26.2 实际问题与反比例函数-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年九年级下册数学（人教版 陕西专版）

26.2实际问题与反比例函数 第1课时 利用反比例函数解决实际生活中的问题 冒名师导学。预习先知 ②基础过关。逐点击破 方法指导 知识点■ 实际问题中的反比例函数图象 ①用反比例函数模型解决实际问题时， 1.一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用 注意各字母表示的意义及自变量的 时间x(年)成反比例函数.当x=2时，y=20,则y与x 取值范围。 的函数大致图象是 ( ②常见的与实际相关的反比例函数： 1v/万册 y/万册 /万册 1v/万厨 (1)面积一定时，矩形的长与宽成反 比例： (2)面积一定时，三角形的一边长与 x年 x年 年 B D 这条边上的高成反比例： 2.调查显示，某商场一款运动鞋的销售量y(双)是售价x(元/双) (3)体积一定时，柱（锥）体的底面积 与高成反比例： 的反比例函数，调查获得的部分数据如下表。 (4)工作总量一定时，工作时间与工 售价x/(元/双) 200 240 250 400 作效率成反比例： 销售量y/双 30 25 24 15 (5)总价一定时，单价与商品的件数 已知该款运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天 成反比例： 的销售利润达到2400元，则其售价应定为 元/双. (6)溶质一定时，溶液浓度与溶液的 3.(2024·山西)机器狗是一种模拟真实犬只形 质量成反比例 态和部分行为的机器装置，其最快移动速度 例题团路 v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数. 【例】某学校食堂为方便学生就餐，同时 已知一款机器狗载重后总质量m=60kg时，它的最快移 又节约成本，常根据学生的多少来决定 动速度v=6m/s;当其载重后总质量m=90kg时，它的最 开放售饭窗口的数量.假定每个窗口平 快移动速度v= m/s. 均每分钟可以售饭给3名学生，开放 4.有一个容积一定的空水池，现往水池中注水，注满水池需 10个窗口时，需1h才能使全部学生 就餐完毕。 要的时间y(min)与注水速度x(L/min)之间成反比例函数 关系，已知当注水速度为30L/min时，注满水池需要的时 (1)共有多少学生就餐？ (2)设开放x个窗口时，需要yh才能 间为20min. 使就餐的学生全部吃上饭，求y关 (1)求y与x之间的函数解析式： 于z的函数解析式。 (2)若注满水池需要的时间为60min,则注水的速度应为 【学生解答】 每分钟多少升？ 第二十六章反比例函数10 ?易错点忽略实际问题中自变量的取值 (1)求y关于x的函数解析式（不必写出自 范围而致错 变量的取值范围)： 5.某学校要种植一块面积为100m的长方形 (2)能否建造AB=20m的活动场地？请说 草坪，要求相邻两边长均不小于5m,则草坪 明理由。 的一边长y(m)随另一边长x(m)的变化而 变化的图象是 司能力提升。整合运用 6.学文化《传》日：篇之世，宋员外，家有良田 百顷，今也以田溉田，阴灌之，其源二万方 ②思维拓展。学科素养 译：“据古书记载：在北宋时期，有一宋员外， 9.德题大概裁培（西安碑林区校级期末）某蔬 家有良田百顷，现需修一蓄水池用以农田的 菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一 灌溉，已知每年灌溉农田所需水量为 种新品.如图，这是某天恒温系统从开始到 20000m.”设宋员外所修圆柱形水池底面 关闭及关闭后，大棚里的温度y(℃)随时间 积为Sm,水池高为hm,则其高与底面积 x(h)变化的函数图象，其中AB段是恒温阶 之间的函数解析式为 段，BC段是双曲线y=的一部分，请根据 A.h=20000.S B.h=20000-S C.h=20000 图中信息解答下列问题： D.S=20000h (1)求k的值： 7.劳动教育课上，徐老师带领九 (2)求恒温系统在这一天内保持大棚内温度 (1)班同学对三类小麦种子的 不低于16℃的时间有多长。 发芽情况进行统计（种子培养 ↑℃ 环境相同).如图，用A,B,C三点分别表示 三类种子的发芽率y与该类种子用于实验 c/h 的数量x的情况，其中点B在反比例函数图 象上，则三类种子中，发芽数量最多的是 (选填“A”“B”或“C”)类种子 8.社会热点双减政策为呼应国家“双减”政策， 丰富学生的课余生活，某学校要修建一个占 地面积为64m的矩形体育活动场地，四周 要建上高为1m的围栏，学校准备了可以修 建45m长的围挡材料（可以不用完）.设矩 形地面ABCD的边长AB=xm,BC=ym. 11名师测控·数学九年级下册 第2课时 利用反比例函数解决有关物理问题 冒名师导学。预习先知 基础过关。逐点击破 方法指导 知识点利用物理公式建立反比例函数模型 在实际问题中，反比例函数的自变1.