3.1.2 排列与排列数（同步课件）数学人教B版2019选择性必修第二册

3.1.2 排列与排列数 主讲： 人教B版选择性必修第二册 第3章 排列、组合与二项式定理 1.理解并掌握排列、排列数的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列. 01 2.掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算. 02 3.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题. 03 学习目标 2.区别   分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 完成一件事共有n类办法,关键词是“分类” 完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步” 区别二 每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事 除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事 区别三 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复 1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法. 温故知新 两个原理的联系与区别 1.排列与排列数 试解答下列三个计数问题： (1)小张要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式? (2)班里要在3名学生中选出2名，分别在某话剧表演中扮演A 和B 两个角色，共有多少种不同的选择方式? (3)学校要在3名能力相当的教师中指派2人，分别去浙江和上海交流教学经验，共有多少种不同的指派方案? 三个问题有什么异同？ 尝试与发现1 一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照________排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个______. 一定的顺序 排列 特别地，m=n时的排列(即每次取出所有对象的排列)称为______ 全排列 上述尝试与发现的问题(1)中，用(A,B) 表示第一志愿是A, 第二志愿是B. 则(A,B)就是一个排列. 排列问题的判断方法： (1) 元素的无重复性 (2) 元素的有序性 判断关键是看选出的元素有没有顺序要求。 尝试与发现1 思考：(A,B) 与(B,A)是不是相同的排列？ 两个排列相同的充要条件： (1)两个排列的 完全相同. (2)元素的排列 也相同. 元素 顺序 所谓排成一列，是指与顺序有关，例如排列AB 与排列BA是不同的，可以把一个排列看成一个类似点坐标的有序数对. 尝试与发现1 1.123与321是相同的排列.(　　 ) 2.同一个排列中，同一个元素不能重复出现.(　　) 3.在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化.(　　) 4.从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列.(　　) 思考辨析 判断正误 排列数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. 所有不同排列的个数 答案　排列数是元素排列的个数，两者显然不同. 思考　排列与排列数相同吗？ 问题(1)中从3个不同的元素A,B,C中任取2个元素的排列有AB、AC、BA、BC、CA、CB共6个，每一个都叫做一个排列；6叫做从3个不同元素任取2个元素的排列数。 尝试与发现2 排列数的计算 问题(1)是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数,表示为. 已经算得=3×2=6. 第1位 第2位 n种 n-1种 1、对假定有排好顺序的两个空位置 (n-m+1)种 第1位 第m位 第2位 第3位 n种 (n-1)种 (n-2)种 2、对假定有排好顺序的m个空位置 ？ 一般地，＝ ，其中m，n∈N*，并且m≤n. n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 尝试与发现3 10 例1 求从A,B,C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数，并写出所有的排列.  所求排列数为=3×2×1=6.  由图可知，所有排列为ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA. 你发现例1所取的元素有什么特点吗？ 例1计算的其实是3个对象的全排列数. 典例分析1 解   这时m＝n， 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 表示。 n个不同元素的全排列公式： n个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n个不同元素的一个全排列. 规定：0!=1 例如，如果5名同学要排成一排照相，那么一共有不同的排法种数为A³=5！=                                      全排列的定义 尝试与发现4 1.此公式常用来证明。 当 0<m<n    时，注意到 所以此时排列数公式可以改写为 2.规定0!=1.  全排列的定义 尝试与发现4 例2 求证 ：= =] = = 典例分析2 计算 (1) (2) (3) (4) 解:根据排列数公式,可得(1) =7×6×5=210; (2) =7×6×5×4=840; (3)= = 7×6×5=210; (4)=6×5×4×3×2×1=6!=720. 学以致用 2.排列数的应用 例3 某地区足球比赛共有12个队参加，每队都要与其他各队在主客场分别比赛一次，则共要进行多少场比赛? 解：12个队中任意两队进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从12个元素中任取2个元素的一个排列，因此，比赛的总场次是 点睛：例3的关键是，把所给问题转化为等价的排列问题. 