3.1.3 组合与组合数（同步课件）数学人教B版2019选择性必修第二册

3.1.3 组合与组合数 主讲： 人教B版选择性必修第二册 第3章 排列、组合与二项式定理 1.理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别 2.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并运用于计算之中. 3.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题,提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力. 学习目标 2 上述问题可以用本小节我们要学习的组合知识来解. 高考不分文理科后，思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6大科目是选 考的，考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少 种可能的情况呢? 如果用(思想政治，历史，地理)表示其中一种选考的组合，你能用类似的方法表示出所有的组合方式吗?你有更简单的表示方法吗? 情境与问题 1.组合与组合数 下面这两个计数问题的答案一样吗? (1)小张要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式? (2)小张要在3所大学中选择2所，作为自己努力的目标，小张共有多少种不同的选择方式? 选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间的关系. 两个问题有什么异同？ 尝试与发现1 不难看出，尝试与发现的两个问题中：前者选出两所学校后，还要指定 一所作为第一志愿，另一所作为第二志愿；而后者只需要选出两所学校即可.换句话说，前者选出的学校是要排列顺序的，而后者选出的学校不需要排列顺序. 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个______. 组合 尝试与发现的问题(2)中，如果用A,B,C表示3所学校，{A,B)表示选择学校A 和B 作为目标，则{A,B) 就是一个组合，且(2)中的3 种选择方式也就是3种组合分别为：{A,B},{A,C},(B.C}. 尝试与发现1 思考：(A,B) 与(B,A)是不是相同的组合？ 两个组合相同的充要条件： (1)两个排列的 完全相同. (2)与元素的排列顺序无关.可以把一个组合看成一个集合. 元素 所谓排成一列，是指与顺序有关，例如排列AB 与排列BA是不同的，可以把一个排列看成一个类似点坐标的有序数对. 尝试与发现1 组合数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号表示. 注意：同符号 一样，在符号 中，总是要求n 和m 都是自然数，且 m≤n, 以后也不再声明 尝试与发现2 组合数的计算 尝试与发现3 尝试与发现(1)中的事情，可以分成两步来完成： 第一步，先完成(2)中的事情，即选择两所学校(共有种方法)； 第二步，将选出的两所学校做全排列(共有种方法).  因为问题(1)的答案是,   那么根据上述分析和分步乘法计数原理可知=,所以= 下面这两个计数问题的答案一样吗? (1)小张要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小 张共有多少种不同的选择方式? (2)小张要在3所大学中选择2所，作为自己努力的目标，小张共有多少种不 同的选择方式? 选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间的 关系. 9 组合数的计算 尝试与发现3 尝试与发现(1)中的事情，可以分成两步来完成： 第一步，先完成(2)中的事情，即选择两所学校(共有种方法)； 第二步，将选出的两所学校做全排列(共有种方法).  因为问题(1)的答案是,   那么根据上述分析和分步乘法计数原理可知=,所以= 下面这两个计数问题的答案一样吗? (1)小张要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小 张共有多少种不同的选择方式? (2)小张要在3所大学中选择2所，作为自己努力的目标，小张共有多少种不 同的选择方式? 选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间的 关系. 10 同样的从个不同对象中取出个做排列，可以分成两个步骤完成，第一步从个不同对象中取出 个，有种选法； 第二步将选出的个对象做全排列，有种排法. 由分步乘法计数原理有 ，所以 上述公式称为组合数公式. ＝ .＝ .＝ . 1 n 1 你可以利用组合的概念直观地理解上述特殊组合数. 尝试与发现3 1.从a1,a2,a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是. (　　 ) 2.从1,3,5,7中任取两个数相乘可得个积. (　　) 3.从a,b,c,d中选取2个合成一组,其中a,b与b,a是同一个组合.(　　) 4.组合和排列一样,都与“顺序”有关.(　　) 5.=5×4×3=60(　　) 思考辨析 判断正误 例1 已知一个平面内有10个点，其中任意3点都不共线，且过任意 两点所连成的线段中，任意两条线段的长度都不相等： (1)这些点共可以连成多少条不同的线段? (2)以这些点为端点共可以作出多少个不同的非零向量?  (2)因为以任意一点为始点、另一点为终点，均可作出一个非零向 量，而且连成的所有线段中，任意两条线段的长度都不相等，因此共可以 作出不同的非零向量个数为=10×9=90. (1)因为已知的点中，任意3点都不共线，而任意两点都能连成 一条线段，因此共可以连成的不同线段条数为==45 典例分析1 解   典例分析2 （1） 解:根据组合数公式，可得 +35+35=70; (2) 3. 计算：(1); (2); (3); (4). 1.北京队、上海队、天津队、广东队四个足球队举行友谊比赛，每两个队都要比赛一场： (1)列出所有各场比赛的双方； (2)最终产生冠、亚军各一个队，列出所有可能的冠亚军情况. 2.写出： ( 1 ) 从a,b,c,d,e五个元素中取两个元素的所有组合； ( 2 ) 从a,b,c,d.e五个元素中取三个元素的所有组合. 学以致用 4.某校举行排球赛，每两个队赛一场，有8个队参加，共需比赛多少场? 