大题突破1：集合及常用逻辑用语解答题6考点复习指南（讲+练）-【题海探秘】2024-2025学年高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册）

2024-2025高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册） 大题突破1：集合及常用逻辑用语解答题 6考点复习指南 考点1 元素与集合 1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 2．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）设，已知集合，． (1)当时，求实数的范围； (2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． 3．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围; 4．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）已知集合 (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合. 5．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 6．（21-22高一上·上海普陀·阶段练习）已知集合． (1)若中只有1个元素，求实数的取值范围； (2)若关于的方程存在两个不相等实根且．求实数的值与集合． 7．（22-23高一上·浙江温州·期中）已知集合 (1)若集合A有且只有两个子集，求实数m的值. (2)当时，若，且，求的值 考点2 集合间的关系 8．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）已知 (1)若，分别求的值.； (2)若，用列举法表示集合. 9．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 10．（22-23高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知集合，或． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 11．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 12．（23-24高一上·浙江·期中）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 13．（21-22高一上·全国·课后作业）已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 14．（19-20高一·上海·课后作业）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 15．（22-23高一上·广东东莞·期中）设集合. (1)当时，求的非空真子集的个数； (2)若，求的取值范围. 考点3 集合的运算 16．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）已知集合. (1)求 (2)求 17．（23-24高一上·四川乐山·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 18．（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知全集，集合，. (1)求和； (2)求. 19．（23-24高一上·四川达州·期中）设集合，.求： (1)； (2). 20．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知全集，，． (1)求集合M，N； (2)求； (3)求； (4)求． 21．（23-24高一上·北京·期中）已知：设，，，求： (1) ； (2) ； (3) 22．（23-24高一上·湖南永州·期中）已知集合，. (1)求； (2)定义且，求. 23．（23-24高一上·湖北·期中）已知全集，集合，. (1)求； (2)求. 考点4 集合新定义 24．（23-24高一上·上海·期中）集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 25．（23-24高一上·江苏淮安·期中）对于集合A，B，我们把集合叫作集合A与B的差集，记为；可用图中的阴影部分来表示. (1)若，，求集合和； (2)集合，集合，若，求实数m的取值范围. 26．（23-24高一上·河南洛阳·期中）若集合A具有①，，②若，则，且时，这两条性质，则称集合A是“好集”． (1)分别判断集合，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由． (2)设集合A是“好集”，求证：若，则． (3)对任意的一个“好集”A，判断命题“若，，则”的真假，并说明理由． 27．（16-17高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质． (1)当时，试判断集合和是否具有性质？并说明理由； (2)当时，若集合具有性质， ①判断集合是否一定具有性质？并说明理由； ②求集合中元素个数的最大值． 28．（22-23高一上·北京顺义·期末）已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集. (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集； (3)若非空集合是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集. 29．（22-23高一上·上海普陀·期中）对于给定的整数，若非空集合满足如下条件：①；②；③对任意、，若，则，则称集合为“减集”. (1)分别判断集合是否为“减0集”或“减1集”，并说明理由； (2)证明：不存在“减2集”； (3)请写出所有的“减1集”.（无需说明理由） 30．（22-23高一上·上海松江·期中）若集合是整数集的子集，且满足对任意的，总存在，使得，或者，则称集合具有性质. (1)若，，判断，中哪个集合具有性质； (2)已知集合具有性质且，求元素个数最少的集合； (3)已知集合，具有性质，判断和是否具有性质，并说明理由. 考点5 充分条件与必要条件 31．（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）已知全集，集合，且为非空集合. (1)分别求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 32．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 33．（20-21高一上·山东济宁·期末）在①；②“”是“”的充分不必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答. 问题：已知集合，. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 34．（9-10高三·江西宜春·阶段练习）已知非空集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围． 35．（23-24高一上·天津·期中）已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 36．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 37．（20-21高一下·安徽淮南·开学考试）已知全集为R，集合，． (1)求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围． 38．（23-24高一上·四川遂宁·期中）已知集合， 从以下两个条件中任选一个，补充到第（2）问的横线处，求解下列问题． ①；②“”是“”的充分不必要条件； (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围． 39．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知，或． (1)若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围； (2)若p是的必要不充分条件，求实数k的最大值． 考点6 全称量词与存在量词 40．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知命题“，使得”． (1)写出命题p的否定形式； (2)若命题是一个假命题，求实数a的取值范围． 41．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知命题p：，；命题q：， (1)若p是真命题，求实数a的取值范围； (2)若p与q有且只有一个为假命题，求实数a的取值范围. 42．（24-25高一上·河南·期中）已知命题. (1)若命题均为真命题，求的取值范围； (2)若和中恰有一个真命题，求的取值范围. 43．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 44．（22-23高一上·广东东莞·期中）命题：，使得；命题：，函数至少与轴有一个交点. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若，有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 1．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知集合，． (1)求； (2)求． 