第03讲 圆中的计算问题（3个知识点+10类题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（华东师大版）

第03讲 圆中的计算问题 课程标准 学习目标 ①三角形的外接圆 ②确定圆的条件 ③弧长与扇形面积 1. 掌握外接圆的画法，会计算弧长与扇形面积． 2. 利用圆的知识解决和圆有关的计算问题． 知识点01 圆中有关计算 　圆的面积公式：，周长. 　圆心角为、半径为R的弧长. 　圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积. 　 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 　 圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为. 知识点02 三角形的外接圆 三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示. 题型01 判定确定圆的条件 【典例1】下列说法中，正确的是（　　） A．平分弦的直径必垂直弦且平分弦所对的弧 B．三点确定一个圆 C．相等圆周角所对的弧相等 D．同弧所对的圆周角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，垂径定理，弧与圆周角，圆心角的关系，熟知圆的相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故原说法错误，不符合题意； B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故原说法错误，不符合题意； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误，不符合题意； D、同弧或等弧所对的圆周角相等，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】下列说法中，正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．等弧所对的圆周角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的基本性质、垂径定理及切线的性质，熟练掌握圆的各个性质是解题的关键； 因此此题可根据垂径定理、圆周角的性质及切线的性质可进行求解． 【详解】解：A、不共线的三点确定一个圆，故原说法错误； B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故原说法错误； C、过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，故原说法错误； D、等弧所对的圆周角相等，故原说法正确； 故选D． 【变式2】若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，圆的确定，根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点不在直线上，三个点确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：∵、， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴当时，平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆， 故答案为：4 【变式3】在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查确定圆的条件，不在同一直线上的三个点确定一个圆．判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，，在这条直线上， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 【变式4】小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证． 已知：如图，在四边形中，．    求证：点在同一个圆上． 他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点的，再证明第四个顶点也在上． 具体过程如下： 步骤一  作出过三点的． 如图1，分别作出线段的垂直平分线，    设它们的交点为，以为圆心，的长为半径作． 连接， （①______）．（填推理依据） ． 点在上． 步骤二  用反证法证明点也在上． 假设点不在上，则点在内或外． ⅰ．如图2，假设点在内．    延长交于点，连接． （②______）．（填推理依据） 是的外角， （③______）．（填推理依据） ． ． 这与已知条件矛盾． 假设不成立．即点不在内． ⅱ．如图3，假设点在外．    设与交于点，连接． ． 是的外角， ． ． ． 这与已知条件矛盾． 假设不成立．即点不在外． 综上所述，点在上． 点在同一个圆上． 阅读上述材料，并解答问题： （1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）； （2）填推理依据：①______，②______，③______． 【答案】（1）见解析；（2）①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．②圆内接四边形的对角互补．③三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【分析】本题考查的是画三角形的外接圆，线段的垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，圆的内接四边形的性质，反证法的运用，熟练的利用反证法证明命题的真假是解本题的关键； （1）先作线段，的垂直平分线，得到交点O，再以O为圆心，为半径画圆即可； （2）由线段的垂直平分线的性质可得，再利用圆的内接四边形的性质可得对角互补，结合三角形的外角的性质可得推理的依据． 【详解】解；（1）补全图1，如图．    （2）①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． ②圆内接四边形的对角互补． ③三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 题型02 三角形外接圆的理解 【典例1】下列说法正确的是：（    ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系及三角形外外心的知识．根据垂径定理、圆周角定理及确定圆的条件，结合各选项进行判断即可． 【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法不正确； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法不正确； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法不正确； D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故原说法正确． 故选：D． 【变式1】下列说法：有下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）直径是圆中最长的弦，（3）圆的内接平行四边形是矩形，（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等，（5）相等的圆心角所对的弧相等，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据等弧的概念可判断（1）；根据直径的特征可判断（2）；根据圆内接四边形的性质和矩形的判定方法可判断（3）；根据三角形的外接圆可判断（4）；根据圆周角定理可判断（5）． 