大题突破2：与不等式有关的解答题6考点复习指南（讲+练）-【题海探秘】2024-2025学年高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册）

2024-2025高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册） 大题突破2：与不等式有关的解答题 6考点复习指南 考点1 不等式的证明 1．（2024高一上·全国·专题练习）已知，，求证． 2．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 3．（21-22高二上·河南濮阳·阶段练习）（1），，其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 4．（20-21高一上·云南玉溪·期中）已知，.证明： （1）； （2）. 考点2 利用不等式性质求取值范围 5．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知实数满足： (1)，求的取值范围； (2)求的取值范围. 6．（2024高一·全国·专题练习）（1）已知，，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 7．（23-24高一上·广西河池·阶段练习）（1）已知实数满足，求和的取值范围. （2）已知，求的取值范围. 8．（23-24高一上·湖北省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求 的取值范围； (2)求 的取值范围. 9．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，是方程的实数解. (1)若，，求的最小值； (2)若，求的取值范围. 10．（23-24高一上·广东佛山·期中）设，． (1)求的取值范围． (2)求的取值范围． (3)求的取值范围． 11．（23-24高一上·广东揭阳·期中）实数a，b满足，. (1)求实数a，b的取值范围； (2)求的取值范围. 考点3 解含参与不含参一元二次不等式 12．（24-25高一上·江苏淮安·开学考试）解不等式 (1) (2) (3) (4) 13．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）解关于x的不等式． 14．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 15．（23-24高二上·广东湛江·期中）已知不等式的解集是． (1)求实数的值． (2)解不等式． 16．（21-22高一下·辽宁营口·期末）已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)求关于x的不等式的解集． 17．（22-23高一上·安徽·期中）已知，关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解关于的不等式． 18．（23-24高一上·河北石家庄·期中）设． (1)若不等式对于任意恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 考点4 恒（能）成立问题 19．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知不等式，的解集是． (1)求常数的值； (2)若关于的不等式的解集为，求的取值范围． 20．（24-25高一上·广东东莞·开学考试）设. (1)若对于，恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于，恒成立，求实数的取值范围. (3)解关于的不等式. 21．（23-24高一上·浙江宁波·期中）（1）若，，求实数a的取值范围； （2）若，，求实数x的取值范围． 22．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知关于的不等式. (1)该不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)若该不等式的解集为集合的子集，求实数的取值范围. 23．（22-23高一上·福建莆田·期中）已知关于x的不等式的解集为. (1)求的值； (2)若关于x的不等式的解集为R，求k的取值范围. 24．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围. 25．（23-24高一上·山东淄博·期中）设函数. (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在成立，求实数的取值范围. 考点5 利用基本不等式求最值 26．（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）解答下列各题. (1)若，求的最小值. (2)若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 27．（23-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 28．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）（1）已知，，且，求的最小值； （2）求函数的最小值． 29．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）（1）已知，，，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 30．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 31．（21-22高一上·全国·阶段练习）已知，，且. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 32．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 33．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知正实数满足． (1)求的最小值及此时的值； (2)求的最大值及此时的值； (3)求的最小值及此时的值． 考点6 基本不等式的实际应用 34．（24-25高一上·全国·课后作业）现有25块边长为1m的正方形草皮，要把这些草皮铺成一个矩形草坪，并在矩形草坪的四周种植花卉，要求花卉带的宽度相同且为1m.若每月给花卉施肥需要耗费肥料，给草坪施肥需要耗费肥料.求每月给花卉带和草坪施肥最少需要耗费多少肥料？    35．（22-23高一下·河南·阶段练习）中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式. (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 36．（23-24高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 37．（23-24高一上·山东·期中）某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为米. (1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价. (2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为元（整体报价中含固定费用）.若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 38．（23-24高一上·上海·期中）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为.    (1)将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围； (2)当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值. 39．（21-22高一上·河南南阳·期中）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成．    (1)现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 40．（23-24高一上·四川眉山·期中）如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y（单位：元），AD长为x（单位：m）. (1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围； (2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值. 41．（23-24高一上·江苏南京·期中）第19届杭州亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为15元，年销售10万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价. 1．（22-23高一上·福建泉州·期中）若关于的不等式的解集为. (1)当时，求的值； (2)若，，求的值，并求的最小值. 2．（24-25高一上·广西·期中）（1）求函数的最小值； （2）已知，，且，求的最大值. 3．（23-24高一上·浙江·期中）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰梯形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻的三角形和梯形间在水平方向上的留空宽度也都是10，设． (1)当时，求海报纸（矩形）的周长； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 4．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）（1）若，试比较与的大小； （2）已知，，求的取值范围. 5．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最大值． 6．（23-24高一上·广东江门·期中）已知不等式的解集为． (1)求实数，的值； (2)解关于的不等式：为常数，且 7．（17-18高二上·宁夏石嘴山·期中）解关于x的不等式 (1) (2)． 8．（22-23高一上·全国·期中）已知正实数，满足，求下列式子的最小值. (1)； (2). 9．（21-22高一上·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知二次函数. (1)若存在使成立，求k的取值范围； (2)当时，求在区间上的最小值. 10．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知二次函数，且. (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式. 11．（23-24高一下·北京石景山·期中）求下列关于x的不等式的解集： (1)； (2) 12．（24-25高一上·河南·期中）已知. (1)比较与的大小; (2)若，求ab的最小值; (3)若，求的最小值. 13．（23-24高一上·四川内江·期中）已知关于的不等式的解集为或. (1)求a，b的值； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 14．（23-24高一上·湖北·期中）（1）已知，求的取值范围； （2）若，且，求的最小值. 15．（23-24高一上·河北邯郸·期中）如图，某物业需要在一块矩形空地（记为矩形ABCD）上修建两个绿化带，矩形ABCD的面积为800m2，这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形，这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为5m的人行道，且这两个梯形之间也留有5m的人行道.设m. (1)用x表示绿化带的面积； (2)求绿化带面积的最大值. 16．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知，，且满足． (1)求的最小值； (2)求的最大值． 17．（23-24高一上·吉林长春·期中）珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，其中，每吨的销售价格为万元，另外每生产1吨珍珠棉还需要投入其他成本0.5万元. (1)与出该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系； (2)当为多少万元时，该公司在本季度增加的利润最大?最大为多少万元? 18．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知关于的不等式的解集为. (1)求的值； (2)当且满足时，有恒成立，求的取值范围. 19．（23-24高一上·湖南常德·期中）（1）已知，求的最小值； （2）已知，，且，若恒成立，求实数m的取值范围． 20．（23-24高一上·江苏泰州·期中）第三十三届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，这是体育的盛会，也是商人们角逐的竞技场.某运动装备生产企业为了抢占先机，欲扩大生产规模.已知该企业2023年的固定成本为50万元，每生产（千件）装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产20（千件）装备时需另投入的资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2023年预计最多能售出100千件. (1)写出2023年利润（万元）关于产量（千件）的函数；（利润销售总额-总成本） (2)求当2023年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 21．（23-24高一上·四川雅安·期中）已知，，且，证明： (1)； (2)． 22．（21-22高一上·上海闵行·期中）问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； (3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 23．（18-19高一下·黑龙江哈尔滨·期末）设函数． (1)若不等式的解集，求的值； (2)若， ①，求的最小值； ②若在R上恒成立，求实数a的取值范围． 24．（23-24高一上·福建三明·期中）已知二次函数． (1)若关于的不等式的解集是，求实数，的值； (2)若，，解关于的不等式． 25．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数. (1)当时，解不等式； (2)若，的解集为，求最小值. 26．（23-24高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 27．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 28．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知点都在二次函数的图象上． (1)试求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 29．（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 30．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册） 大题突破2：与不等式有关的解答题 6考点复习指南 考点1 不等式的证明 1．（2024高一上·全国·专题练习）已知，，求证． 【答案】证明见解析． 【分析】利用不等式的性质证明． 【详解】根据不等式的性质利用综合法即可证明． 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以． 2．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 3．