5.4 二次函数与一元二次方程（1）教学设计 2023—2024学年苏科版数学九年级下册

5.4二次函数与一元二次方程 【教学目标】 1、 经历探索二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系的过程，感受“方程与函数对立统一”的唯物辩证思想； 2、 能够根据实际情况灵活地转化二次函数问题与一元二次方程问题； 3、 进一步体会数形结合的数学思想方法. 【重点难点】 1、 如何实现二次函数问题与一元二次方程问题的转化，从而解决问题； 2、 如何以形助数、以数助行. 【教学过程】 一、活动探究 活动一、观察式子，你看到了什么？ 一元二次方程 x1=-1,x2=3 x2-2x-3=0 二次函数 y=x2-2x-3 活动二、观察二次函数 y=x2-2x-3 图像. -1 3 -3 x2-2x-3=0 x1=-1,x2=3 总结：二次函数与一元二次方程的关系 （1） 二次函数 y=0 一元二次方程 y=ax2+bx+c ax2+bx+c=0 （2） 二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x轴公共点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 活动三、利用函数图像判断方程根的情况. 引导： （1）由第（1）个方程能看到哪个函数？后面两个呢? 答：观察到三个方程的左边可以看到三个二次函数 （2）画出三个函数的图像.(生画图） （3） 这三条抛物线的位置有什么不同？ 答：它们分别与x轴有2个公共点、一个公共点、无公共点； ①当图像与x轴有2个公共点时，对应的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当图像与x轴有唯一公共点时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根； ③当图像与x轴没有交点时，对应的一元二次方程没有实数根. 这个结论正确吗？你会证明吗？ 答：计算一元二次方程的根的判别式即可. 对应关系： 二次函数图像与 x轴公共点个数 一元二次方 程根的情况 根的判别 式的符号 2 两个不相等的实数根 1 两个相等的实数根 0 无实数根 2、 例题讲解 例1 不画图像，判断二次函数的图像与x轴是否有公共点？ 分析：先把二次函数转化为一元二次方程，进而利用利用根的判别式对结果进行判别；生写出完整的解题过程； 解：当y=0时， 因为，， 所以，方程没有实数根. 故，二次函数的图像与x轴没有公共点. 小结：前面我们主要研究了二次函数与一元二次方程之间的关系，我们可以用函数的眼光去看方程； 活动四 再看式子x2-2x-3=0 除了能看到二次函数 y=x2-2x-3，还能看到其他函数吗？ 一元二次方程 二次函数（y=x2-2x-3） x2-2x-3=0 x2 = 2x+3 x-2-3/x=0 x-2=3/x 二次函数 一次函数 y=x2 y=2x+3 一次函数 反比例函数 （这两个函数图像公共点的 y=x-2 y=3/x 横坐标就是该方程的根） (于是，一次函数和反比例函数公共点的横坐标就是该一元二次方程的根） 还能看到其他函数吗？ 同学们课后画出函数的图像，找出公共点，求出方程的根. 小结：经过刚刚的学习，从不同的角度去看可以看到不同的数学对象，并对它做出不同的解释. 例2 已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数）. 求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点. 生思考. 分析：由之前的对应关系可知，函数图像与x轴有无公共点的问题可以转化为判断一元二次方程根的问题，或者根的判别式值得符号. 方法一：证明：当y=0时，2(x-1)(x-m-3)=0. 所以，(x-1)(x-m-3)=0. 即，x2-(m+4)x+m+3=0, 因为，b2-4ac=m2+4m+4=(m+2)2>=0， （b2-4ac>=0说明什么？） 所以，方程2(x-1)(x-m-3)=0有实数根. 故，二次函数y=2(x-1)(x-m-3)的图像与x轴总有公共点. 可不可以从一元二次方程根的个数出发呢？（生思考写答案） 方法二：证明：当y=0时，2(x-1)(x-m-3)=0. （如果a*b=0,那么a=0或b=o） 则x-1=0,x-m-3=0. 解得x1=1,x2=m+3. 当m+3=1,即m=-2时， 方程有两个相等的实数根； 当m+3≠1,即m≠-2时， 方程有两个不相等的实数根. 所以，不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点. 总结：判断一个含参的二次函数与x轴公共点个数的情况，一般情况如下喜欢把它转化为一元二次方程，用根的判别式的值对结果做出判断；有时候可以根据式子的特征，灵活地选择一些更优化的方法来解决问题. 3、 小结 4、 课后作业 学科网（北京）股份有限公司 $$