2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知集合，. (1)求及； (2)求. 3．（10-11高一上·陕西宝鸡·期中）设集合，，求，， . 4．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围． 5．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 6．（23-24高一上·广东揭阳·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求与； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 7．（23-24高一上·浙江·期中）已知，． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 8．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知集合，，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 9．（23-24高一上·四川泸州·期中）设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 10．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 11．（23-24高一上·江西南昌·期中）设集合 . (1)若，试求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 12．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若集合，集合. (1)若，求； (2)当时，求实数m的取值范围. 13．（23-24高一上·广东江门·期中）已知全集，集合. (1)求； (2)求. 14．（21-22高一上·湖南株洲·期中）已知集合，集合. (1)当时，求 (2)若，求的取值范围. 15．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，或，全集. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数b的取值范围. 16．（23-24高一上·广东湛江·期中）已知集合，. (1)在①，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答. 问题：当集合A，B满足________时，求的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (2)若，求的取值范围. 17．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若命题为真命题，求实数的值． 18．（12-13高二·福建福州·阶段练习）求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 19．（20-21高一上·天津南开·期中）已知集合，集合，若，求实数的取值范围. 20．（15-16高一上·江苏宿迁·阶段练习）设，，且. (1)求的值及集合，； (2)设全集，求； (3)写出的所有子集. 21．（23-24高一上·天津·期中）已知集合，. (1)当时，求，； (2)求能使成立的的取值范围. 22．（24-25高一上·广西·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 23．（23-24高一上·天津南开·期中）已知全集为，集合，，． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 24．（23-24高一上·北京东城·期中）设全集为R，集合，. (1)若a=3，求，； (2)若，求a的集合. 25．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围. 26．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）设全集，集合，. (1)若集合恰有一个元素，求实数的值； (2)若，，求. 27．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）设全集，集合，集合 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 28．（23-24高一下·浙江·期中）设非空数集M，对于任意，如果满足：①属于M  ②属于M.③属于M  ④（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. (1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； (2)若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：； (3)设，证明A是数域. 29．（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知集合，若对任意的整数和中至少有一个是集合的元素，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，并说明理由. (2)若集合具有性质，证明：，且. (3)当时，若集合具有性质，且，求集合. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册） 大题突破1：集合及常用逻辑用语解答题 6考点复习指南 考点1 元素与集合 1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 【答案】(1)中其他所有元素为，，2； (2)0不是的元素，当，中的元素是：3，，，． 【分析】（1）根据定义直接计算即可得到中其他所有元素； （2）先假设，依定义判断即可；取，根据定义直接计算即可得到中其他所有元素． 【详解】（1）由题意可知：， 则，，，， 所以中其他所有元素为，，2． （2）假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是的元素， 取，则，，，， 所以当，中的元素是：3，，，． 2．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）设，已知集合，． (1)当时，求实数的范围； (2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，5是集合B的元素，代入可得答案； （2）由题可得是的真子集，分类讨论为空集和不为空集合两种情况，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由题可得，则； （2）由题可得是的真子集， 当，则；     当，，则（等号不同时成立），解得 综上，. 3．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围; 【答案】(1) (2)时，元素为；时，元素为 (3)或 【分析】（1）由题意得方程无解，利用即可求解. （2）由题意，对二次项系数分和讨论，时方程为一元一次方程，有且仅有一个根，满足题意，时，利用即可求解. （3）由题意得，为空集，或有且仅有一个元素，由（1）（2）的结论即可求解. 【详解】（1）若是空集， 则方程无解， 此时， 即. 故的取值范围为. （2）若中只有一个元素， 则方程有且仅有一个实根， 当时，方程为，解得， 方程有且仅有一个实根，满足题意； 当时，， 解得， 此时， 或， 当时，，即该元素为； 当时，，即该元素为. （3）若中至多只有一个元素， 则为空集，或有且仅有一个元素， 由（1）（2）的结论可得的取值范围是或. 4．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）已知集合 (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据是空集，可知，解不等式组即可； （2）根据中只有一个元素，分和两种情况进行讨论. 【详解】（1）因为是空集，所以，即解得， 所以的取值范围为. （2）当时，集合，符合题意； 当时，即，解得，此时集合， 综上所述，的值为或， 当时，集合，当时，集合. 5．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，从而可得结论； （2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，从而可得结论； （3）由（1）（2）可得集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值． 【详解】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以， 所以，又 则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且， 又，则S中所有元素之积的所有可能值为或； （2）已知非空实数集满足：任意，均有，且 所以，且，又 则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且， 若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3 所以，整理得 解得或 当或或或时， 综上，； （3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环， 且当时，同一周期内其余元素不相等， 因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素， 因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内， 若，此时从中选出5个元素属于，此时T包含20个元素，中包含， 若，此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含， 所以的元素个数最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素的性质，综合性强.