（21-22高二上·河南濮阳·阶段练习）（1），，其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法判断即可； （2）根据不等式的性质计算可得； 【详解】解：（1）因为，， 所以 因为，，所以，， 所以，即； （2）因为，且，所以，， 所以， 所以， 所以； 4．（20-21高一上·云南玉溪·期中）已知，.证明： （1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用不等式的性质即可证明； （2）利用不等式的性质即可证明. 【详解】解：证明：（1）∵，， ∴， 又，， ∴， 故； （2）由，得， 又， ∴， 即， 又， ∴. 考点2 利用不等式性质求取值范围 5．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知实数满足： (1)，求的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1)的取值范围为，的取值范围为； (2)的取值范围为. 【分析】（1）根据同向不等式的可加性和可乘性即可求解范围； （2）利用，求得，结合同向不等式的可加性即可求解. 【详解】（1）因为，所以，又因为，所以； 因为，所以，又因为，所以； 所以的取值范围为，的取值范围为； （2）令，， 所以，解得， 因为， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 6．（2024高一·全国·专题练习）（1）已知，，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据不等式倒数性质求的范围，然后同向不等式相乘可解； （2）结合，,利用已知代数式表示所求，并由不等式的性质直接求解. 【详解】（1） 由题意得 所以，即 （2）设 所以，解得 由题意得， 两式相乘，得，即 7．（23-24高一上·广西河池·阶段练习）（1）已知实数满足，求和的取值范围. （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据不等式的可加性和可乘性即可求解范围， （2）利用整体法，结合不等式的性质即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以， 所以的取值范围是. 因为，所以， 因为，所以， 所以的取值范围是. （2）令，即， 则有，解得， 而，于是， 所以，，即， 所以. 8．（23-24高一上·湖北省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求 的取值范围； (2)求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】利用不等式的性质对（1）（2）进行求解即可. 【详解】（1） （2）由， . 9．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，是方程的实数解. (1)若，，求的最小值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用基本不等式求解即可； （2）利用不等式的性质求解即可. 【详解】（1）由是方程的实数解得，又， 所以， 当且仅当即时，取到最小值5. （2）记，则由，得， 解得，故. 10．（23-24高一上·广东佛山·期中）设，． (1)求的取值范围． (2)求的取值范围． (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据不等式的性质求取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以. （2）因为，所以， 因为，所以. （3）因为，所以， 当时，， 当时，， 所以. 11．（23-24高一上·广东揭阳·期中）实数a，b满足，. (1)求实数a，b的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 应用不等式性质线性运算可得； （2）用已知式子表示所求式子结合不等式性质线性运算即可. 【详解】（1）∵， ∴，. （2）， 因为，所以， 又，所以， 所以. 考点3 解含参与不含参一元二次不等式 12．（24-25高一上·江苏淮安·开学考试）解不等式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）因为， 解得， 所以不等式的解集为. （2）因为， 解得， 所以不等式的解集为. （3）不等式转化为，且， 解得， 所以不等式的解集为. （4）不等式转化为， 解得， 所以不等式的解集为. 13．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）解关于x的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】对于一元二次不等式，当时，不等式变为一次不等式；当时，可根据二次函数的图像性质求解.先将二次函数因式分解，再分情况讨论的取值范围来求解不等式. 【详解】（1）当时,此时不等式化为，移项可得，两边同时除以，根据不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，得到. （2）当时,将因式分解，得到. （i）当时,二次函数开口向下，方程的两个根为和，且.不等式的解为. （ii）当时,二次函数开口向上，方程的两个根为和. 当，即时，不等式化为，即，此时. 当，即时，不等式的解为或. 当，即时，不等式的解为或. 综上所得, 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为或； 当时，； 当时，不等式的解为或. 14．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，化简不等式为，分、和，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）解：由不等式的解集为， 当时，即时，不等式即为，解得，不符合题意，舍去； 当时，即时，不等式可化为， 要使得不等式的解集为， 则满足， 即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. （2）解：由不等式，可得， 当时，即时，不等式即为，解得，解集为； 当时，即时，不等式可化为， 因为，所以不等式的解集为或； 当时，即时，不等式可化为， 因为，所以不等式的解集为， 综上可得， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 15．（23-24高二上·广东湛江·期中）已知不等式的解集是． (1)求实数的值． (2)解不等式． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用给定的解集，结合赵大宝列式计算即得. （2）由（1）的结论，化不等式为不等式组求解即可. 【详解】（1）由不等式的解集是，得是方程的二根，且， 于是，解得， 所以. （2）由（1）知，不等式化为，即或， 解，得或，解，无解， 所以原不等式的解集是. 16．（21-22高一下·辽宁营口·期末）已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见详解 【分析】（1）由不等式的解集可知是方程的一个根，从而可求出. （2）对分情况讨论，由方程根的分布情况即可求解集. 【详解】（1）若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. （2）因为，即， ①当时，即，解得：，不等式的解集为：； ②当时，令，解得， 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时， 不等式解集为：； 综上所述：当时，不等式解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 17．（22-23高一上·安徽·期中）已知，关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，利用韦达定理，即可求解； （2）根据（1）的结果，不等式为，分解因式后，讨论的取值，解不等式. