，，，由，，，可列出方程组，求解即可判断选项C；过点C作于点H，根据勾股定理得到，构造方程可求出，得到，设的半径为r，即，根据即可求出的半径，从而判断选项D；由，得到，用反证法即可证得不成立，从而判断选项A． 【详解】解：∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故B选项正确； ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∵，，， 设，，， ∴，解得， ∴，，，故C选项正确； 过点C作于点H， ∴， 设，则， ∵在中，， 在中，， ∴，解得， ∴， ∴， 连接，，，， 设的半径为r，即， ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∴， ∴，解得：， ∴，故D选项正确； ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， 若成立， 则，这与矛盾， ∴不成立，故A选项错误． 故选：A 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，三角形的内角和定理，圆周角定理等，综合运用相关知识是解题的关键． 【变式1】如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接．利用切线长定理，可得，从而得到，再由圆周角定理，可得，即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 【变式2】三角形的周长为，三角形的内切圆的半径为，则这个三角形的面积为 ． 【答案】10 【分析】根据三角形的面积求解即可． 【详解】解：三角形的周长为，三角形的内切圆的半径为， 三角形的面积， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了三角形周长、面积与内切圆半径的关系，如果三角形三边长分别为、、，内切圆半径为，则三角形的面积． 【变式3】如图，是的内切圆，点D，E是切点，，，则 ． 【答案】110° 【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠B，再由切线的性质得∠BDO＝∠BEO＝90°，从而得出∠DOE． 【详解】解：∵∠A＝50°，∠C＝60°， ∴∠B＝180°−50°−60°＝70°， ∵E，D是切点， ∴∠BDO＝∠BEO＝90°， ∴∠DOE＝360°−90°−90°−70°＝110°． 故答案为：110°． 【点睛】此题考查了三角形的内切圆和切线的性质，三角形内角和，四边形内角和，是基础知识要熟练掌握． 【变式4】量化分析是解决数学问题的重要策略．在初中几何学习的历程中，借助量化去分析图形特征往往更能直击问题本质，是一种大道至简的思路． 【量化构形】 (1)如图①，已知线段，用无刻度直尺和圆规求作线段，使得．(不写作法，保留作图痕迹)    【量化解数】 顶角为的等㙘三角形称为“锐角黄金三角形”． (2)如图②，和都是锐角黄金三角形．求证：．    【量化作图】 (3)如图③，已知，用无刻度直尺和圆规作的内接“锐角黄金三角形”．(保留作图痕迹，并写出必要的文字说明)    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）作线段，过点作，截取，则，以为端点，在的延长线上截取，则线段，则； （2）证明，可得，根据等腰三角形的性质可得，进而可得，解方程即可求解； （3）将圆五等份，得出五边形是正五边形，进而即可求解． 【详解】（1）如图所示，作线段，过点作，截取，则，以为端点，在的延长线上截取，则线段，则，    （2）∵和都是锐角黄金三角形， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 即 设，， 则 解得： ，即； （3）如图所示，先作圆的直径，作的直径的垂直平分线交于点， 作的垂直平分线交于点， 连接，，以为圆心的长为半径， 作弧交于点，则，然后以为圆心的长为半径在圆上依次画弧交于点， 连接，则即为所求    ∴五边形是正五边形，则， 则即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理，作线段，相似三角形的性质与判定，正五边形与圆，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型07 尺规作图——正多边形 【典例1】如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 【变式1】如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 【答案】D 【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等 【详解】甲： ∵BF是中垂线   ∴四边形OCDE是菱形    ∴△OCD, △OED都是等边三角形， 同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 乙： ∵AB=AO=BO=AF=OF ∴△OAB, △OAF都是等边三角形， 同理可得△OCD, △OED也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 故选D 【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等 【变式2】如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为 ． 【答案】． 【分析】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角∠COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可． 【详解】连接OD,OC,OE, ∵八边形ABCDEFGH是正八边形, ∴∠COD=∠DOE==45°, ∴∠COE=45°+45°=90°, ∴∠CPE=∠COE =45°. 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键． 【变式3】如图所示，边长为2的正六边形的中心与坐标原点O重合，AF与x轴平行，则的长为 ． 【答案】 【分析】过F作轴于点H，连接，根据六边形是正六边形，且边长为2，可得，，，根据勾股定理求解即可． 【详解】如图，过F作轴于点H，连接． ∵六边形是正六边形，且边长为2， ∴，，， ∴，，． 在中， ． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键 【变式4】如图，中，，点O是的内心．求的度数． 【答案】117.5° 【分析】由点是的内心，，，根据三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，即可求得与的度数，又由三角形内角和定理，即可求得的度数． 【详解】解：点是的内心，，， ，， ． 【点睛】此题考查了三角形内心的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点． 1．已知在正方形网格中的位置如图所示，A，B，C，P四点均在格点上，则点P叫做的（    ）    A．垂心（三边高线的交点） B．重心（三边中线的交点） C．外心（三边垂直平分线的交点） D．内心（三内角平分线的交点） 【答案】B 【分析】本题考查了对三角形“四心”的判断，找到格点即可求解． 【详解】解：如图所示：    ∵是的中线， ∴点P叫做的重心 故选：B 2．