精品解析：广东省中山市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次段考数学试题

中山市第一中学2027届高一第一学期第一次段考 数学 命题人：李德明 审题人：肖珊珊 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项） 1. 命题“，都有”的否定是（ ） A. ，都有 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题“，都有”的否定是“，使得”. 故选：B. 2. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集定义，借助于数轴即可求得. 【详解】. 故选：B. 3. 下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可. 【详解】选项A：定义域为，但是值域不是故错误； 选项B：定义域不是，值域为，故错误； 选项C：定义域和值域均为，故正确； 选项D：不满足函数的定义，故错误； 故选：C. 4. 设a，b，c为的三条边长，则“”是“为等腰三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别讨论命题的充分性和必要性即可得出结论. 【详解】由题意， 充分性：若，则为等腰三角形. 必要性：若为等腰三角形，则a，b不一定相等. 故选：A. 5. 如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，求解即可. 【详解】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分， 即. 故选：C. 6. 集合，，则满足条件的集合的个数（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得集合中必须有4、5、6这三个元素，而1，2，3这三个元素可能含有，即的个数等价于集合子集的个数，由集合的子集与元素个数的关系，分析可得答案． 【详解】根据题意，满足题意条件的集合中必须有4、5、6这三个元素， 而1，2，3这三个元素可能含有， 则的个数等价于集合子集的个数， 集合有3个元素，有个子集； 故选：C. 7. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论，确定不等式的解集，根据不等式解集中恰有2个整数，即可求得实数的取值范围. 【详解】由可得； 若，则不等式解集为空集； 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为2、3，则； 若，则不等式解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为；所以； 综上或， 故选：A 8. 已知正数m，n满足，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】在等式两边同时乘以，利用基本不等式可得出关于的不等式，进而可解得的最大值. 【详解】因为m，n为正数，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 所以，在等式两边同时乘以，可得： ， 即，解得. 当且仅当时，即当时，取得最大值8. 故选：D. 二､多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求）. 9. 已知关于的不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题可得，进而根据根与系数的关系可得，然后逐项判断即得. 【详解】因为的解集是， 所以，且和4是方程等于0的两个解， 所以，即， 所以， 所以AC正确，BD错误. 故选：AC 10. 对于实数a、b、c，下列命题正确的是（ ） A. 若， B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质以及利用作差法，即可判断选项. 【详解】A.当时，，故A错误； B.若，则，且，即，故B正确； C. ， 因为，所以，，， 所以，即，故C正确； D.若，，则，且，则，可知，故D正确. 故选：BCD 11. 设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”．则下列说法中为正确题的是（ ） A. 存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集 B. 集合是“和谐集” C. 若都是“和谐集”，则 D. 对任意两个不同的“和谐集”，总有 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项可举出实例；BC选项可进行推导出为真命题；D可举出反例. 【详解】A项中，根据题意是“和谐集”，又是有限集，故A项正确； B项中，设， 则，所以集合是“和谐集”，故B项正确； C项中，根据已知条件，可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以，故C项正确； D项中，取都是“和谐集”， 但5不属于，也不属于，所以不是实数集，故D项错误． 故选：ABC． 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数则_______ 【答案】3 【解析】 【分析】代入即可求解. 【详解】由题意可得，所以， 故答案为：3 13. 若函数，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法得到，然后利用配方法得到二次函数的最值. 【详解】令，则， ∴， 即 当时，的最小值为 故答案为： 14. 已知，，若，则的最小值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】先移项，结合基本不等式把积化为和，可求答案 【详解】因为，，， 所以，即； 因为，当且仅当时取到等号， 所以， 解得或（舍） 所以当时，有最小值3. 故答案为：3 四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，集合. （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式得集合A； （2）先根据B是否为空集分类讨论，再根据集合包含关系列不等式，解得结果. 