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以与是方程的两个实数根， 由根与系数的关系，得， 解得：，； （2）由（1）知不等式为， 即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为． 18．（23-24高一上·河北石家庄·期中）设． (1)若不等式对于任意恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）讨论的范围，当时，列出条件，解出即可； （2）化简不等式，根据根的大小进行分类讨论，即可解出. 【详解】（1）因为， 所以不等式可化为， 若对于任意，不等式恒成立， 当时，不等式化为，不满足题意， 当时，则必有且, 解得， 所以实数a的取值范围为. （2）不等式化为， 即，， 因为， 所以当，即时，解得或， 不等式的解集为或; 当，即时，不等式恒成立，解集为； 当，即时，解得或， 不等式的解集为或. 考点4 恒（能）成立问题 19．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知不等式，的解集是． (1)求常数的值； (2)若关于的不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得和为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到方程，求出的值； （2）依题意可得关于的不等式的解集为，则，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为的解集是， 所以和为关于的方程的两根且， 所以，解得. （2）由（1）可得关于的不等式的解集为， 所以，解得， 即的取值范围为. 20．（24-25高一上·广东东莞·开学考试）设. (1)若对于，恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于，恒成立，求实数的取值范围. (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）将转化为关于的一次函数，判断的单调性，得到，解不等式即可. （2）由题意将不等式整理，得，结合时，，将原不等式转化为，求出在上的最小值即可. （3）由题意将不等式整理得，然后分类讨论的情况：、、、、，从而可求解. 【详解】（1）设 则是关于的一次函数，且一次项系数为， 所以在上单调递增． 所以等价于，解得， 故实数的取值范围为. （2）要使在上恒成立， 即，， 因为当时，，则有在上恒成立， 当，令，即， 所以在上恒成立，则， 即，故实数的取值范围为. （3）由，化简得，即， 当时，，解得. 当时，对于不等式，解得， 当时，对于不等式，解得或， 当时，对于不等式，解得或， 当时，对于不等式，解得或， 综上所述：当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为. 【点睛】方法点睛： （1）分离参数法：结合题意，分离参数将问题转化为函数在给定区间上的最值问题，再利用函数的性质求得最值，从而得到参数的取值范围； （2）更换主次元法：结合问题，将问题的变量和参数进行转换，得到关于参数的式子，本题就是得到关于的一次函数，利用函数的单调性将问题转化为函数的最大值小于，即可得到关于的不等式解得范围． （3）利用分类讨论，并结合二次函数的性质及一元二次不等式求解，从而可求解. 21．（23-24高一上·浙江宁波·期中）（1）若，，求实数a的取值范围； （2）若，，求实数x的取值范围． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据全称命题为真，分类讨论不等式恒成立即可； （2）根据存在性命题为真，转化为不等式有解，求最大值后解不等式即可. 【详解】（1）因为，， ①当时，不等式对成立，符合题意. ②当时，若不等式对恒成立， 则，解得， 综上，实数a的取值范围. （2），， 即，， 所以，而在上单调递增， 所以，解得， 故实数x的取值范围. 22．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知关于的不等式. (1)该不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)若该不等式的解集为集合的子集，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）可知1和4是方程的两根，且，利用韦达定理即可求解； （2）恒成立，分和两种情况，结合二次函数运算求解； （3）分和两种情况，根据子集关系结合二次函数列式求解. 【详解】（1）因为的解集为， 可知1和4是方程的两根，且， 由根与系数关系可得，解得. （2）因为的解集为，即恒成立， 若，则不恒成立，不合题意； 若，则，解得； 综上所述：所以实数的取值范围为. （3）设不等式的解集为，可知， 若，则，解得，即，不合题意； 若，可知，则有： 当时，由（2）可知：； 当时，必有，令，可知其开口向上，对称轴为， 若，则；若，则； 结合二次函数图象有，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 23．（22-23高一上·福建莆田·期中）已知关于x的不等式的解集为. (1)求的值； (2)若关于x的不等式的解集为R，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次不等式和对应一元二次方程的关系列出方程组，解之即得； （2）将（1）求得的的值代入不等式并整理，由题意得到关于的不等式，解之即得. 【详解】（1）依题意知，方程有两根为2和3， 则由韦达定理可得，，解得，； （2）由可得，， 依题意需使，，解得，，即. 24．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解以及根与系数关系求得的值； （2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式在区间上有解列不等式，求得的取值范围，进而求得的取值范围. 【详解】（1）依题意，的解集是或， 所以，解得. （2）时，在有解， 即在有解， 因为的开口向上，对称轴， ①即，时，函数取得最小值，即， ∴. ②即时，当取得最小值，此时， 解得. ③当即时，当时取得最小值，此时， 解得， 综上，或. 所以的范围为. 25．（23-24高一上·山东淄博·期中）设函数. (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得是真命题，分和两种情况讨论； （2）依题意参变分离可得存在使得成立，则只需，，利用基本不等式求出即可得解. 【详解】（1）若命题：是假命题，则是真命题， 即在上恒成立， 当时，，符合题意； 当时，需满足，解得； 综上所述，的取值范围为. （2）若存在成立， 即存在使得成立，故只需，， 因为，所以，则， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以. 考点5 利用基本不等式求最值 26．（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）解答下列各题. (1)若，求的最小值. (2)若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 【答案】(1)7； (2)①36；②. 【分析】（1）将变形为，后由基本不等式可得答案； （2）①由基本不等式结合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案. 【详解】（1）由题. 当且仅当，即时取等号； （2）①由结合基本不等式可得： ，又为正数， 则，当且仅当，即时取等号； ②由可得， 则. 当且仅当，又， 即时取等号. 27．（23-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 【答案】（1）1；（2）. 【分析】（1）根据已知条件直接利用基本不等式求解即可； （2）对化简变形得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为1； （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为. 28．