（教材P1,习题T%变式）已知蓄电池的电压为定值，使用某 量取值范围通常是大于0的，因此它的 蓄电池时，电流I(A)与电阻R()成反比例函数关系，它 图象仅是双曲线的一个分支或其中一 的图象如图所示，则当电阻为4Ω时，电流为 ) 部分. A.3A B.4A C.6A D.8 A 例题团路 A 【例1】当电压为220V时，通过电路的 电流I(A)与电路中电阻R()之间的 函数关系为 8 ( ) (第1题图) (第2题图) A1- B.1=220R 2.如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根 C.F- 匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A,在中点 D.2201=R O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离 【学生解答】 x(cm),观察弹簧秤的示数y(N)的变化情况.实验数据记 录如下表 【例2】由物理学的知识知道，在力 x/cm 10 20 30 F(N)的作用下，物体会在力F的方向 15 25 上发生位移s(m),力F所做的功W(J) y/N 30 20 15 12 10 满足：W=Fx.当W为定值时，F与s 猜测y与x之间的函数关系，并写出函数解析式为 之间的函数图象如图所示.P(2.7.5) (不要求写自变量的取值范围) 为图象上一点。 3.科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度.密度计悬 (1)试确定F与s之间的函数解析式 浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(cm)是液体的 (不要求写出自变量的取值范围)： 密度p(g/cm3)的反比例函数，如图是该反比例函数的图 (2)当F=5N时，s是多少？ 象，且p>0. 【名师点拨】(1)将点P(2,7.5)代入 (1)求h关于p的函数解析式： W=Fs,可求W:(2)将F=5N代入 (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25cm,求该液体 Fg求出 的密度p. 【学生解答】 ↑7N cm 30 20 10 /ecm)】 第二十六章反比例函数12 司能力提升0整合运用 思维拓展。学科素养 4.(2024·西安雁塔区校级开学) p/(kg/m") 6.【背景】在一次物理实验中， 密闭容器内有一定质量的气体， 小冉同学用一固定电压为⊙ 当容器的体积V(m)变化时，气 U=12V的蓄电池，通过调 体的密度p(kg/m)随之变化 m 节滑动变阻器R(Ω)来改变电流大小，完成 已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的 控制灯泡L(灯丝的阻值R=2Ω)亮度的实 图象如图所示，则下列说法正确的是( 验（如图，假设灯泡的电阻不随温度的变化 A函数解析式为p子 而变化).已知串联电路中，电流I与电阻R, U B.容器内气体密度ρ随着气体的体积V的 R之间关系为I一R中R,通过实验得出如 增大而增大 下数据（表格数据不完整） C.当p≤8kg/m3时，V≥1.25m R/Q…1a46… D.当0=4kg/m3时，V=3m 1/A…432b… 5.大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做 (1)a ,b= 了世界上第1个小孔成像的实验如图①，并 (2)【探究】根据以上实验，构建出函数y= 在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午 x十2x≥0)，结合表格信息，探究函数 12 有端，与景长，说在端”.如图②，根据小孔成 像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和 十2≥0)的图象与性质。 y=. 12 物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高 ①在平面直角坐标系中，画出对应函数 y(cm)是物距（小孔到蜡烛的距离）.x(cm)的 反比例函数.当x=8时，y=3. 是2≥0)的图象： ②随着自变量x的不断增大，函数值y 的变化趋势是 图① 图② (3)【拓展】请结合(2)中函数图象分析，当 (1)求y关于x的函数解析式： (2)若物距（小孔到蜡烛的距离）为4cm,求 ≥0时，是2>≥-是十6的解集为 火焰的像高： (3)若火焰的像高不得超过5cm,求小孔到 蜡烛的距离至少是多少厘米。 0123456789元 13名师测控·数学九年级下册m=-6.∴反比例函数的解析式为y=-(2)设点P的坐标为(a,.:B(-号，4，BCLx轴于点C,C(-是， 0）心AC=号-（-受)=3.：△PAC的面积为32AC·1W=3,即2×3Xd1=3,解得=士2.当=2时a -3,当6=-2时，a=3..P(-3,2)或P(3.-2). 小专题一反比例函数与一次函数的综合 1.B2.C3D4<5.解：(D点Am,2)在正比例函数=x的图象上∴2=号m,解得m=4∴A(4,2. “点A(4,2)在反比例函数为=兰的图象上2=冬，解得=8.