3.1.1椭圆及其标准方程（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.1椭圆及其标准方程 第三章 圆锥曲线的方程 1 情境导入 前面我们用坐标法研究了直线、圆及它们的位置关系.生产、生活中还有许多非常有用、有趣、我们还不太熟悉的曲线需要研究. l 如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线. 我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线. 2 情境导入 同学们，若用数学的眼光去欣赏这个世界，就会发现生活中处处有椭圆： 椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用.那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？ l 3 新知探究 思考1：如何绘制一个椭圆？它有怎么样的几何性质呢？ 把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 4 新知探究 我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两交点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 注：1. 是椭圆上任意一点，且 常数； 2. 将常数记为，焦距记为，且； F1 F2 不存在 5 新知探究 思考2：观察椭圆的形状，你认为怎样建立平面直角坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ O x y 图1 O x y 图2 我们以经过椭圆两焦点，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系. 6 新知探究 O x y F1 F2 M 追问1：如何用坐标表示椭圆上点的所满足的条件？ 设常数为，、 因为，， 所以. ① 追问2：能否简化方程①呢？ 7 新知探究 为了简化方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，得 ② 对方程②两边平方，得 整理，得. ③ 对方程③两边平方，得. 整理，得. ④ 将方程④两边同时除以，得 ⑤ 由椭圆的定义可知，，即，所以. 8 新知探究 思考3：观察图，你能从中找出表示，，的线段吗？ (-c,0) (c,0) a c b 令 那么方程⑤就是 我们称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程.它表示焦点在轴上，两个焦点分别是的椭圆，这里. 9 新知探究 我们把叫做椭圆的标准方程，它表示焦点在轴上，两个焦点分别是 ，的椭圆，这里. 思考4：如图，如果焦点，在轴上，且，的坐标分别为 ， ，，的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 10 新知探究 定义 图形 方程 焦点 之间的关系 (c,0)、(c,0) (0,c)、(0,c) a2=b2+c2 分母哪个大，焦点就在哪一根坐标轴上 平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆 11 练习巩固 辨析1：判断正误. (1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的轨迹叫做椭圆.( ) (2)到两定点和的距离之和为3的点的轨迹为椭圆.( ) 【答案】×,×. 辨析2：设是椭圆上的任意一点，若，是椭圆的两个焦点，则 等于( ). .10 B.8 C.5 D.4 【答案】. 12 练习巩固 练习1：下列说法正确的的是( ). A.已知，，到两点，的距离之和大于8的点的轨迹是椭圆 B.已知，，到两点，的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C.到点，距离之和等于点到，距离之和的点的轨迹是椭圆 D.到点，距离相等的点的轨迹是椭圆 【答案】. 变式1-1：点为椭圆＝1上一点，为该椭圆的两个焦点，若， 则等于(　　) .13 B.1 C.7 D.5 【答案】. 13 练习巩固 变式1-2：若椭圆上一点到一个焦点的距离为5，则到另一个焦点的距离为_______. 【答案】. 变式1-3：已知椭圆，，是它的焦点.过的直线与椭圆交于，两点，求的周长. 解：如图，∵，， ∴ 14 练习巩固 例1：已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，求它的标准方程. 解：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为. 由椭圆的定义知 所以 所以. 所以，所求椭圆的标准方程为. 15 练习巩固 例2：如图，在圆上任意取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？为什么？(当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合.) 解：设点的坐标为，点的坐标为， 则点的坐标为.由点是线段的中点，得. 因为点在圆上，所以. ① 把，代入方程①，得，即. 所以点的轨迹是椭圆. 16 新知探究 思考5：由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆.你能通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？ 17 练习巩固 例3：如图，在，两点的坐标分别为，.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程. 解：设点的坐标为，因为点的坐标为， 所以直线的斜率为 同理，直线的斜率为 由已知，有， 化简，得点的轨迹方程为. 点的轨迹是除去两点的椭圆. 18 练习巩固 练习2：已知圆，圆内一定点，圆过且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 解：设圆的半径为，∵圆过点，∴. 又∵圆与圆内切，圆的半径为， ∴两圆的圆心距，即(大于) ∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆. ∴，，∴，.∴. 即点的轨迹方程为. 19 练习巩固 变式2：如图，已知圆及点，为圆上一点. 的垂直平分线交于，求点的轨迹方程. 解：由垂直平分线性质可知 ∴ ∴ 又∵，所以点轨迹为椭圆. 由椭圆定义知，，∴ ∴所求轨迹方程为. 20 练习巩固 练习3：求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点； (2)焦点在轴上，且经过两个点和； (3)经过点和点 解：(1)由于椭圆的焦点在轴上， ∴设它的标准方程为. ∴∴. 故所求椭圆的标准方程为. 21 练习巩固 练习3：求适合下列条件的椭圆的标准方程： (2)焦点在轴上，且经过两个点和； 解：(2)由于椭圆的焦点在轴上， ∴设它的标准方程为. ∵椭圆经过两个点和 代入得 故所求椭圆的标准方程为. 22 练习巩固 练习3：求适合下列条件的椭圆的标准方程： (3)经过点和点 解：(3)法一：(分类讨论法) ①当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为. 依题意有解得 故所求椭圆的标准方程为 . ②当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为. 依题意有解得 ∵，∴无解. 23 练习巩固 练习3：求适合下列条件的椭圆的标准方程： (3)经过点和点 解：(3)法二：(待定系数法) 设所求椭圆的方程为. 依题意有解得 故所求椭圆的标准方程为 . 24 练习巩固 变式3：求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点 (2)过点，且与椭圆有相同的焦点. 解：(1)设所求椭圆的方程为. 依题意有解得 故所求椭圆的标准方程为 . 25 练习巩固 变式3：求适合下列条件的椭圆的标准方程： (2)过点，且与椭圆有相同的焦点. 解：(2)∵所求椭圆与椭圆有相同的焦点， ∴其焦点在轴上，且.设它的标准方程为. ∵且，故.① 又∵点在椭圆上，∴，即. ② 由①②得，， 所以所求椭圆的标准方程为. 26 小结 定义 图形 方程 焦点 之间的关系 (c,0)、(c,0) (0,c)、(0,c) a2=b2+c2 分母哪个大，焦点就在哪一根坐标轴上 平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆 27 $