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）（1）已知，，且，求的最小值； （2）求函数的最小值． 【答案】（1）3；（2）9． 【分析】（1）依题意可得，则，利用基本不等式计算可得； （2）令，则，利用基本不等式计算可得； 【详解】（1）∵，，且，所以， 则， 当且仅当时等号成立，因此的最小值为3． （2）因为，所以，令，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立； 所以函数的最小值为． 29．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）（1）已知，，，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为； （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为. 30．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）利用常值代换法和基本不等式即可求出最小值； （2）将已知式分解因式为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，即，时等号成立， 故的最小值为． （2）因为，，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为18． 31．（21-22高一上·全国·阶段练习）已知，，且. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用基本不等式中的“1”的妙用求解小问1，分离参数并且使用基本不等式中的“1”的妙用求解即可. 【详解】（1）由，得，又，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为8； （2）由恒成立，得恒成立， 又，所以， 由（1）可知，所以， 当且仅当，即，时等号成立，即，故的最大值是4. 32．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式，将等式转化为关于的一元二次方程，即可求解； （2）首先将等式变形为，再变形，转化为利用基本不等式求和的最小值. 【详解】（1）因为， 令，则，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时等号成立； （2）由，得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. 33．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知正实数满足． (1)求的最小值及此时的值； (2)求的最大值及此时的值； (3)求的最小值及此时的值． 【答案】(1)，此时 (2)的最大值是，此时 (3)的最小值是3，此时 【分析】（1）对已知等式两边平方结合基本不等式即可求解； （2）利用基本不等式推论即可求解； （3）将所求式子变形为，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由基本不等式有， 所以，等号成立当且仅当满足题意； （2）由基本不等式推论有，等号成立当且仅当， 所以的最大值是； （3）一方面，另一方面，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值是3. 考点6 基本不等式的实际应用 34．（24-25高一上·全国·课后作业）现有25块边长为1m的正方形草皮，要把这些草皮铺成一个矩形草坪，并在矩形草坪的四周种植花卉，要求花卉带的宽度相同且为1m.若每月给花卉施肥需要耗费肥料，给草坪施肥需要耗费肥料.求每月给花卉带和草坪施肥最少需要耗费多少肥料？    【答案】488kg. 【分析】设矩形草坪的长为，宽为，得到，表达出每月给花卉带和草坪施肥需要耗费肥料为，由基本不等式求出答案. 【详解】设矩形草坪的长为，宽为，由题意草坪的面积为， 花卉带的面积为， 所以每月给花卉带和草坪施肥需要耗费肥料为 ， 由基本不等式得， 当且仅当时等号成立，故每月给花卉带和草坪施肥需要耗费肥料最少为488kg. 35．（22-23高一下·河南·阶段练习）中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式. (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 【答案】(1)； (2)当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元． 【分析】（1）根据利润等于售价减成本可求利润的表达式； （2）根据的表达式分别求出每段函数的最大值即可. 【详解】（1）（1）由题意可得，， 所以， 即. （2）当时，； 当时，，对称轴，； 当时，由基本不等式知， 当且仅当，即时等号成立，故， 综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元． 36．（23-24高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】(1)采用方案二；理由见解析 (2)24 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. （2）解：由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 37．（23-24高一上·山东·期中）某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为米. (1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价. (2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为元（整体报价中含固定费用）.若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【答案】(1)4m，14400元 (2) 【分析】（1）根据题意，列出函数关系式，结合基本不等式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，列出不等式，分离参数，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，则 当且仅当时，即时等号成立. 即当宽为时，甲工程队的报价最低，最低为14400元. （2）由题意可得.对恒成立. 即 令 . 令， 则在上单调递增. 且时，. . 即的取值范围为. 38．（23-24高一上·上海·期中）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为.    (1)将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围； (2)当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值. 【答案】(1)， (2)当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为. 【分析】（1）表达出单个矩形栏目的长度，进而求出y关于x的表达式，x的取值范围； （2）由基本不等式求出总面积最小值. 【详解】（1）单个矩形栏目的长度为， ， （2）由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为. 39．（21-22高一上·河南南阳·期中）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成．    (1)现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 【答案】(1)长为，宽为 (2)长为，宽为 【分析】（1）先求得每间虎笼面积的表达式，然后利用基本不等式求得最大值. （2）先求得钢筋网总长的表达式，然后利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）设长为，宽为，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 即长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大. （2）设长为，宽为，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 即长为，宽为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小. 40．