第4章 数列 综合能力测试-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

第4章 数列 综合能力测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．等比数列中，，则（    ） A．4 B． C． D． 2．已知数列，则是它的（    ） A．第9项 B．第10项 C．第13项 D．第12项 3．若数列为等差数列，且，则等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．已知数列的前项和为，其中，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知公差不为0的等差数列，前n项和为，满足，且，，成等比数列，则（   ） A．2 B．6 C．5或6 D．12 6．等差数列的前项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（    ） A． B． C． D． 7．设数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知数列满足，记数列前项为，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．等比数列的公比为，前项和为，为等差数列，则（    ） A． B． C．为等差数列 D．为等比数列 10．设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．为的最小值 11．已知数列满足，且，则下列结论正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．数列的 C．数列 的前7项为负数 D．数列最大项的值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为 ． 13．某公司购置了一台价值220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的，设备将报废，但若每年花费1万元进行设备维护，则可使设备的使用年限提升至20年，每经过一年其价值就会减少万元，超过20年，它的价值将低于所有花费的，设备将报废，则的取值范围为 ． 14．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 设数列满足，且（n为正整数）． (1)求，，，并由此猜想出的一个通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想成立． 16．（15分） 已知正项等差数列满足：，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 17．（15分） 设正项数列的前项和为，且，当时， (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和 18．（17分） 已知数列满足，且． (1)求，，； (2)是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)已知数列满足，其前项和，求 19．（17分） 有无穷多个首项均为1的等比数列，记第个等比数列的第项为，公比为． (1)若，求的值； (2)若m为给定的值，且对任意n有，证明：存在实数，满足，； (3)若为等比数列，证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 数列 综合能力测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．等比数列中，，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为，因为，所以，所以， 所以. 故选：B. 2．已知数列，则是它的（    ） A．第9项 B．第10项 C．第13项 D．第12项 【答案】C 【解析】数列，即数列的通项公式是， 令，所以是它的第13项. 故选：C. 3．若数列为等差数列，且，则等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】依题意，. 故选：D 4．已知数列的前项和为，其中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即，所以． 故选：C. 5．已知公差不为0的等差数列，前n项和为，满足，且，，成等比数列，则（   ） A．2 B．6 C．5或6 D．12 【答案】B 【解析】，， 设公差为，则，解得或4， 当时，，舍去， 当时，，故. 故选：B 6．等差数列的前项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若等差数列公差为，则为常数， 所以为常数， 而，，均不确定为常数. 故选：C 7．设数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】数列中，由，得，整理得， 则，数列是以为首项，1为公差的等差数列， 于是，即，而满足上式， 因此，，，ABD错误，C正确. 故选：C 8．已知数列满足，记数列前项为，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，数列满足， 所以，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以， 所以， 由于是单调递增数列，而对于任意，不等式恒成立， 所以实数的取值范围为 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．等比数列的公比为，前项和为，为等差数列，则（    ） A． B． C．为等差数列 D．为等比数列 【答案】ABC 【解析】由已知为等差数列，则当时，为定值， 即为常数， 此时数列为常数列， 又数列为等比数列， 则，且，，A选项正确； 此时，B选项正确； ，，，，即为等差数列，C选项正确； ，，，不为定值，所以不为等比数列，D选项错误； 故选：ABC. 10．设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．为的最小值 【答案】AC 【解析】因为，所以，故A正确； 因为是等差数列且，所以公差，故B错误； 因为，所以， 又因为是等差数列且，所以与均为的最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 11．已知数列满足，且，则下列结论正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．数列的 C．数列 的前7项为负数 D．数列最大项的值为 【答案】ABD 【解析】根据， 可知是等比数列，首项为，公比为，故A正确； 则有，所以，故B正确，C错误； 不妨设最大项为，则， 即， 解之得，即最大项为，故D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为 ． 【答案】 【解析】当时，. 故答案为： 13．某公司购置了一台价值220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的，设备将报废，但若每年花费1万元进行设备维护，则可使设备的使用年限提升至20年，每经过一年其价值就会减少万元，超过20年，它的价值将低于所有花费的，设备将报废，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】设该设备使用年后，设备的价值为万元， 则可得数列，由已知可得，即公差为， 因为购进价格为220万元，所以， 所以， 由题可知 即 解得． 故答案为：． 14．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 设数列满足，且（n为正整数）． (1)求，，，并由此猜想出的一个通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想成立． 【解析】（1）由，得， 由，得， 由，得， 由此猜想的一个通项公式：（n为正整数）； （2）用数学归纳法证明：①当，满足，命题成立； 假设当（k为正整数）时命题成立， 即，则当时，， 命题仍然成立，由①和②可知：（n为正整数）． 16．（15分） 已知正项等差数列满足：，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【解析】（1）设正项等差数列的公差为，则， 由成等比数列，得，即 ，又，则， 解得（舍），或，所以. 故数列的通项公式为. （2）由题意，， 则，且， 所以是首项为2，公比为4的等比数列， 所以的前项和. 17．（15分） 设正项数列的前项和为，且，当时， (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和 【解析】（1）当时，，则， 因为为正项数列的前n项和，且， 则，，可得， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列， 所以，则有， 当时，， 又也适合， 故数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 根据的定义可知， 则， 所以. 18．（17分） 已知数列满足，且． (1)求，，； (2)是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)已知数列满足，其前项和，求 【解析】（1）由 同理可得，． （2）假设存在的实数符合题意， 则必是与无关的常数， 则． 故存在实数，使得数列为等差数列． （3）由（2）知数列是公差的等差数列 ， 所以. 19．（17分） 有无穷多个首项均为1的等比数列，记第个等比数列的第项为，公比为． (1)若，求的值； (2)若m为给定的值，且对任意n有，证明：存在实数，满足，； (3)若为等比数列，证明：． 【解析】（1）依题意，，所以． （2）由，得，则， 因此，又，则， 所以存在实数，满足，. （3）由为等比数列，得，其中q为的公比，则， 当时， ，而， 因此，又<0，则， 于是，即， 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$