如图，点O为正五边形的中心，连接，则的度数为（    ） A．72° B．54° C．60° D．36° 【答案】A 【分析】根据正边形的中心角的度数为，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：的度数为； 故选A． 3．如图，等边三角形和正方形均内接于，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质并能准确计算是解题关键．连接、、、，过点作于点，利用求出圆的半径，再求出和，利用直角三角形性质和勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：连接、、、，过点作于点，如图， ∵正方形内接于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵等边三角形内接于， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的面积，先根据含直角三角形的性质求出，进而求出正十二边形的面积，即圆的面积，再根据圆的面积公式可得答案． 【详解】如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，过A作于， 在正十二边形中，， ， ， 正十二边形的面积为， ， ， 的近似值为3. 故选：B． 5．如图，点I为的内心，连接并延长，交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（    ） A．5 B．4.5 C．4 D．3.5 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，延长到，使，连接．通过内心和圆周角可得，进而得到，根据勾股定理求出，证明是的中位线即可解决问题． 【详解】解：延长到，使，连接， 是的内心， ，， ，，， ， ， ， ∴， ∵， ， ∵，， ， ， ，即点为的中点， ， 是的中位线， ， 故选：C． 6．半径为3的正六边形内接于，则正六边形的边长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查正多边形和圆，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．六边形是的内接正六边形，证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：解：如图，是的内接正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为． 7．如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则地基的面积为 m2． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和计算即可． 【详解】解：把正六边形分成6个全等的正三角形，易得每个正三角形的边长为，高为， ∴正六边形的面积为， 故答案为：. 8．正六边形的半径是2，则其内切圆半径是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形的内接圆和外接圆，关键在于根据题意画出草图，再根据三角函数求解，这是多边形问题的解题思路．连接，作于点G，则，则是等边三角形，再利用锐角三角函数解答，即可． 【详解】解：如图，连接，作于点G，则， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴即其内切圆半径是． 故答案为： 9．如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 ； 【答案】2 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质．连接，，，过点分别作，，于点，，，根据，，可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，，，过点分别作，，于点，，， 在中， ，，， ， 是的内心， ， ， ， ， 点到边的距离为2； 故答案为：2． 10．如图，A，B，C，D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则 ． 【答案】30°/30度 【分析】本题考查了正多边形的外角，正多边形的中心角，等边对等角等知识，利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据正多边形的中心角的概念求出的度数，再由正多边形的半径，根据等腰三角形的性质求解即可. 【详解】连接，，如图．正多边形的每个外角相等，且其和为，据此，可得正多边形的边数 ， ， ∴ 故答案为：． 11．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON （1）求图1中∠MON的度数 （2）图2中∠MON的度数是　　，图3中∠MON的度数是　　 （3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____ 【答案】（1）；（2），；（3）． 【分析】（1）如图（见解析），先根据圆内接正三角形的性质可得，再根据圆内接正三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据角的和差、等量代换即可得； （2）如图（见解析），先根据圆内接正方形的性质可得，再根据（1）同样的方法可得；先根据圆内接正五边形的性质可得中心角，再根据（1）同样的方法可得； （3）根据（1）、（2）归纳类推出一般规律即可得． 【详解】（1）如图，连接OB、OC，则， 是内接正三角形， 中心角， ∵点O是内接正三角形ABC的内心， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图1，连接OB、OC， 四边形ABCD是内接正方形， 中心角， 同（1）的方法可证：； 如图2，连接OB、OC， 五边形ABCDE是内接正五边形， 中心角， 同（1）的方法可证：， 故答案为：，； （3）由上可知，的度数与正三角形边数的关系是， 的度数与正方形边数的关系是， 的度数与正五边形边数的关系是， 归纳类推得：的度数与正n边形边数n的关系是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握正多边形中心角的求法是解题关键． 12．如图，已知，平分交于点D，请利用尺规作的内切圆．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了内切圆的作图，先作出的平分线，交于点O，过点O作的垂线，垂足为E，以点O为圆心为半径作圆即可． 【详解】解：即为所求作的圆，如图所示． 13．如图，已知正六边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1的正六边形内部作一点，连接，使得． (2)在图2的正六边形内部作一点，连接，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正六边形的性质、锐角三角函数等知识，掌握正六边形的性质是解答的关键． （1）连接、，设交点为M，根据正六边形的性质可得，利用可得点M即为所求； （2）连接，，设交点为N，可得，，，则，由可得结论． 【详解】（1）解：如图1，点M为所求作； （2）解：如图2，点N即为所求作： 14．