（23-24高一上·四川眉山·期中）如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y（单位：元），AD长为x（单位：m）. (1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围； (2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值. 【答案】(1)， (2)，最小值为472000元 【分析】（1）由题意可得矩形的面积，即可得出； （2）先表示出总造价y，再由基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意可得，矩形的面积为, 因此， ∵，∴. （2） ，， 由基本不等式y472000， 当且仅当，即x时，等号成立， 故当x时，总造价y最小，最小值为472000元. 41．（23-24高一上·江苏南京·期中）第19届杭州亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为15元，年销售10万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价. 【答案】(1)50 (2)至少应达到万件，商品的每件定价为20元 【分析】（1）由已知得出调价后的销售量，进而列出不等式，求解即可得出答案； （2）根据已知列出不等式，分离参数可得.然后即可根据基本不等式，得出答案. 【详解】（1）设定价为元，则销售量为万件， 由已知可得，， 整理可得，，解得， 所以，该商品每件定价最多为50元. （2）由已知可得，，. 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，. 所以，当该商品改革后的销售量至少应达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，商品的每件定价为20元. 1．（22-23高一上·福建泉州·期中）若关于的不等式的解集为. (1)当时，求的值； (2)若，，求的值，并求的最小值. 【答案】(1) (2)，的最小值为. 【分析】（1）由方程有两个实数根即可得，再代入通分后的式子即可得解. （2）由不等式的解集为和、可得，进而可求得和求解，从而结合基本不等式即可求解的最小值. 【详解】（1）由题意，关于的方程有两个根，， 所以，故. （2）由题意，关于方程有两个正根， 且由韦达定理知，解得， 所以， 所以， 又，，故、， 所以，当且仅当即时等号成立， 结合得即，时取等号. 此时实数符合条件， 故，且当时，取得最小值. 2．（24-25高一上·广西·期中）（1）求函数的最小值； （2）已知，，且，求的最大值. 【答案】（1）最小值为；（2）最大值为. 【分析】对于（1），（2）都可用基本不等式求最值. 【详解】（1）， 因为，所以，由基本不等式可得： ， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值为10. （2）. 因为，，所以，，由基本不等式可得： ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为. 3．（23-24高一上·浙江·期中）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰梯形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻的三角形和梯形间在水平方向上的留空宽度也都是10，设． (1)当时，求海报纸（矩形）的周长； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 【答案】(1)； (2)选择矩形的长宽分别为的海报纸，可使用纸量最少 【分析】（1）根据题意，列出面积公式，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，列出面积公式，结合基本不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为， 阴影部分的面积， 又， 由图可知：， 海报纸的周长为. （2）由（1）知， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 此时， 故选择矩形的长宽分别为的海报纸，可使用纸量最少. 4．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）（1）若，试比较与的大小； （2）已知，，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由作差法代入计算，即可判断； （2）由待定系数法可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为， 所以； （2）设， 则，解得， 所以， 因为，则， 所以，即. 5．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最大值． 【答案】(1)6； (2). 【分析】（1）由“1”的代换有，利用基本不等式求最小值，注意取值条件； （2）由，应用基本不等式求最大值，注意取值条件. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当，时取等号，所以的最小值为6． （2）因为，所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最大值为． 6．（23-24高一上·广东江门·期中）已知不等式的解集为． (1)求实数，的值； (2)解关于的不等式：为常数，且 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据不等式的解集得出对应方程的两根，由根与系数的关系求出、的值． （2）不等式为，讨论和，写出对应不等式的解集． 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以1和2是方程的两根， 由根与系数的关系知，，解得，． （2）不等式即为， 由，则时，解不等式得，或； 时，解不等式得，或； 综上，时，不等式的解集为或； 时，不等式的解集为或． 7．（17-18高二上·宁夏石嘴山·期中）解关于x的不等式 (1) (2)． 【答案】(1)或 (2)解析见答案 【分析】（1）通过因式分解求出不等式的解集即可； （2）通过讨论m的范围，求出对应的方程的根，求出不等式的解集即可. 【详解】（1）∵， ∴，∴， 解得：或， 故不等式的解集是或； （2）∵， ∴， 时，，解得：， 时，， ，或， 时，不等式为，， 故不等式的解集是：或， 时，不等式为， 故不等式的解集是， 时，不等式为， ， 故不等式的解集是：或， 时，不等式为，， 故不等式的解集是：. 综上可知，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集是或， 时，不等式的解集是， 时，不等式的解集是或， 时，不等式的解集是. 8．（22-23高一上·全国·期中）已知正实数，满足，求下列式子的最小值. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用常值代换法构造基本不等式的条件求解即得； （2）通过条件等式消元，代入所求式，整理成二次函数，求其值域即得. 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为8； （2）， ， 是正实数，解得， 当时，取得最小值. 9．（21-22高一上·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知二次函数. (1)若存在使成立，求k的取值范围； (2)当时，求在区间上的最小值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用可得答案； （2）分、、讨论，结合二次函数的性质可得答案. 