第1章 解直角三角形 章末重难点检测卷-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（浙教版）

第1章 解直角三角形 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．在中，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 2．在数中，无理数的是（    ） A． B． C． D． 3．在中，已知，则，则（　　） A． B． C． D． 4．如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P．则的值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，手电筒的灯泡A距离地面的高度为h，灯泡照亮范围的横截面是，且，，地面被照亮的区域是一个圆，则该圆的直径为（    ） A． B． C． D． 7．如图，△中，，，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，为半圆的直径，是半圆上一点，且，设扇形、、弓形的面积为、、，则它们的关系是（   ） A． B． C． D． 9．如图所示，二次函数的图象与x轴负半轴相交于A、B两点， 是二次函数图象上一点，且为等边三角形，则a的值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．已知为锐角，且，则度数等于 度． 12．如图，在中，，，则的值为    13．某防空部队进行射击训练时．在地面，两个观察点测得空中固定目标的仰角为和，测得 则目标距离地面的高度为 ． 14．如图是“神舟十四号”载人航天飞船搭载的机械臂，可以在天宫空间站外进行维修作业．如图是处于工作状态的机械臂示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，工作时，机械壁伸展到．则、两点之间的距离为 ．（结果精确到，参考数据：，，，） 15．如图，是圆的直径，弦交于点，，点在线段的延长线上，与圆交于点．已知，，则 ． 16．如图1是护眼学习台灯，该台灯的活动示意图如图2所示．灯柱，灯臂绕着支点C可以旋转，灯罩呈圆弧形（即和）．在转动过程中，总是与桌面平行．当时，，，测得（点M在墙壁上，且）；当灯臂转到位置时，测得，则点E到桌面的距离为 ．若此时点C，F，M在同一条直线上，的最低点到桌面的距离为，则所在圆的半径为 ． 三、解答题（8小题，共68分） 17．（1）计算： （2）在中，，，，求的余弦值和正切值． 18．如图1是一盏悬挂灯的图片，如图2是悬挂灯的示意图，连接管所在的直线和固定管所在的直线都经过圆心O，．测得，，，求的半径．（精确到．参考数据：，，） 19．建筑物上有一旗杆，由距的处观察旗杆顶部的仰角，观察底部的仰角为，求旗杆的高度．（结果精确到；参考数据： 20．如图，在中，，点在上，，且，． (1)求证：； (2)求的长． 21．如图，是的直径，弦于点，连接，    (1)求证：． (2)作于点，若的半径为，，求的长． 22．高风中学校门口安装有汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P，P到D的距离为2米，P到地面的距离为1.1米，求点D到地面的距离的长． (2)在（1）的条件下，一辆轿车过道闸，已知轿车的宽为1.9米，高为1.5米．当道闸打开至时，轿车能否驶入校区？请说明理由．（参考数据：） 23．定义：四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 理解： （1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留作图痕迹，找出2个即可）； （2）如图2，在四边形中，，对角线平分．那么是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； 运用： （3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”，，平分．连接，若的面积为，求的长． 24．根据以下素材，探索完成任务： 素材一 太阳光线与地面的夹角叫做太阳高度角．冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天；夏至是北半球各地黑夜时间最短、白昼最长的一天．设冬至这天正午时刻太阳高度角为α，夏至这天正午时刻太阳高度角为β． 素材二 厂家设计了可伸缩抛物线型遮阳棚，其侧面示意图如图1所示．曲线为遮阳棚，为遮阳棚安装在窗户上方的支架，，线段的长度称为遮阳棚的跨度．已知遮阳棚所在的抛物线与抛物线的形状相同． 素材三 如图2，为小明家的朝南窗户，测得，，窗户的高度为1.5米．为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，在安装遮阳棚时，需根据实际计算遮阳棚的跨度（的长）． 素材四 春节前期，小明想在遮阳棚顶部挂一盏高为0.3米的灯笼（如图3）．如图4，灯笼与窗户的水平距离为m米，灯笼的底端（点D）与窗户的上沿（点B）的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点C）与悬挂点（点N）的距离为d米． 解决问题 任务1 求小明家所需的遮阳棚的跨度． 任务2 当时，求m的值． 任务3 现要求且，求d的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 解直角三角形 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．在中，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．根据，，即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：C 2．在数中，无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查零指数幂，特殊角的三角函数值，开方运算，无理数的识别，先化简各数，再根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：在中，是无理数的是：； 故选D． 3．在中，已知，则，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的概念．根据锐角三角函数的概念表示出，，所以；再根据三角形的三边关系进行分析． 【详解】解：设直角三角形中，的对边是，邻边是，斜边是． 根据锐角三角函数的概念，得 ，． 所以， 再根据三角形的三边关系，得， 故． 故选：D． 4．如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据坡度等于铅直高与水平距离的比值，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴； ∴； 故选A． 5．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P．则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，关键是通过作辅助线，应用转化思想求．连接，，由等腰直角三角形的性质推出，得到，求即可． 【详解】解：连接，，设小正方形的边长是1， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：C 6．