【详解】解：（1）同圆或等圆中，能够重合的弧是等弧，故原说法错误； （2）直径是圆中最长的弦，正确； （3）圆内接平行四边形的对角互补，邻角互补，可得对角既相等又互补，即平形四边有一个内角是，所以圆的内接平行四边形是矩形，正确； （4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故原说法错误； （5）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误． 故选B． 【点睛】本题考查了等弧的概念，平行四边形的性质，矩形的判定，三角形的外接圆，圆周角定理等知识，熟练掌握圆的有关性质是解答本题的关键． 【变式2】如图：已知是等边三角形，O为外接圆圆心，以O为旋转中心，按顺时针方向至少旋转 度与原来的三角形重合． 【答案】120 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据等边三角形的性质可得点O是等边三角形的中心，再根据旋转对称图形的性质，用除以3计算即可得解． 【详解】解：∵O为为外接圆圆心，， ∴点O是的中心， ∵， ∴以O为旋转中心，按顺时针方向至少旋转与原来的三角形重合． 故答案为：120． 【变式3】在中，若两直角边长为、，则它的外接圆的面积为 ． 【答案】/平方厘米 【分析】此题考查的是求三角形的外接圆的面积，掌握圆周角为直角所对的弦是直径是解决此题的关键． 根据题意，写出已知条件并画出图形，然后根据勾股定理即可求出，再根据圆周角为直角所对的弦是直径即可得出结论． 【详解】 如图，已知：，， 由勾股定理得： ， ∵， ∴是的直径， ∴这个三角形的外接圆直径是，半径为， ∴面积为， 故答案为：． 【变式4】已知，如图，和中，，，，点D是的外心，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】菱形；理由见解析 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质、三角形的外心的性质以及菱形的判定，掌握四条边都相等的四边形是菱形是解题的关键．根据，得到，根据全等三角形的判定定理得到，得到，根据三角形外心的性质得到，根据菱形的判定定理得到答案． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D是的外心， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形． 题型03 三角形的外心 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形外心，坐标与图形，垂直平分线的性质，首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心，解题的关键是正确理解三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 【详解】解：如图， ∵的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴分别作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心， 根据坐标可得：， 故选：B． 【变式1】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据垂径定理得出外接圆的圆心位置． 连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可． 【详解】解：连接，作的垂直平分线，如图所示： 在的垂直平分线上找到一点， ， 点是过、、三点的圆的圆心， 即的坐标为， 故选：D． 【变式2】如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的性质，两点之间距离公式，确定外心的性质是解题的关键． 先根据点坐标建立平面直角坐标系，由外心的性质得到点为与垂直平分线的交点，设，通过两点之间距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴建立如图所示平面直角坐标系， 则， 设外心为，连接， ∴点为与垂直平分线的交点， ∴点在直线上，， 设， 由得，， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点，可得点是的外心．解决本题的关键是掌握外心定义． 【详解】解：如图，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点， 点是的外心， 的外心的坐标为， 故答案为：． 【变式4】如图，平面直角坐标系中有一个．    (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是 ； (3)该圆圆心到弦的距离为 ； (4)最小覆盖圆的半径为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了三角形外心的性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，熟练掌握以上知识点并利用数形结合思想是解题的关键． （1）根据三角形外心的性质，分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心； （2）根据（1）所求，可由坐标系直接得到答案； （3）取的中点，连接，根据等腰三角形三线合一可知，利用勾股定理求出即为所求； （4）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心，如图即为所求：    （2）解：由（1）可知，点坐标为 故答案为：． （3）解：取的中点，连接，如图，    则 该圆圆心到弦的距离为 故答案为：． （4）解：由图可知，最小覆盖圆的半径为长 如图所示，可知为所求，利用网格    故答案为：． 题型04 求弧长 【典例1】将一个半径为1的圆形纸片，按如图所示的方式连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长为（    ） A． B． C． D．π 【答案】A 【分析】本题考查弧长公式，利用折叠的性质求出虚线①所对的圆弧对的圆心角的度数，然后根据弧长公式计算． 【详解】解：根据题意，虚线①所对的圆弧对的圆心角为， 所以虚线①所对的圆弧长． 故选：A． 【变式1】如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，弧长公式等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接，根据垂直平分线的性质得，可得是等边三角形，求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 的长为， 故选：B． 【变式2】一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算，根据扇形面积公式求得半径，再根据弧长的公式求弧长即可． 【详解】解：令扇形的半径和弧长分别为和， ， ， ． 扇形的弧长为． 故答案为：． 【变式3】将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．