5. 现有10件产品(除了2件一等品外，其余都是二等品),任意从中抽取3件： (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰有1件一等品的抽法共有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件一等品的抽法共有多少种? 学以致用 2.组合数的性质 在了解敬老院可以进行哪些爱心活动的走访中，老师要将5位同学分成两组， 一组2人，另一组3人.老师完成分组，有两种不同的做法： (1)选出2人作为一组，另外3人是另一组； (2)选出3人作为一组，另外2人是另一组。 用组合数符号分别表示(1)和(2)所得的分法种数，说明所得结果之间的关 系，并将结果推广到一般情况. 尝试与发现4 (1) (2) 观察（1）与（2）的结果，你有什么发现和猜想？ 不难知道，从n个对象中，取出m个对象后，将剩下 n—m 个对象.你能用这一事实来直观理解上述结论吗? 从这一性质和前面计算 和的过程可知，当时，将计算转化为计算会更简便。 尝试与发现4 计算（1）3 学以致用 例3一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取5个球： (1)共有多少种不同的取法? (2)如果不取红球，共有多少种不同的取法? (3)如果必须取红球，共有多少种不同的取法? 解(1) (2) (3) 典例分析3 为什么呢? 我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的5个球，可以分为两类：一类含有1个红球，一类不含有红球．因此根据分类计数原理，上述等式成立． 为什么呢? 注:（1）公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数． （2）此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用． 尝试与发现5 尝试与发现4 1. 学以致用 2.解方程 3.利用组合数公式证明 学以致用 3.组合数的应用 在产品检验时，经常要从产品中抽取一部分进行检查，这其中就牵涉很 多计数问题. 例4 现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件： (1)一共有多少种不同的取法? (2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种? (3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种? 典例分析4 例4 现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件： (1)一共有多少种不同的取法? 解 (1)所求的抽法总数，就是从30件产品中取出3件的组合数 将基本计数原理与组合知识有机结合 典例分析4 例4 现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件： (2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种? 解(2)抽取可以分成两步完成： 第一步，在2件次品中抽出1件，有 种方法； 第二步，在28件合格品中抽出2件，有 种方法. 因此取法种数为 将基本计数原理与组合知识有机结合 典例分析4 例4 现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件： (3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种? 解(3)满足条件的取法可以分成两类： 第一类：恰有1件次品的取法有种， 第二类：恰有2件次品的取法有种 . 因此取法种数为 + 将基本计数原理与组合知识有机结合 典例分析4 例5要把9本不同的课外书分给甲、乙、丙3名同学： (1)如果每个人都得3本，则共有不同的分法多少种? (2)如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，则共有不同的分法多少种? 解 (1)要完成分配任务，可以分为三步： 第一步，分给甲3本书，有种方法； 第二步，分给乙3本书，因为只能在剩下的6本书里选，所以有种方法； 第三步，分给丙3本书，因为只能在剩下的3本书里选，所以有种方法. 因此共有不同的分法数为 典例分析5 例5要把9本不同的课外书分给甲、乙、丙3名同学： (1)如果每个人都得3本，则共有不同的分法多少种? (2)如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，则共有不同的分法多少种? (2)要完成分配任务，可以分为两步： 第一步，将9本书按照4本、3本、2本分为三组，有 种方法； 第二步，将分好的3组书分别分给3个人，有种方法. 因此共有不同的分法数为 典例分析5 例6 现要从A,B,C,D,E,F这6人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法? 解 安排方法可以分成两类：选出的4人中有A和没有A 有A的安排方法可以分成两步完成： 第一步，在乙、丙、丁3个岗位中选择一个给A, 共种方法； 第二步，在B,C,D,E,F这5人选出3人安排在其他3个岗位，共 种方法. 所以此类安排方法共有种. 没有A 的安排方法共有种. 因此安排方法种数为=300. 典例分析6 1、组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 2、组合数: 3、组合数公式: 课堂小结 4、组合数的性质: 5.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列共有多少种不同的情况. 6.将6名中学生分到甲、乙、丙3个不同的公益小组： (1)要求有3人分到甲组，2人分到乙组，1个人分到丙组，共有多少种不同的分法? (2)要求三个组的人数分别为3,2,1,共有多少种不同的分法? 学以致用 解:（1）3-2=3×-2×+1=149. （2）+200=5 150. 组合数的性质 (1)Ceq \o\al(m,n)＝______ .(2)Ceq \o\al(m,n)＋Ceq \o\al(m－1,n)＝_______. eq \a\vs4\al(C\o\al(n－m,n)) Ceq \o\al(m,n＋1) $$