典例分析3 例4 某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以只挂1面旗，也可以挂2面旗或3面旗，旗数或顺序不同时，都表示信号不同，则一共可表示多少种不同的信号? 解  按照所挂旗数，可以分为三类： 第一类是只挂1面旗，此时可表示A  中不同的信号；  第二类是挂2面旗，此时可表示A?中不同的信号； 第三类是挂3面旗，此时可表示A³ 中不同的信号. 按照分类加法计数原理，一共可表示不同的信号  点睛：例4说明，解题过程中，可以将基本计数原理与排列知识有机结合 典例分析4 例5 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 分析：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素.一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题。 解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成： 第1步，确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字中取出1个，有 种取法； 第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有 种取法. 根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为: 百位 十位 个位 从位置出发分析 典例分析5 解法2：符合条件的三位数可以分成三类： 第1类，每一位数字都不是0的三位数,可以从1~9这9个数字中取出3个,有 种取法； 第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有 种取法； 第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有 种取法. 百位 十位 个位 百位 十位0 个位 百位 十位 个位0 例5 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解法3: 从0~9这10个数字中选取3个的排列数为 ,其中0在百位上的排列数为 ，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为 逆向思维法（排除法） 从元素出发分析 典例分析5 例6 用0,1,2, …,9这十个数字，可以排成多少个没有重复数字的四位偶数? 特殊元素和特殊位置优先策略 解 满足条件的四位数可以分为两类： 第一类的末位数字是0,有个. 第二类的末位数字不是0.分三步完成： 第一步，确定末位数字，因为只能是2,4.6或8,所以有种方法； 第二步，确定首位数字，因为数字不能重复，所以有 种方法； 第三步，确定中间两位数字，有 种方法. 由分步乘法计数原理可知，这样的数字有个. 由分类加法计数原理可知，满足条件的四位数个数为 +2296  典例分析6 例7 有3位男生和2位女生，要在某风景点前站成一排照合影，要求 2位女生要相邻，有多少种不同的站法? 解 分成两步来完成：第一步，先让两位女生站好，有A  种方法；第 二步，把两位女生当成一个整体，与3位男生去站成一排，有A| 种方 法.根据分步乘法计数原理可知，共有 Ai×A'=48     种不同的站法. 典例分析7 捆绑法 例8 某晚会要安排3个歌唱节目(记为A 、B 、C) 和2个舞蹈节目 (记为甲、乙),要求舞蹈节目不能相邻，共有多少种不同的安排方法? 解 分成两步来完成: 第一步，先确定3个歌唱节目的先后顺序(不考虑舞蹈节目),总共有A₃ 种排法； 第二步，歌唱节目的先后顺序确定之后，舞蹈节目共有A? 种排法 由分步乘法计数原理可知，共有                          种不同的安排方法. 插空法 典例分析8 1．对有约束条件的排列问题,应注意如下类型: ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置； ⑵某些元素要求连排（即必须相邻）； ⑶某些元素要求分离（即不能相邻）； 2．基本的解题方法： （１）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）； 特殊元素,特殊位置优先安排策略 （２）某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排列,这种方法称为“捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略 （３）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；不相邻问题插空处理的策略 (4) 元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究. (5)小集团排列问题中，先局部后整体，再结合其它策略进行处理。 课堂小结 提分笔记 1.从5种不同的蔬菜品种中选出2种分别种植在不同土质的土地上进行试验，共有多少种不同的种植方法? 2.从5名乒乓球运动员中，选出3名并确定出场顺序，以参加某场团体比赛，共 有多少不同的方法? 3.有6个人想在某风景区门口站成前后两排(各3人)照相，共有多少种不同的排法? 学以致用 4.(1)将2封信投入4个邮箱，每个邮箱最多投一封，共有多少种不同的投法? (2)将2封信随意投入4个邮箱，共有多少种不同的投法? 5.用0,1,2,3,4,5可组成多少个： (1)没有重复数字的四位数? (2)没有重复数字且被5整除的四位数? （3）比2000大且没有重复数字的自然数? 学以致用 6.四对夫妇坐成一排照相： (1)每对夫妇都不能隔开的排法有多少种? (2)每对夫妇都不能隔开，且同性别的人不能相邻的排法有多少种? 7.马路上有依次编号为1,2,3, …,10的10盏路灯，为节约用电，某个时段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法共有多少种? 学以致用 $$