先根据扇形面积公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出弧长，最后根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为，弧长为， 由题意得：， 解得：（负值舍去）， 则， 解得：， ∴圆锥的底面圆的半径为：， 故答案为：． 【变式4】如图，是的内接三角形，为直径，，平分，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求弧的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算； （1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到，结合三角形内角和可得结论； （2）连接，根据平角定义得到，根据圆周角定理得到，求得，得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ，又， 在和中， ，， ； （2）解：连接， ， ， 为直径， ， ， ， ， ∴的长=． 题型05 求扇形半径 【典例1】已知扇形的弧长为，该所对圆心角为，则此扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用弧长公式计算扇形半径，扇形的半径为，然后用弧长公式即可求解，熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】设扇形的半径为， ∴， 解得：， 故选：． 【变式1】已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，则该圆的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长公式，设该圆的半径为，根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：设该圆的半径为，根据题意得： ， 解得：， 即该圆的半径为． 故选：B 【变式2】已知扇形的面积是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，设该扇形的半径是，再根据扇形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设该扇形的半径是，则 ， 解得． 故答案为：2． 【变式3】已知圆上的一段弧长为，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径是 cm． 【答案】 【分析】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设圆的半径为， ， 解得：， 故答案为：． 【变式4】如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆心角是90°的最大扇形ABC， (1)求AB的长； (2)求图中阴影的面积； (3)若用该扇形铁皮围成一个圆锥，求所得圆锥的底面圆的半径． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据圆的性质得到当为圆的直径时扇形最大，根据勾股定理即可得到答案； （2）用圆的面积减去扇形面积即可得到答案； （3）根据圆锥展开图扇形弧长等于底面圆周长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， ∵扇形ABC是圆心角是90°的最大扇形， ∴BC为⊙O的直径，，， 在中，根据勾股定理可得， ， ； （2）解：由题意可得， ； （3）解：设所得圆锥的底面圆的半径为r，由题意可得， ， ∴ 解得：． 【点睛】本题考查勾股定理，扇形面积公式及圆锥展开图性质，解题的关键是熟练掌握，及圆锥展开图扇形弧长等于底面圆周长． 题型06 求圆心角 【典例1】一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：滑轮的直径是， 滑轮的半径是， 设旋转的角度是， 由题意得：， 解得：， 滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为， 故选：B． 【变式1】一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：滑轮的直径是， 滑轮的半径是， 设旋转的角度是， 由题意得：， 解得：， 滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为， 故选：A． 【变式2】一个扇形的弧长是，半径是6cm，则此扇形的圆心角是 度． 【答案】90 【分析】本题考查弧长公式，利用弧长公式列方程求解即可．掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 由题意得：， 解得：． 故答案为：90． 【变式3】半径为厘米的扇形，其弧长为厘米，这个扇形的圆心角为 ． 【答案】 【分析】此题考查了弧长公式，设这个扇形的圆心角度数为，半径为厘米的扇形，其弧长为厘米，则，解方程即可． 【详解】解：设这个扇形的圆心角度数为，则 ， 解得 故答案为： 【变式4】如图1、图2，半圆O的直径，的长．作于点E，交半圆O于点D． (1)①求的大小； ②求弦的长； (2)如图2，过点C作半圆O的切线．请直接写出点D到切线的距离 ． 【答案】(1)①；②； (2)3． 【分析】此题考查了弧长公式，圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数： （1）①根据弧长公式求出的度数，利用圆周角定理求出的大小；②利用吹净定理及三角函数求出的长； （2）连接，求出，证得是等边三角形，得到，．求出．作于点F，利用三角函数求出答案． 【详解】（1）解：①∵半圆O的直径，∴半圆O的半径等于6， 又∵的长， ∴， 解得：， ∴； ②∵于点E， ∴，， 又∵， ∴； （2）如图2，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，． ∴． 作于点F， ∴． 故答案为3． 题型07 求扇形面积 【典例1】如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定义，扇形的面积，连接，由圆周角定理可得，进而得，再根据扇形的面积计算公式计算即可求解，掌握圆周角定理及扇形的面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】如图，是半圆O的直径，，B，C是半圆O上两点．若，则图中阴影部分的面积是（    ） D A． B． C． D． 【答案】A 【解题分析】本题考查的知识点是扇形面积的计算，根据圆心角与弧的关系得到，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴阴影部分面积 故选A． 【变式2】如图，是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：正八边形和正六边形， ，， ， ． 故答案为：． 【变式3】已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长公式，扇形面积的计算等知识点，注意：圆心角为，半径为的扇形的面积弧长．设扇形的半径为，根据弧长公式和已知条件得出，求出，再根据扇形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 扇形的圆心角为，弧长为， ， 解得：， 扇形的面积为， 故答案为：． 