∴反比例函数的解析式为为=是：(2)把直线= 1 立x向上平移3个单位长度得到的直线的解析式为y=豆x十3，过点B作BM⊥x轴于点M,过点A作AV⊥x轴于点 8 y= =2 N.联立 解得 或/一8， 舍去).B2,40.SAm=Som十SN-Sm=号X2X4+号 1 y=2x+3. y=4,y=-1 ×(2+)×4-2)-号×4X2=4+6-4=6.6B7.-2<r<0或x>48解：1：点B(-1,-3)在函数y=冬 的图象上=（一DX(一3）=8∴反比例函数的解析式为y=是：点A(一3m在反比例函数y=是的图象上， -1A(-3,-1D.”-次函数y=ar+6的图象经过点A(一3，-1，B(-1,-3.厂80十-1 3 解得 -a+b=-3, a=一1， .一次函数的解析式为y=一x一4：(2)：y=一x4,∴.当y=0时，一x一4=0，解得x=一4.当x=0时， b=-4. y=-4..点P(-4,0),Q(0,-4),∴.OP=OQ=4.AC⊥OP于点C,∴.C(-3,0),.PC=-3-(-4)=1. ∴S8x=Sa0-Sm0-5ae=号X4X4-号X4X1-言X1X1=5.5:(3)z≤-3或-1<x<0,92 10.解：(1)由题意，得一3十m=0,n十m=4,k=4n,解得m=3,n=1,k=4:(2),S△wx<S△k,点B到x轴的距离大 于点C到x轴的距离，点C位于点B的右侧，a>l. 小专题二反比例函数中k的几何意义 1.y=兰2.解：：由图可知反比例函数y=上的图象上一点的坐标为1,4)，心k=4X1=4:(2):k=4心反比例 x 函数的解析式为y=兰.：P是反比例函数y=的图象上任意一点，PMLx轴，PNLy轴，矩形OMPN的面积= |k|=4,.矩形OMPN的面积为定值.3.84.-65.D6.4 26.2实际问题与反比例函数 第1课时利用反比例函数解决实际生活中的问题 例题引路 【例】解：1)共有就餐学生3×10×60=1800（名）：(2)由题意，得3x×60y=1800,y=10(x>0). 基础过关 1C2.30344解：1)设y与x之间的函数解析式为y=兰，把x=30,y=20代入函数解析式，得20=斋，解得 A=60.y与r之间的两数解析式为y=2,(2)当y=60时，-器-10，答：注水的速度应为10L/mm5C 能力提升 6,C7C8解：①心矩形体有活动场地占地面积为61㎡，y=61y关于x的函数解析式为y=鲜，(2)不能 第3页（共42页） 理由如下：把x=20代人y=4,得y=3.2.∴周长为2×(20+3.2)=46.4(m)>45m,不能建造AB=20m的活动 场地 思维拓展 9.解：1)把B(12,20)代入y=冬中，得k=12×20=240:(2)设AD段的函数解析式为y=mx+m.把D(0,10),A(2. 10=n, /=5, 20)代入y=mx十n中，得 解得 ∴.AD段的函数解析式为y=5x+10.把y=16代入y=5x十10，得 20=2m+n, n=10. 16=5x+10,解得x=1.2.把y=16代人y-240,得16=240，解得x=15.15-1.2=13.8(h).答：恒温系统在这-天 内保持大棚内温度不低于16℃的时间有13.8h. 第2课时利用反比例函数解决有关物理问题 例题引路 【例1】A【例2】解：1)把P(2,7.5)代人W=F,得w=7.5×2=15.“F与5之间的函数解析式为F=5:(2)把F=5 N代入F=5,可得=3m 基础过关 1.C2y-303解：1)设反比例函数的解析式为h=点.当p=1,h=20时，得k=1X20=20.h关于p的函数解 析式为h=29,(2)把h=25代人h=20,得25=20，解得p=0.8.答：该液体的密度p为0.8g/am. 能力提升 4C5解：1)由题意，设y=女把x=8y=3代人.得=8X3=24.y关于x的函数解析式为y=兰：(2)把x=4 代入y24,得y=6.火焰的像高为6m:(3)当≤5时，24≤5.：>0，“5x≥24，r≥4.8.答：小孔到蜡烛的距离 至少是4.8cm 思维拓展 6.解：(1)21.5(2)①如图：②不断减小(3)x≥2或x=0 123456789x 小专题三反比例函数与几何图形的综合 1.C2.-123解：)设反比例函数的解析式为y=兰（≠0），一次函数的解析式为y=x十6≠0.”一次函数 的图象与反比例函数的图象交于点A(-3,2),B1a-7):将A(-3,2)代人y=兰，得2=气·解得=一6.∴y= 一是将B1a一7D代人y=一￡，得a一7=一9，解得a=1.1-7=-6B1,一.将点A.B的坐标代入y=k红 2=-3k'+b, k=-2, 十b(k'≠0)，得 一6=+6，解得 .一次函数的解析式为y=一2x一4.当x=0时，y=一4，.C(0,一4)： b=-4. (2:A(-3,2),B1,-6,C0,-40C=4∴5w=5ae+5x=20C·1z+20C,1x=号×4X3+ 合×4X1=6+2=8.4D5.C6而7.解：设F,),Ea,6),那么B,2.“点E在反比例函数的图象上， ∴ah-k∴SanE=子ab=点F在反比例函数的图象上S%p=之=：Sam=Sm 1 第4页（共42页）