27.4正多边形和圆课件2022-2023学年华东师大版九年级数学下册

27.4　正多边形和圆 27章 圆 问题1 什么叫做正多边形？ 回顾旧知 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. 问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？ 不是，因为矩形不符合各边相等； 不是，因为菱形不符合各角相等； 问题3 多边形的内角和公式是什么？ 问题4 正多边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 新知探究 一、正多边形的对称轴 分别画出下图各正多边形的对称轴,看看能发现什么结果? 三条 四条 五条 六条 正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴. 正多边形的对称轴都相交于同一点 这点既是正多边形每边垂直平分线的交点，又是正多边形每个内角平分线的交点. 二、正多边形与圆的关系 以正五边形为例，观察正五边形与圆有何关系？ A B C D E O F J I H G 正五边形 的内切圆 正五边形的对称轴都交于一点O.这些对称轴是正五边形各边的 ,故点O到正五边形各个 的距离相等,记为R. 垂直平分线 顶点 以点O为圆心、R为半径的圆就过正五边形的各个顶点. 正五边形 的外接圆 以点O为圆心、r为半径的圆就与正五边形的各条边都相切. 正五边形有几个外接圆和几个内切圆呢？ 正五边形有且只有一个外接圆和一个内切圆 其他的正多边形是否一样呢？ 这些对称轴也是正五边形各内角的 ,故点O到正五边形各 的距离都相等,记为r. 角平分线 边 新知探究 二、正多边形与圆的关系 如图，作出下列正多边形的外接圆和内切圆，从中你能发现什么？ O O 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆. 这两个圆有什么共同特征呢？ 有公共的圆心 新知探究 三、正多边形的有关概念 新知总结 1.正多边形的中心:一个正多边形的外接圆(内切圆)的圆心叫做正多边形的中心.(即点O) 边心距r 2.正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.(即OA) 半径R 3.正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.(即∠AOB) 4.正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.(内切圆的半径，即OM) 中心角 M A B C D E F O 四、正多边形的边长、半径、边心距和中心角之间的关系 新知探究 若正多边形边数为,边长为，半径为，边心距为,则： E F C D A B O G R a r 问题1 正边形的中心角怎么计算？ 问题2 正边形的边长，半径，边心距之间有什么关系？ 问题3 边长，边心距的正边形的周长和面积如何计算？ 中心角为 周长C=na 随堂练习 1.正六边形的中心角的度数是_____. 2.正边形的中心角为24°，则它的边数是_____. 3.正六边形外接圆的半径为6，则它的边心距是_____，面积是_____. 4.若的半径，则其内接正方形的边心距为_____. E F C D A B O G 6 a r A B C D E 60° 15 五、正多边形的画法 新知探究 · A B C D E O A B C D E 为什么这样做的 就是正多边形呢？ 作法：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆. 在同圆或等圆中,如果弧相等,那么它们所对的弦相等. 作法:把圆分成n(n＞2)等份,依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个内接正n边形. 例1、利用尺规作图,作出已知圆的内接正方形和内接正六边形. · 解：内接正方形的作法： (1)用直尺任作圆的一条直径AC; A C (2)作与直径AC垂直的直径BD; B D (3)顺次连结所得的圆上四点，则四边形ABCD即为所求作的正方形. 圆的内接正八边形怎么作？ 过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆内接正八边形. 典例精析 例2、利用尺规作图,作出已知圆的内接正方形和内接正六边形. · 内接正六边形的作法： (1)用直尺任作圆的一条直径AD; A D (2)以点A为圆心、OA为半径作圆，与⊙O交于点B、F; O B F (3)以点D为圆心、OD为半径作圆，与⊙O交于点C、E; C E (4)顺次连结所得的圆上六点，则六边形ABCDEF即为所求作的正六边形. 典例精析 O F A B D E · C 例2、利用尺规作图,作出已知圆的内接正六边形. . 如图，从圆上某一点开始，依次以圆的半径长为半径作圆，也可以作出圆的内接正六边形. 想一想:为什么这两种方法作出来的图形都是正六边形？ 因为这两种方法都是把圆六等分，所以作出来的图形都是正六边形. 圆的内接正三角形怎么作？ 圆的内接正十二边形怎么作？ 过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正十二