【变式4】如图，已知：在中，，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，且．    (1)求弧的弧长； (2)求扇形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆的性质、等腰三角形的性质、弧长公式、扇形面积公式等知识点，掌握相关公式成为解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余可得，再根据等边对等角可得，进而得到，最后根据弧长公式即可计算弧的弧长； （2）直接运用扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧的弧长为． （2）解：∵，， ∴扇形的面积． 题型08 求弓形面积 【典例1】如图，两个半径均为4的圆形纸片完全重合叠放在一起，让其中的一张圆形纸片绕着直径的一端按逆时针方向旋转后得到直径为的圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算、旋转变换的性质、解直角三角形等知识点，连接，作，根据旋转变换的性质求出的度数，再根据扇形面积公式、三角形面积公式，结合图形计算即可，熟练掌握其性质合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，连接，，作， 由旋转知：， ∴， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故选：C． 【变式1】如图，是的直径，是弦，，在直径上截取，延长交于点，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，过点O作于点F，求出，由圆周角定理得，得，由三角形外角的性质得，由垂径定理得，根据勾股定理得，根据求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点F，    则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴∠， ∴∠， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积等知识，求出扇形的半径和圆心角是解答本题的关键． 【变式2】如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，熟练掌握圆的性质，扇形面积公式是解题的关键．根据圆周角定理可得，再根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，，为的直径． ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为： 【变式3】如图，已知在边长为1的小正方形的格点上，的外接圆的一部分和的边组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了网格知识，勾股定理，弓形面积的求解，取格点，则点为的外接圆的圆心，先求出，再根据求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解 ：取格点，则点为的外接圆的圆心，如图： 由网格可知，， ， ∵ ， 故答案为：． 【变式4】如图，是的切线，为切点，直线交于，两点，连接，，过点作交于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，的半径为，求阴影部分的面积（用含π的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、扇形的面积公式． （1）根据圆周角定理、平行线的性质、垂径定理即可得到结论； （2）连接，由切线的性质得出，由圆周角定理得出，证出，即可得出，根据相似三角形对应边成比例得出结论． （3）证明是等边三角形求出，由三角形的面积公式及扇形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）证明：∵直线交⊙O于，两点， ∴是的直径， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图，连接． ∵是的切线，为切点， ∴，即， 又∵是直径， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． （3）解：由（1）知． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴，． 如图，过点O作于点， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 题型09 求不规则图形面积 【典例1】如图, 在等腰直角三角形中，，分别以点B，点 C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算及根据题意应用面积差求阴影部分的方法进行求解是解决本题的关键． 先根据等腰直角三角形的性质计算出的长，再计算出的面积，根据，两个扇形的半径相等，即可算出扇形的面积之和，再根据阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴两个扇形面积之和， ∴． 故选：D． 【变式1】如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】连接，将绕点O顺时针旋转得到．证明，推出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到． ， ， 在菱形中，点O是对角线的中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，构造三角形全等，利用是解题的关键． 【变式2】如图，在边长为3的等边三角形中，以为直径构造半圆，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，，，根据等边三角形的判定与性质求出、、是边长相等的等边三角形，再根据阴影部分的面积求解即可．此题考查了扇形的面积、等边三角形的性质，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，， 是等边三角形的边长为3， ，， 以为直径构造半圆， ， 、是等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【变式3】如图所示，在直角三角形中，，，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的面积和扇形的面积的计算，用直角三角形的面积减去两个半径相等的扇形的面积，就是剩余部分的面积． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式4】如图，四边形中，，，，连接，以点为圆心，长为半径作，交于点． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）过点作，证明，得到，即可证明与圆相切； （2）先证明是等边三角形，根据三线合一得到，求出，再利用求出阴影部分面积． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，则点在圆上， 与相切； （2）解：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积 ． 【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，直角三角形的计算，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确作出辅助线． 