【详解】（1）若存在使成立， 则， 解得或， 所以k的取值范围是； （2）当时，，为对称轴是开口向上的抛物线， 因为，所以， 当即时， ； 当即时， ； 当即时， ； 综上所述，当时，； 当时，； 当时，. 10．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知二次函数，且. (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）结合条件，代入解析式求解即可； （2）将问题转化为求的解集，讨论的范围即可求解. 【详解】（1）因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以，所以，所以， 即. （2）由，可得不等式，即， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 11．（23-24高一下·北京石景山·期中）求下列关于x的不等式的解集： (1)； (2) 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据分式不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，利用一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由不等式，可得，解得， 即不等式的解集为. （2）解：由不等式，可得化为， 若，不等式可化为，解得，即解集为； 若，不等式可化为 当时，不等式即为，解得或，即不等式的解集为或； 当时，不等式即为， ①当时，即时，解得，解集为； ②当时，即时，解得，解集为； ③当当时，即时，解得，解集为 综上， 当时，不等式的解集为或； 当，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 12．（24-25高一上·河南·期中）已知. (1)比较与的大小; (2)若，求ab的最小值; (3)若，求的最小值. 【答案】(1) (2)49 (3)8 【分析】（1）作差比较即可； （2）利用基本不等式求解即可； （3）先用基本不等式求出，再设，把已知等式变形为的等式，然后解一元二次不等式即可； 【详解】（1）由题意得， 因为，所以, 得， （2）由，得， 因为，所以， 得，得，即， 当且仅当，即时，等号成立， 故ab的最小值为49 ， （3）由题意得， 当且仅当，等号成立， 由，得， 设，则，得， 得，即，当时，取得最小值，且最小值为8. 13．（23-24高一上·四川内江·期中）已知关于的不等式的解集为或. (1)求a，b的值； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式和对应方程的关系，结合根与系数的系数，即可求出a，b的值； （2）由（1）可得，结合基本不等式求出的最小值，得到关于的不等式，解出即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以1和是方程的两个实数根，且， 所以，解得， 即，. （2）由（1）知，于是有， 故， 当且仅当，结合，即时，等号成立， 依题意有，即， 所以的取值范围为. 14．（23-24高一上·湖北·期中）（1）已知，求的取值范围； （2）若，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设，求得，利用不等式的性质即可求解； （2）设，可得，结合基本不等式即可求解. 【详解】解：（1）设，其中， 则，解得，即， 因为，所以， 所以的取值范围为； （2）设，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 15．（23-24高一上·河北邯郸·期中）如图，某物业需要在一块矩形空地（记为矩形ABCD）上修建两个绿化带，矩形ABCD的面积为800m2，这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形，这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为5m的人行道，且这两个梯形之间也留有5m的人行道.设m. (1)用x表示绿化带的面积； (2)求绿化带面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两个形状、大小完全相同的直角梯形可合并成一个小矩形，再结合题干的数据可求绿化带面积； （2）利用基本不等式求最大值即可. 【详解】（1）因为矩形ABCD的面积为，，所以， 两个形状、大小完全相同的直角梯形可合并成一个小矩形， 则，解得， 则绿化带面积为； （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以绿化带面积的最大值为. 16．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知，，且满足． (1)求的最小值； (2)求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意取值条件； （2）由题设得，目标式化为，再应用基本不等式求得，进而求目标式最大值. 【详解】（1）由题设， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. （2）由，则， 又，故，即， 当且仅当，即时等号成立， 所以，故，仅当时等号成立， 所以的最大值. 17．（23-24高一上·吉林长春·期中）珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，其中，每吨的销售价格为万元，另外每生产1吨珍珠棉还需要投入其他成本0.5万元. (1)与出该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系； (2)当为多少万元时，该公司在本季度增加的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1) (2)万元时，公司在本季度增加的利润最大，最大为万元. 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）分段函数最值分段求解，分别利用基本不等式求解最值和一次函数的单调性求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， 又因为，所以， 所以该公司本季度增加的利润y与x（单位：万元）之间的函数关系为 ； （2）当时，化简， 因为，所以， 由基本不等式可得，， 当且仅当，即时等号成立，所以， 此时当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为万元； 当时，为减函数，所以当时，有最大值为； 因为，所以当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为万元. 18．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知关于的不等式的解集为. (1)求的值； (2)当且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得方程的两根为和2，从而可求出的值； （2）由题意得，而，化简后利用基本不等式可求出其最小值为8，所以，从而可求出的取值范围. 【详解】（1）由，整理得， 根据题意得，的解集为， 的两根为和2， . （2）当且满足时，有恒成立， . 而， 当且仅当，即时取“， ，即， 解得， 即的取值范围为. 19．（23-24高一上·湖南常德·期中）（1）已知，求的最小值； （2）已知，，且，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）1；（2）． 【分析】 （1）变形后利用均值不等式求解最小值； （2）结合“1”的技巧，利用均值不等式求解. 【详解】（1）由于，所以， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为1. （2）因为，，且，     所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为恒成立， 所以，即，解得． 