详解】解：（1）由题意可得， （2）∵且， ①当时，，解可得，； ②当时，有，解可得，， 综上可得，的范围为. 【点睛】本题考查解一元二次不等式以及根据集合包含关系求参数，考查基本分析求解能力，属中档题. 16. 已知正数a，b满足2a+b＝1， （1）求ab的最大值. （2）求的最小值. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式求解； （2）利用”１“的代换得出定值，然后结合基本不等式得最小值． 【小问1详解】 ∵a，b为正实数， ∴，当且仅当2a＝b且2a+b＝1时等号成立，∴ab的最大值为. 【小问2详解】 ∵， 当且仅当，时等号成立， ∴的最小值为8． 17. 已知二次函数的图象经过点和，且函数在上的最大值为4. （1）求函数的解析式； （2）若不等式对于一切实数x均成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）运用二次函数的图像及性质可求函数解析式， （2）依题意，转化为一元二次不等式恒成立问题，结合一元二次函数图象即可解决. 【小问1详解】 因为二次函数的图象经过点和， 所以函数的对称轴为， 又函数在上的最大值为4，所以函数的顶点坐标为，开口向下， 设（），把点代入得，解得， 所以. 【小问2详解】 依题意：不等式对于一切实数x均成立， 即，即对于一切实数x均成立， 所以，即， 即，解得或， 所以m的取值范围为. 18. 已知函数. （1）若，求在上的值域； （2）若方程的两个根分别是，且，求实数a的取值范围. 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）结合二次函数的图象与性质求出最值，表示出值域即可; （2）结合判别式及韦达定理表示出，求出实数a的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，， 所以单调递减，在单调递增. 所以，， 所以在上值域为. 【小问2详解】 结合题意：令， 所以，解得或. 所以， 由，可得， 整理得，解得， 结合或，所以实数a的取值范围为. 19. 如图，某小区有一块五边形的空地，延长交的延长线于点，四边形为矩形，，，，．为了合理利用该空地，在线段上取一点，使得四边形为矩形，矩形作为小区广场，其余为绿化带，其中点在上，点在上． （1）设，，求的值，并分别求，的取值范围； （2）求广场面积的最大值，并指出此时点的位置． 【答案】（1）；， （2）当是的中点时，广场面积取得最大值，且最大值为 【解析】 【分析】（1）延长交于，延长交于，根据可求出； （2）利用基本不等式即可求出. 小问1详解】 如图，延长交于，延长交于，则，． ∵，，∴， ∴，即， ∴， 故，的取值范围分别是，． 【小问2详解】 设广场面积为S，则． ∵，∴，即， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最大值为， 此时，，∴是的中点． 因此，当是的中点时，广场面积取得最大值，且最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 中山市第一中学2027届高一第一学期第一次段考 数学 命题人：李德明 审题人：肖珊珊 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项） 1. 命题“，都有”否定是（ ） A. ，都有 B. ，使得 C ，使得 D. ，使得 2. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（ ） A. B. C. D. 4. 设a，b，c为的三条边长，则“”是“为等腰三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 6. 集合，，则满足条件的集合的个数（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 7. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知正数m，n满足，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二､多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求）. 9. 已知关于的不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 10. 对于实数a、b、c，下列命题正确的是（ ） A. 若， B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则， 11. 设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”．则下列说法中为正确题的是（ ） A. 存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集 B. 集合是“和谐集” C. 若都是“和谐集”，则 D. 对任意两个不同的“和谐集”，总有 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数则_______ 13. 若函数，则的最小值为_____________． 14. 已知，，若，则的最小值为______. 四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，集合. （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知正数a，b满足2a+b＝1， （1）求ab的最大值. （2）求的最小值. 17. 已知二次函数图象经过点和，且函数在上的最大值为4. （1）求函数的解析式； （2）若不等式对于一切实数x均成立，求实数m的取值范围. 18. 已知函数. （1）若，求在上的值域； （2）若方程的两个根分别是，且，求实数a的取值范围. 19. 如图，某小区有一块五边形的空地，延长交的延长线于点，四边形为矩形，，，，．为了合理利用该空地，在线段上取一点，使得四边形为矩形，矩形作为小区广场，其余为绿化带，其中点在上，点在上． （1）设，，求的值，并分别求，的取值范围； （2）求广场面积最大值，并指出此时点的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$