题型10 求运动路径 【典例1】如图，在中，，把绕点A顺时针旋转后，得到，则点B走过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，求弧长，旋转的性质，先利用勾股定理得到，再由由旋转的性质可得，据此利用弧长公式求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 由旋转的性质可得， ∴点B走过的路径长为， 故选：D． 【变式1】如图，在中，，，．将绕的中点O逆时针旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．当点E与点C第一次重合时，点A运动路径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长公式，直角三角形的特征，旋转的性质，连接，由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得到，进而得到，则，易知点E 与点C 第一次重合时，旋转角为，根据旋转的性质得到，点A 运动路径的长为，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，点O是的中点，， ， ， ， ， 点E与点C第一次重合时，旋转角为， ， 由旋转的性质得到， 点A运动路径的长为， 点A运动路径的长为：， 故选：A． 【变式2】如图，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）．木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，此时，则点翻滚到位置时，走过的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及扇形的弧长，根据已知得出点运动的路线是解题关键． 根据弧长公式计算即可． 【详解】解：第一次是以为旋转中心，长为半径旋转， 此次点走过的路径是． 第二次是以为旋转中心，为半径旋转， 此次走过的路径是， 故点两次共走过的路径是． 故答案为：． 【变式3】如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点P，从点P作于点H，设的三个内角平分线交于点M，当点P在弧上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长的计算公式：，其中表示弧长，表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质．如图，连接，由的内心为M，可得到，并且易证，得到，所以点M在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；过、M、三点作，如图，连，，在优弧取点，连接，，可得，得，，然后利用弧长公式计算弧的长即可． 【详解】解：如图，连接， 的内心为M， ，， ， ∵， ∴， ， 又，为公共边， 而， ， ， 所以点M在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上； 过、M、三点作，如图，连接，，在优弧取点，连接，， ， ， ， ∵， ， 弧的长， 所以内心M所经过的路径长为． 故答案为：． 【变式4】在矩形中，，将线段绕点顺时针旋转）得到线段，连接． (1)如图1，当时，求的面积； (2)如图2 ，当时，求的值； (3)在线段旋转的过程中，直接写出面积的最大值 ，此时点运动的路径长为 ； 【答案】(1)的面积为 (2)的值为 (3) 【分析】（1）如图所示，过点作，根据含角的直角三角形的性质可得，根据旋转的性质可得，再根据三角形的面积的计算方法即可求解； （2）如图所示，过点作于点，根据旋转的性质可得是等边三角形，结合矩形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得的值，在中，运用勾股定理即可求解； （3）根据题意，可得点运动的路径是以点为圆，以为半径的圆（不包括起点和终点），当最大时，面积最大，可得当与点重合时，最大，由此即可求解的面积，再根据弧长公式即可求解点运动路径． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵旋转，且， ∴， ∴在中，， ∴， ∴的面积为； （2）解：如图所示，过点作于点 根据旋转，可得，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴的值为； （3）解：如图所示，线段绕点顺时针旋转得到线段，则点运动的路径是以点为圆心，以为半径的圆（不包含起点和终点），设点运动路径与交于点，过点作于点， 由（1）的计算方法可得，，其中的大小不变， ∴当最大时，的面积最大， ∴当点与点重合时，最大，且最大值为， ∴， ∴的长度为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，圆的基础知识，弧长的计算方法，掌握以上知识的综合运用，图形结合分析是解题的关键． 1．下列事件为必然事件的是（ ） A．掷一次骰子，向上一面的点数是 B．三点确定一个圆 C．画一个三角形，其内角和是 D．口袋中装有个红球和个白球，从中摸出个球，其中必有红球 【答案】D 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：∵“掷一次骰子，向上一面的点数是”，有可能是，有可能不是， ∴项属于随机事件， 故不符合题意； ∵“三点确定一个圆”，有可能确定圆，有可能不确定圆， ∴项属于随机事件， ∴故不符合题意； ∵“画一个三角形，其内角和是”，三角形的内角和是， ∴项是不可能事件， ∴故不符合题意； ∵“口袋中装有个红球和个白球，从中摸出个球，其中必有红球”，是必然发生的事件， ∴项是必然事件， ∴故符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件，三角形内角和定理，确定圆的条件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 2．如图，某广场欲在角落半径为5米的扇形区域内做绿化，先在外围种植一圈大叶黄杨作为隔离带，再在内部扇形区域内种植月季花，已知若种植大叶黄杨和月季花的区域面积相等，则扇形的半径为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．π米． 【答案】A 【分析】本题考查的是求解扇形的面积，一元二次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，根据面积相等建立方程求解即可． 【详解】解：∵，设， 而种植大叶黄杨和月季花的区域面积相等， ∴， 解得， 故选A 3．下列说法，错误的是（　　） A．过三点可以确定一个圆 B．等弧所对的圆心角相等 C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．直径是弦 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本知识，熟练掌握圆的基本定义，垂径定理，是解题的关键． 根据直径定义，圆心角、弧间的关系，垂径定理，确定圆的条件进行判断即可． 【详解】解：A．过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，原说法错误； B．等弧所对的圆心角相等，正确； C．弦的垂直平分线一定经过圆心，正确； D．直径是弦，正确． 故选：A． 4．