如图，手电筒的灯泡A距离地面的高度为h，灯泡照亮范围的横截面是，且，，地面被照亮的区域是一个圆，则该圆的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正切函数，掌握等腰三角形的性质是关键；由等腰三角形的性质得，在中，利用正切函数即可求出． 【详解】解：，， ； 在中，， ， ； 故选：A． 7．如图，△中，，，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形、勾股定理，掌握特殊角的三角函数、扇形和三角形面积计算公式是解题的关键． 求出，根据三角函数求出；利用扇形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积三角形的面积”计算即可． 【详解】解：，，， ，， ， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 8．如图，为半圆的直径，是半圆上一点，且，设扇形、、弓形的面积为、、，则它们的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出半径，作出底边上的高，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个图形面积，比较即可求解．此题考查扇形面积公式及弓形面积公式，解题的关键是算出三个图形的面积，首先利用扇形公式计算出第一个扇形的面积，再利用弓形等于扇形三角形的关系求出弓形的面积，进行比较得出它们的面积关系． 【详解】解：作交与点，设半圆的半径是， ， ，则． ； ． 在三角形中，， ，，， ，， ， ． 故选：B． 9．如图所示，二次函数的图象与x轴负半轴相交于A、B两点， 是二次函数图象上一点，且为等边三角形，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形、二次函数的图像和性质，解题的关键是利用数形结合思想，及等边三角形的性质确定二次函数的顶点，建立等式． 先根据等边三角形的性质求出的值，并确定Q为二次函数的顶点，再结合求出，得出Q，A，B的坐标，再将Q，A，B代入解析式得方程组，计算即可求出a的值． 【详解】解：过点Q作，垂足为D， ∵为等边三角形， ∴，，， ∴Q为二次函数的顶点， ∵， ∴， ∴， ， ， 将Q，A，B代入解析式得 解得： 故选：B． 10．如图，中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形，根据阿氏圆的定义，分别固定，分别确定A点的运动轨迹为阿氏圆O，C点的运动轨迹为阿氏圆，，由此可知，当最最小时，的值最大，进行求解即可. 【详解】解：固定，则， ∴A点的运动轨迹为阿氏圆O， 设，则，，则， ∵，， ∴C点的运动轨迹为阿氏圆， ∴， ∴， ∴当最小时，的值最大， ， ∴， 故选：D． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．已知为锐角，且，则度数等于 度． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值解决问题即可． 【详解】解：，为锐角， ， 故答案为：． 12．如图，在中，，，则的值为    【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形，过点作边的垂线构造出合适的直角三角形是解题的关键． 过点作边的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【详解】解：过点作边的垂线，垂足为，    在中， ， ， ， ． 在中， ， ． 故答案为：． 13．某防空部队进行射击训练时．在地面，两个观察点测得空中固定目标的仰角为和，测得 则目标距离地面的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，根据已知得出，进而根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ，， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 14．如图是“神舟十四号”载人航天飞船搭载的机械臂，可以在天宫空间站外进行维修作业．如图是处于工作状态的机械臂示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，工作时，机械壁伸展到．则、两点之间的距离为 ．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】6.7 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先作辅助线，在中，求出 ，，然后根据勾股定理求出答案即可． 【详解】过点A作，交的延长线于点D，连接． ∵， ∴． 在中，，，， 解得（m），（m）， ∴（m）． 在中，（m）． 故答案为：6.7． 15．如图，是圆的直径，弦交于点，，点在线段的延长线上，与圆交于点．已知，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，熟记圆周角定理、垂径定理是解题的关键．连接、，交于点，根据圆周角定理求出，根据垂径定理求出，，解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 是圆的直径， ， 是圆的直径，， ，， ， ，，， ， ， ， ，， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 16．如图1是护眼学习台灯，该台灯的活动示意图如图2所示．灯柱，灯臂绕着支点C可以旋转，灯罩呈圆弧形（即和）．在转动过程中，总是与桌面平行．当时，，，测得（点M在墙壁上，且）；当灯臂转到位置时，测得，则点E到桌面的距离为 ．若此时点C，F，M在同一条直线上，的最低点到桌面的距离为，则所在圆的半径为 ． 【答案】 38 39 【分析】本题考查了勾股定理的实际运用、相似三角形的性质与判定、垂径定理。解题关键是掌握相似三角形、勾股定理、垂径定理，并学会将实际问题转化为数学问题． 通过作平行线和垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出相应的边，再依次连接C，F，M，作，证，根据相似三角形对应边成比例可得所对的弦的长度，再利用垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， ，，， 延长，，则M、D、A在一条直线上，N、F、E、Q在一条直线上， ，，， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 即点E到桌面的距离为， 过点F作，垂足为P，则， ， ， ， 即， 解得， ， 如图3， 可得，， 设半径为r，则，， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 故答案为：38，39． 三、解答题（8小题，共68分） 17．（1）计算： （2）在中，，，，求的余弦值和正切值． 【答案】（1） （2）， 【分析】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数，勾股定理，对于（1），根据，再计算即可； 对于（2），先根据勾股定理求出，再根据余弦，正切的定义解答． 【详解】（1）原式 ； （2）根据勾股定理，得． 所以，． 18．如图1是一盏悬挂灯的图片，如图2是悬挂灯的示意图，连接管所在的直线和固定管所在的直线都经过圆心O，．