所以实数m的取值范围为． 20．（23-24高一上·江苏泰州·期中）第三十三届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，这是体育的盛会，也是商人们角逐的竞技场.某运动装备生产企业为了抢占先机，欲扩大生产规模.已知该企业2023年的固定成本为50万元，每生产（千件）装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产20（千件）装备时需另投入的资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2023年预计最多能售出100千件. (1)写出2023年利润（万元）关于产量（千件）的函数；（利润销售总额-总成本） (2)求当2023年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)30千件，850万元 【分析】（1）先由求得，再由利润销售总额-总成本建立函数模型求解； （2）根据二次函数的性质及基本不等式分别求出分段函数的最值，比较大小即可得结论. 【详解】（1）由题意知，当时，，所以， 当时，； 当时，， 所以； （2）当时，函数在上是增函数，在上是减函数， 所以当时，有最大值，最大值为850； 当时，由基本不等式得， 当且仅当时取等号，所以当时，有最大值，最大值为755； 因为，所以当年产量为30千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为850万元. 21．（23-24高一上·四川雅安·期中）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由，利用基本不等式可得答案； （2），利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即，故； （2）因为，所以， 因为，，所以，， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 则，即． 22．（21-22高一上·上海闵行·期中）问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； (3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 【答案】(1) (2)，当时，等号成立 (3)的最小值为， 【分析】（1）根据题意，由，结合基本不等式，即可求解； （2）由，结合,即可求解； （3）令,得到,结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：若正实数满足,则， 所以,当且仅当且, 即时，取等号,所以的最小值. （2）解：若正实数满足,且， 由 因为,当且仅当时取等号,所以 ，所以. （3）解：若, 令,则, 所以, 当且仅当即时取等号, 又因为,解得,即,所以. 23．（18-19高一下·黑龙江哈尔滨·期末）设函数． (1)若不等式的解集，求的值； (2)若， ①，求的最小值； ②若在R上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)①9；② 【分析】（1）利用不等式的解集结合一元二次方程根和系数的关系求解即可； （2）①利用基本不等式中“1”的应用求解即可；②把转化为在R上恒成立，利用判别式求解即可. 【详解】（1）若不等式的解集， 则， 所以. 解得. （2）若，即，. ①，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为9， ②在R上恒成立， 即在R上恒成立， 故， 解得： 故a的取值范围为 24．（23-24高一上·福建三明·期中）已知二次函数． (1)若关于的不等式的解集是，求实数，的值； (2)若，，解关于的不等式． 【答案】(1)，； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定的解集，借助一元二次方程根与系数的关系列式计算即得. （2）分类讨论解一元二次不等式即得. 【详解】（1）由不等式的解集是， 得和是一元二次方程的两个实数根，且， 于是，解得，， 所以，. （2），不等式化为，即， 当，即时，解不等式，得或； 当，即时，不等式的解为； 当，即时，解不等式，得或， 所以当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 25．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数. (1)当时，解不等式； (2)若，的解集为，求最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法计算即可； （2）由已知可得方程的解为，且，利用韦达定理求出，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解. 【详解】（1）当时，， 则，即， 解得或， 所以不等式的解集为； （2）因为的解集为， 所以方程的解为，且， 则， 因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以最小值为. 26．（23-24高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：设矩形花园的长为， 因为矩形花园的总面积为，所以，可得， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得，可得， 即关于的关系式为. （2）解：由（1）知，， 则 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 27．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析，当且仅当 (2)证明见解析，当且仅当 【分析】（1）利用作差法证明； （2）利用基本不等式证明； 【详解】（1）因为， ， ， 所以成立； 当且仅当时，等号成立； （2）， ． 所以． 当且仅当时，等号成立． 28．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知点都在二次函数的图象上． (1)试求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)实数的取值范围为. 【分析】（1）利用点在二次函数图象上，列出方程组求解即得. （2）利用一元二次不等式恒成立，列出不等式求解即得. 【详解】（1）由点都在二次函数的图象上，得， 所以. （2）由（1）知， 不等式恒成立，即恒成立， 因此，解得， 所以实数的取值范围为. 29．（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【详解】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以①， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以②， 综合①②，得. 30．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先把二次不等式化为，然后分类讨论解不等式即可； （2）参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由. 得，所以， 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：， 因为，所以，所以， 所以：或. 综上可知：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）不等式，即， 所以， 因为恒成立，所以：. 问题转化为：存在，使得成立，所以， 设，令，则， 因为（当且仅当，即时取等号）， 所以，当且仅当时取等号. 所以综上可知：的取值范围为. 【点睛】求参数的取值范围问题，分离参数是常用的一种方法.通常把参数表示出来，而后转化为恒成立或存在性问题，通过求函数的值域或范围来求解. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$