的外接圆的半径，则斜边的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆，圆周角定理，根据90度角所对的弦是直径，得到斜边是的直径，即可得出结果． 【详解】解：∵是的外接圆， ∴斜边是的直径， ∵， ∴； 故选C． 5．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．5 B．10 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理，熟记直角三角形的斜边就是外接圆直径是解题关键．先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆直径等于斜边即可求解． 【详解】解：在中，，，， 斜边， 这个三角形的外接圆的直径是10， 故选：B． 6．在半径是的圆中，的圆心角所对的弧长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式，由此即可求解． 【详解】解：的圆心角所对的弧长为， 故答案为： ． 7．一个扇形的弧长是，半径是12，则这个扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积，熟练记忆公式是解题的关键． 根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．如图，为半圆O的直径，，，D为的中点，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角的性质，等腰三边角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积公式，解答本题的关键要明确求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 连接，得出，从而可知阴影部分的面积为． 【详解】解：为半圆O的直径， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， 连接， ， ， D为BC的中点， ， ， 故答案为：． 9．如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接．若，，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是切线的性质、三角形外角性质、圆的性质、扇形面积公式，解题关键是熟练掌握扇形面积的求法．先根据切线性质、圆的性质求得，再由三角形外角性质得到，即可利用扇形面积公式求解． 【详解】解：依题得：， ， ， ， ， 是的外角， ， ，且是直径， ． 故答案为：． 10．如图，在矩形中，，，点P在线段上从点B出发向点C运动，同时点Q在线段上以相同速度从点D出发向点A运动，过点A作交直线于点M，当点P从点B运动到点C的过程中，点M的运动路径长是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意确定点A、点G、点I和点H四点共圆，利用矩形的性质和三角形面积公式求得，则，，，即有、、和为等边三角形，进一步求得，点M的轨迹是以得内心O为圆心为半径的圆弧，进一步求得，，且，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图， 当点P在起点B处时，点M位于初始位置时为点I，当点P与点Q运动至中点时，点M即为点H是的中点，当点P运动到点C时，点M和点A重合，过点M作交于点G，连接，取其中点O，连接和， 则， ∴点A、点G、点I和点H四点共圆， ∵四边形矩形， ∴， ∵，， ∴，，即， ∵， ∴，解得， ∴， ∴，， ∵， ∵ ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， 同理可证，为等边三角形， 则， ∴为等边三角形， ∵点H和点G为中点， ∴， 则， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查四点共圆、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及弧长公式，解题的关键是找到点的轨迹和求得其圆心以及半径长． 11．如图是一个半径为的圆，扇形（阴影部分）的圆心角为，求扇形的面积．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形面积计算，掌握扇形面积公式是解决本题的关键；根据（为圆心角的度数）即可求解； 【详解】解：扇形的面积为：． ∴扇形的面积为． 12．如图，已知长方形的宽，以为圆心，长为半径画弧与边交于点，连接，若计算结果保留) (1)用含的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）阴影部分的面积是长方形的面积减去半圆的面积，再减去三角形的面积，且，由此即可求解； （2）根据（1）中的计算结果，将代入计算即可． 【详解】（1）解：设，， ∴， ∴ ，即阴影部分的面积是． （2）解：由（1）可知，， ∴， 即时，阴影部分的面积是． 【点睛】本题主要考查圆与三角形，长方形的综合运算，理解图形的组成，找出各图形间的关系是解题的关键． 13．如图，中，，点O是底边的中点，腰与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2)阴影部分的面积为 【分析】本题主要考查切线的性质及判定、扇形面积公式及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质及判定、扇形面积公式及等腰三角形的性质是解题的关键； （1）过点O作于点G，连接，由题意易得平分，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得为等腰直角三角形，则有四边形是正方形，然后根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】（1）证明：过点O作于点G，连接，如图所示： ∵腰与相切于点D， ∴， ∵，点O是底边的中点， ∴平分，， ∴， ∵都是圆的半径， ∴是的切线； （2）解：如图（1）， ∵，， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴阴影部分的面积为． 14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． (1)请标出该圆弧所在圆的圆心，并写出圆心的坐标； (2)求的半径； (3)若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明你的理由． 【答案】(1)见解析； (2) (3)点E在内部 【分析】本题考查了圆心位置的确定，点与圆的位置关系，勾股定理等知识，熟悉这些知识是解题的关键． （1）连接，则圆心D是线段、垂直平分线的交点，根据网格特点即可确定圆心D的位置及坐标； （2）根据网格特点，利用勾股定理即可求解； （3）利用勾股定理求出，与（2）求得的半径比较，即可判定位置关系． 【详解】（1）解：圆心D如图所示； 圆心坐标为； （2）解：由勾股定理得半径为：； （3）解：点E在内部； ， 而， 故点E在内部． 15．综合与实践 “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题： 问题情境： 如图1，一只蚂蚁从点出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为．