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）—猜想—推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图①，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图②，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为 ▲ °． 对角线：…… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_______． (2)如图③，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图④，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)240 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】（1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和为； （2）连接，，通过全等很容易证出； （3）作、、的垂直平分线，在圆内线上取一点或者圆外取一点都行，切记不能取圆上，否则就是正六边形了． 【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，， ∴等边半正六边形相邻两个内角的和为， 故答案为：240； （2）解：． 理由如下：连接，． 六边形是等边半正六边形． ，． ． ． 在与中， ， ． ； （3）解：如图，六边形即为所求（答案不唯一）． 作法一：作法二：． 【点睛】本题主要考查圆综合题，以等边半正六边形为背景，理解题意以及掌握圆和多边形的相关性质是解题关键． 15．如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮（）上切一块最大的且无破损的圆形铁皮（）． (1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，不写作法） (2)三角形铁皮上有一破损小洞（点P）． ①如图②，点P在的中心，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②点P不在的中心． i）点P的位置如图③所示，画出的示意图，并写出用直尺和圆规作的思路； ii）随着点P位置的改变，的大小和位置都有可能发生变化．要使与i）中所画的圆的大小和位置都完全相同，那么点P可以在哪些位置？请描述出这些位置． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②i）见解析；ii）见解析 【分析】本题考查了作三角形的内切圆，等边三角形，角平分线； （1）作角平分线的交点，作三角形的内切圆； （2）①方法一：使得为的三等分点；方法二：使得为的中心；方法三：作，的垂直平分线与的交点； ②i）如图⑤或图⑥，即为所求．思路1：作的角平分线，作分别与，相切，连接，交于点，过点P作，交于点O，思路2：作的角平分线，作点P关于的对称点，的延长线交于点M；作，在上截取，以为直径作，过点H作，交于点E；ii），分别是的角平分线，，分别交于点H，G，点P在上． 【详解】（1）解：如图①，⊙O即为所求，    （2）解：①方法一：使得为的三等分点；方法二：使得为的中心；方法三：作，的垂直平分线与的交点，作图如下： ②i）如图⑤或图⑥，即为所求． 思路1：作的角平分线，作分别与，相切，连接，交于点，过点P作，交于点O，以O为圆心，为半径作． 思路2：作的角平分线，作点P关于的对称点，的延长线交于点M；作，在上截取，以为直径作，过点H作，交于点E，可得；在上截取，可知；过点N作，交于点O，以O为圆心，为半径作． ii）如图⑦，，分别是的角平分线，，分别交于点H，G，点P在上（点P不与G，H重合）．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 正多边形和圆 课程标准 学习目标 ①正多边形的中心角 ②三角形的外接圆与内切圆 ③正多边形——尺规作图 1.认识正多边形的中心角． 2.探索三角形的外接圆与内切圆的异同点，学会用尺规画正多边形 。 知识点01 三角形的外接圆与内切圆 三角形的内心、外心、重心、垂心 （1）三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. （2）三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示. （3）三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示. （4）垂心：是三角形三边高线的交点. 要点诠释： （1）任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； （2）解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). （3） 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 知识点02 圆内接四边形和外切四边形 （1）四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. （2）各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等. 题型01 正多边形的中心角 【典例1】正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在同一个圆中作出圆的内接正三角形 和正八边形 ，若连接 ，则 的度数是 （     ） A． B． C． D． 【变式2】正八边形的中心角等于 度． 【变式3】如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 【变式4】如图，在梯形中，（），，．将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、． (1)当点正好落在的延长线上时，求的度数； (2)联结，设，． ①求关于的函数解析式； ②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形．设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求双同正多边形的边数． 题型02 运用中心角求边数 【典例1】如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 【变式1】一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是(   ) A．14 B．18 C．16 D．20 【变式2】一个正多边形的边长为2，中心角为，则这个正多边形的周长是 ． 【变式3】如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的边数是 ． 【变式4】如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 题型03 三角形的内心 【典例1】如图，是的内切圆，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2】已知中，，点I是它的内心，则 ． 【变式3】如图，点是的内心，若，则 ． 