测得，，，求的半径．（精确到．参考数据：，，） 【答案】的半径约为cm 【分析】此题考查了解直角三角形的应用， 首先求出，然后利用求出，进而求解即可． 【详解】解：在中，， ∴ ∴ ∴ 答：的半径约为7.4． 19．建筑物上有一旗杆，由距的处观察旗杆顶部的仰角，观察底部的仰角为，求旗杆的高度．（结果精确到；参考数据： 【答案】旗杆的高度为米 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，根据题意可得，，设，在中，根据的正切值即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴的高度约为米，即旗杆的高度为米． 20．如图，在中，，点在上，，且，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定、解直角三角形的相关计算、勾股定理等知识． （1）由，，即可证明； （2）在中，由三角函数求得，再由勾股定理求得，最后在中由三角函数求得的长即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵在中，， ， ， ， ， ， ∴的长度为． 21．如图，是的直径，弦于点，连接，    (1)求证：． (2)作于点，若的半径为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理及其推论，正弦的定义，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据垂径定理以及垂径定理的推论即可证明； （2）利用勾股定理求出，再利用求解即可． 【详解】（1）证明：连接，∵是直径，    ∴， ∴； （2）解：如图，连接．    在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴． 22．高风中学校门口安装有汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P，P到D的距离为2米，P到地面的距离为1.1米，求点D到地面的距离的长． (2)在（1）的条件下，一辆轿车过道闸，已知轿车的宽为1.9米，高为1.5米．当道闸打开至时，轿车能否驶入校区？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数是解题关键． （1）先根据锐角三角函数求出的长，再求出的长即可解答； （2）当时，，求出此时的长，再与轿车的宽进行比较即可解答． 【详解】（1）解：过点作于点，如图； 在中，，， ， ， ∵， ∴四边形是矩形， ； （2）解：轿车不能驶入小区，理由如下： 当时，，， ， ， 在中，， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为矩形，长3米， ∴， ， ， 轿车不能驶入小区． 23．定义：四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 理解： （1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留作图痕迹，找出2个即可）； （2）如图2，在四边形中，，对角线平分．那么是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； 运用： （3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”，，平分．连接，若的面积为，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）是，见解析；（3）2 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握“相似对角线”的定义，是解题的关键． （1）根据“相似对角线”的定义，可知为的直角边，且两条直角边之比为，则可找出符合要求的点D； （2）由角平分线的定义得，则，从而得出，即可证明结论； （3）作于点M，根据相似三角形的性质可得，再利用含角的直角三角形的性质得，从而得出，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1所示（答案不唯一）： （2）是四边形的“相似对角线”，理由如下： ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是四边形的“相似对角线”； （3）如图3，作于点M， ∵，平分， ∴． 又∵是四边形的“相似对角线”， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．根据以下素材，探索完成任务： 素材一 太阳光线与地面的夹角叫做太阳高度角．冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天；夏至是北半球各地黑夜时间最短、白昼最长的一天．设冬至这天正午时刻太阳高度角为α，夏至这天正午时刻太阳高度角为β． 素材二 厂家设计了可伸缩抛物线型遮阳棚，其侧面示意图如图1所示．曲线为遮阳棚，为遮阳棚安装在窗户上方的支架，，线段的长度称为遮阳棚的跨度．已知遮阳棚所在的抛物线与抛物线的形状相同． 素材三 如图2，为小明家的朝南窗户，测得，，窗户的高度为1.5米．为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，在安装遮阳棚时，需根据实际计算遮阳棚的跨度（的长）． 素材四 春节前期，小明想在遮阳棚顶部挂一盏高为0.3米的灯笼（如图3）．如图4，灯笼与窗户的水平距离为m米，灯笼的底端（点D）与窗户的上沿（点B）的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点C）与悬挂点（点N）的距离为d米． 解决问题 任务1 求小明家所需的遮阳棚的跨度． 任务2 当时，求m的值． 任务3 现要求且，求d的取值范围． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【分析】任务1，过点M作垂线交于点E，交于点F，根据的高度为1.5米，，可以得到，即可求出的长度，即遮阳棚的跨度； 任务2，求出点N坐标，根据用待定系数法求出，将点N代入可以求出m的值． 任务3，将点N坐标代入得，，配方求出，解得，当时，可以求出d的取值范围． 【详解】任务1： 过点M作的垂线交于点E，交于点F，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴小明家所需的遮阳棚的跨度长为； 任务2： 以点A为坐标原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图： 由任务1可知，， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∵点N坐标为， ∴， 解得； 任务3： ∵点N坐标为， ∴， 令， ∵， ∴当时，w取最小值，最小值为2.1875， 当时，w取大值，最大值为2.25， ∴w的取值范围， 即， 解得， 当时， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用．熟练掌握题目展示素材，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，函数与方程与不等式，锐角三角函数解三角形，是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$