底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是______； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长（结果保留根号和）； 拓展迁移： 如图2，为圆锥的顶点，为底面圆周上一点，点是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点出发绕圆锥侧面爬行回到点时所经过的路径的痕迹． （3）请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【分析】本题主要考查了求曲面上两点之间的最短距离问题和勾股定理，关键是化曲为直，把空间问题转化为平面问题是解题的关键． （1）两点之间线段最短；（2）把圆柱的侧面沿母线剪开，得所求的路线为线段，利用勾股定理求解；（3）把圆锥的侧面沿母线剪开，得所求的路线为线段，先利用弧长公式求圆心角度数，再用中位线定理和勾股定理求解． 【详解】解：（1）两点之间线段最短； （2）剪开后，，， 最短路线的长为； （3）圆锥的底面周长为， 设侧面展开图的圆心角度数为， ，解得， 如答图，该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， 点为中点， 是的中位线， 蚂蚁爬行的最短距离为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 圆中的计算问题 课程标准 学习目标 ①三角形的外接圆 ②确定圆的条件 ③弧长与扇形面积 1. 掌握外接圆的画法，会计算弧长与扇形面积． 2. 利用圆的知识解决和圆有关的计算问题． 知识点01 圆中有关计算 　圆的面积公式：，周长. 　圆心角为、半径为R的弧长. 　圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积. 　 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 　 圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为. 知识点02 三角形的外接圆 三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示. 题型01 判定确定圆的条件 【典例1】下列说法中，正确的是（　　） A．平分弦的直径必垂直弦且平分弦所对的弧 B．三点确定一个圆 C．相等圆周角所对的弧相等 D．同弧所对的圆周角相等 【变式1】下列说法中，正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．等弧所对的圆周角相等 【变式2】若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【变式3】在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【变式4】小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证． 已知：如图，在四边形中，．    求证：点在同一个圆上． 他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点的，再证明第四个顶点也在上． 具体过程如下： 步骤一  作出过三点的． 如图1，分别作出线段的垂直平分线，    设它们的交点为，以为圆心，的长为半径作． 连接， （①______）．（填推理依据） ． 点在上． 步骤二  用反证法证明点也在上． 假设点不在上，则点在内或外． ⅰ．如图2，假设点在内．    延长交于点，连接． （②______）．（填推理依据） 是的外角， （③______）．（填推理依据） ． ． 这与已知条件矛盾． 假设不成立．即点不在内． ⅱ．如图3，假设点在外．    设与交于点，连接． ． 是的外角， ． ． ． 这与已知条件矛盾． 假设不成立．即点不在外． 综上所述，点在上． 点在同一个圆上． 阅读上述材料，并解答问题： （1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）； （2）填推理依据：①______，②______，③______． 题型02 三角形外接圆的理解 【典例1】下列说法正确的是：（    ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． 【变式1】下列说法：有下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）直径是圆中最长的弦，（3）圆的内接平行四边形是矩形，（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等，（5）相等的圆心角所对的弧相等，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】如图：已知是等边三角形，O为外接圆圆心，以O为旋转中心，按顺时针方向至少旋转 度与原来的三角形重合． 【变式3】在中，若两直角边长为、，则它的外接圆的面积为 ． 【变式4】已知，如图，和中，，，，点D是的外心，试判断四边形的形状，并说明理由． 题型03 三角形的外心 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是 ． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为 ． 【变式4】如图，平面直角坐标系中有一个．    (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是 ； (3)该圆圆心到弦的距离为 ； (4)最小覆盖圆的半径为 ． 题型04 求弧长 【典例1】将一个半径为1的圆形纸片，按如图所示的方式连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长为（    ） A． B． C． D．π 【变式1】如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为 ． 【变式3】将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为 ． 【变式4】如图，是的内接三角形，为直径，，平分，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求弧的长． 题型05 求扇形半径 【典例1】已知扇形的弧长为，该所对圆心角为，则此扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，则该圆的半径为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知扇形的面积是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 【变式3】已知圆上的一段弧长为，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径是 cm． 【变式4】如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆心角是90°的最大扇形ABC， (1)求AB的长； (2)求图中阴影的面积； (3)若用该扇形铁皮围成一个圆锥，求所得圆锥的底面圆的半径． 题型06 求圆心角 【典例1】一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 【变式1】一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（    ） A． B． C． D． 