【变式4】如图1，在中 ，，是的外接圆，连结并延长交于点 D． (1)求证：； (2)如图2，点E是线段上的动点，连结并延长交分别交，于点F，M，连结， ①当点 E与重合时（如图3），求证：； ②在①的条件下，若，求的长度； ③若， 求的最大值，并写出此时的值． 题型04 三角形的内切圆与外接圆 【典例1】已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 【变式1】如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ）    A．1 B．2 C． D． 【变式2】设的内接三角形满足，则的内接正方形的面积等于 ． 【变式3】一个直角三角形两条直角边的长分别为，，则这个直角三角形的内心与外心之间的距离是 ． 【变式4】已知：如图，是的内切圆，．若，，求的半径r；若，，，求的半径r． 题型05 直角三角形周长、面积与内切圆半径关系 【典例1】直角三角形的两直角边分别为a，b，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，则a，b，R，r    四者之间的关系是 （     ） A． B． C． D． 【变式1】刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在中，，，则的内切圆的半径为 ． 【变式3】如图，在中，，是的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为 ． 【变式4】我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设为三角形三边，为面积，则，这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设（周长的一半），则 （1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值； （2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从或者）； （3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，的内切圆半径为，三角形三边长为，仍记，为三角形面积，则． 题型06 一般三角形周长、面积与内切圆半径关系 【典例1】如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 【变式2】三角形的周长为，三角形的内切圆的半径为，则这个三角形的面积为 ． 【变式3】如图，是的内切圆，点D，E是切点，，，则 ． 【变式4】量化分析是解决数学问题的重要策略．在初中几何学习的历程中，借助量化去分析图形特征往往更能直击问题本质，是一种大道至简的思路． 【量化构形】 (1)如图①，已知线段，用无刻度直尺和圆规求作线段，使得．(不写作法，保留作图痕迹)    【量化解数】 顶角为的等㙘三角形称为“锐角黄金三角形”． (2)如图②，和都是锐角黄金三角形．求证：．    【量化作图】 (3)如图③，已知，用无刻度直尺和圆规作的内接“锐角黄金三角形”．(保留作图痕迹，并写出必要的文字说明)    题型07 尺规作图——正多边形 【典例1】如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【变式1】如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 【变式2】如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为 ． 【变式3】如图所示，边长为2的正六边形的中心与坐标原点O重合，AF与x轴平行，则的长为 ． 【变式4】如图，中，，点O是的内心．求的度数． 1．已知在正方形网格中的位置如图所示，A，B，C，P四点均在格点上，则点P叫做的（    ）    A．垂心（三边高线的交点） B．重心（三边中线的交点） C．外心（三边垂直平分线的交点） D．内心（三内角平分线的交点） 2．如图，点O为正五边形的中心，连接，则的度数为（    ） A．72° B．54° C．60° D．36° 3．如图，等边三角形和正方形均内接于，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（    ） A． B．3 C． D． 5．如图，点I为的内心，连接并延长，交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（    ） A．5 B．4.5 C．4 D．3.5 6．半径为3的正六边形内接于，则正六边形的边长为 ． 7．如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则地基的面积为 m2． 8．正六边形的半径是2，则其内切圆半径是 ． 9．如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 ； 10．如图，A，B，C，D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则 ． 11．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON （1）求图1中∠MON的度数 （2）图2中∠MON的度数是　　，图3中∠MON的度数是　　 （3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____ 12．如图，已知，平分交于点D，请利用尺规作的内切圆．（保留作图痕迹，不写作法） 13．如图，已知正六边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1的正六边形内部作一点，连接，使得． (2)在图2的正六边形内部作一点，连接，使得． 14．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）—猜想—推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图①，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图②，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为 ▲ °． 对角线：…… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_______． (2)如图③，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图④，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 15．如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮（）上切一块最大的且无破损的圆形铁皮（）． (1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，不写作法） (2)三角形铁皮上有一破损小洞（点P）． ①如图②，点P在的中心，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②点P不在的中心． i）点P的位置如图③所示，画出的示意图，并写出用直尺和圆规作的思路； ii）随着点P位置的改变，的大小和位置都有可能发生变化．要使与i）中所画的圆的大小和位置都完全相同，那么点P可以在哪些位置？请描述出这些位置． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$