【变式2】一个扇形的弧长是，半径是6cm，则此扇形的圆心角是 度． 【变式3】半径为厘米的扇形，其弧长为厘米，这个扇形的圆心角为 ． 【变式4】如图1、图2，半圆O的直径，的长．作于点E，交半圆O于点D． (1)①求的大小； ②求弦的长； (2)如图2，过点C作半圆O的切线．请直接写出点D到切线的距离 ． 题型07 求扇形面积 【典例1】如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，是半圆O的直径，，B，C是半圆O上两点．若，则图中阴影部分的面积是（    ） D A． B． C． D． 【变式2】如图，是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积是 ． 【变式3】已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 【变式4】如图，已知：在中，，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，且．    (1)求弧的弧长； (2)求扇形的面积． 题型08 求弓形面积 【典例1】如图，两个半径均为4的圆形纸片完全重合叠放在一起，让其中的一张圆形纸片绕着直径的一端按逆时针方向旋转后得到直径为的圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，是的直径，是弦，，在直径上截取，延长交于点，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式3】如图，已知在边长为1的小正方形的格点上，的外接圆的一部分和的边组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为 ． 【变式4】如图，是的切线，为切点，直线交于，两点，连接，，过点作交于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，的半径为，求阴影部分的面积（用含π的式子表示）． 题型09 求不规则图形面积 【典例1】如图, 在等腰直角三角形中，，分别以点B，点 C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】如图，在边长为3的等边三角形中，以为直径构造半圆，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式3】如图所示，在直角三角形中，，，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【变式4】如图，四边形中，，，，连接，以点为圆心，长为半径作，交于点． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 题型10 求运动路径 【典例1】如图，在中，，把绕点A顺时针旋转后，得到，则点B走过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，．将绕的中点O逆时针旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．当点E与点C第一次重合时，点A运动路径的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）．木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，此时，则点翻滚到位置时，走过的路径长为 ． 【变式3】如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点P，从点P作于点H，设的三个内角平分线交于点M，当点P在弧上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是 ． 【变式4】在矩形中，，将线段绕点顺时针旋转）得到线段，连接． (1)如图1，当时，求的面积； (2)如图2 ，当时，求的值； (3)在线段旋转的过程中，直接写出面积的最大值 ，此时点运动的路径长为 ； 1．下列事件为必然事件的是（ ） A．掷一次骰子，向上一面的点数是 B．三点确定一个圆 C．画一个三角形，其内角和是 D．口袋中装有个红球和个白球，从中摸出个球，其中必有红球 2．如图，某广场欲在角落半径为5米的扇形区域内做绿化，先在外围种植一圈大叶黄杨作为隔离带，再在内部扇形区域内种植月季花，已知若种植大叶黄杨和月季花的区域面积相等，则扇形的半径为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．π米． 3．下列说法，错误的是（　　） A．过三点可以确定一个圆 B．等弧所对的圆心角相等 C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．直径是弦 4．的外接圆的半径，则斜边的长是（   ） A． B． C． D． 5．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．5 B．10 C．4 D．3 6．在半径是的圆中，的圆心角所对的弧长为 ．（结果保留） 7．一个扇形的弧长是，半径是12，则这个扇形的面积为 ． 8．如图，为半圆O的直径，，，D为的中点，则阴影部分的面积为 ． 9．如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接．若，，则扇形的面积为 ． 10．如图，在矩形中，，，点P在线段上从点B出发向点C运动，同时点Q在线段上以相同速度从点D出发向点A运动，过点A作交直线于点M，当点P从点B运动到点C的过程中，点M的运动路径长是 ． 11．如图是一个半径为的圆，扇形（阴影部分）的圆心角为，求扇形的面积．（结果保留） 12．如图，已知长方形的宽，以为圆心，长为半径画弧与边交于点，连接，若计算结果保留) (1)用含的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求图中阴影部分的面积． 13．如图，中，，点O是底边的中点，腰与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，，求图中阴影部分的面积． 14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． (1)请标出该圆弧所在圆的圆心，并写出圆心的坐标； (2)求的半径； (3)若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明你的理由． 15．综合与实践 “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题： 问题情境： 如图1，一只蚂蚁从点出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为．底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是______； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长（结果保留根号和）； 拓展迁移： 如图2，为圆锥的顶点，为底面圆周上一点，点是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点出发绕圆锥侧面爬行回到点时所经过的路径的痕迹． （3）请求出蚂蚁爬行的最短距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$