解题关键是确定集合中元素的构成以及元素个数关系，例如本题中集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交. 6．（21-22高一上·上海普陀·阶段练习）已知集合． (1)若中只有1个元素，求实数的取值范围； (2)若关于的方程存在两个不相等实根且．求实数的值与集合． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）按方程是一次方程，二次方程讨论，即可求出实数的取值范围； （2）由根与系数的关系知，且，从而得到方程，即可求得或，再代入求集合A即可. 【详解】（1）解：当时，，解得，符合题意， 当时，，解得，符合题意， 故实数的取值范围为； （2）（2）∵关于的方程存在两个不相等实根， ∴， 且， 则， 即， 故或， 当时，， 当时，． 7．（22-23高一上·浙江温州·期中）已知集合 (1)若集合A有且只有两个子集，求实数m的值. (2)当时，若，且，求的值 【答案】(1)，-3或3 (2) 【分析】（1）根据集合A有且只有两个子集得到集合A中只有一个元素，然后分和两种情况求解即可； （2）将代入得到，然后代入计算即可. 【详解】（1）因为集合A有且只有两个子集，所以集合A中只有一个元素， ①当时，符合要求； ②当时，则，即. 综上所述，-3或3. （2）当时，集合 即 即 . 考点2 集合间的关系 8．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）已知 (1)若，分别求的值.； (2)若，用列举法表示集合. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）求出方程，进而求出. （2）利用集合的包含关系求出，进而求出集合. 【详解】（1）由，得或， 而，则是方程的二根， 所以. （2）由（1）知，，由，得或或， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 9．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分析得出，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）分析得出，分和两种情况结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）分和两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式（组），由此可求得实数的取值范围. 【详解】（1）集合，， 若，则， 有，解得， 所以实数的取值范围为. （2）集合，， 若，则， 当，即时，，符合题意； 当时，有，解得， 所以实数的取值范围为. （3）集合，，若， 当，即时，，符合题意； 当时，有或，解得， 所以实数的取值范围. 10．（22-23高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知集合，或． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用非空集合思想来得到参数的不等式求解即可； （2）根据子集思想，讨论空集和非空集合两种情形，再进行端点值比较，得到不等式求解即可. 【详解】（1）由，则， 因为集合，所以， 解得：，故实数的取值范围是； （2）由，则， 当为空集时满足题意，此时有，即； 当，且，或．则, 而且还满足或，解得：或， 由于，所以此时只有， 综上可得：实数的取值范围是. 11．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出； （2），故，结合方程的两根得到不等式，求出. 【详解】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故， 故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 12．（23-24高一上·浙江·期中）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）根据题意，由集合的运算，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分与讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1），又， 或，或. （2） 当时，． 当时，． 综上所述，实数的取值范围为． 13．（21-22高一上·全国·课后作业）已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或或. 【分析】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值； （2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围； 【详解】（1）由方程，解得或 所以，又，， 所以，即方程的两根为或， 利用韦达定理得到：，即； （2）由已知得，又， 所以时，则，即，解得或； 当时， 若B中仅有一个元素，则，即，解得， 当时，，满足条件；当时，，不满足条件； 若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件. 综上，实数a的取值范围是或或. 14．（19-20高一·上海·课后作业）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：①当时，即，解得，此时满足； ②当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. （2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解， 所以实数不存在，即不存在实数使得. 15．（22-23高一上·广东东莞·期中）设集合. (1)当时，求的非空真子集的个数； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)254 (2) 【分析】（1）由题得即可解决.（2）根据得，即可解决. 【详解】（1）由题知，， 当时，共8个元素， 的非空真子集的个数为个； （2）由题知， 显然， 因为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 考点3 集合的运算 16．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）已知集合. (1)求 (2)求 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由集合的交集、补集运算即可求解； （2）先求得，再结合交集补集运算即可. 【详解】（1）因为 所以， （2）因为 所以或 所以或 17．（23-24高一上·四川乐山·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）集合的交集和补集的运算计算得出结果；（2）根据已知条件，求解参数范围 【详解】（1）由，得， 方法1： 可得或， 由题，有或， 所以或． 方法2： 则， 所以，或． （2）依题意，或， 因为，所以 解得，故的取值范围为． 18．（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知全集，集合，. (1)求和； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合的交集和并集运算求解； （2）先求出集合在全集中的补集，再根据交集运算求解. 【详解】（1），， ，. （2），或， . 19．（23-24高一上·四川达州·期中）设集合，.求： (1)； (2). 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先求出，再由补集定义计算即可； （2）分别求出的补集，再由并集定义计算即可． 【详解】（1）因为集合，， 所以， 所以或； （2）因为集合，， 所以或，或， 所以或． 20．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知全集，，． (1)求集合M，N； (2)求； (3)求； (4)求． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）由集合中的描述，列举集合中的元素，解集合中的方程，列举集合中的元素； （2）由交集的定义计算； （3）由并集和补集的定义计算； （4）由补集和并集的定义计算. 【详解】（1），； （2）； （3）∵，全集， ∴； （4）∵，， ∴． 21．（23-24高一上·北京·期中）已知：设，，，求： (1) ； (2) ； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由交集的定义求解 ； （2）由补集的定义求解 ； （3）由补集和并集的定义求解. 【详解】（1），，， 则有 ； （2）； （3），. 22．（23-24高一上·湖南永州·期中）已知集合，. (1)求； (2)定义且，求. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由并集的概念即可得解. （2）由集合与元素的关系以及集合新定义即可得解. 【详解】（1）由题意集合，，所以. （2）由题意若，则，所以或. 23．（23-24高一上·湖北·期中）已知全集，集合，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）直接计算并集即可. （2）确定或，再计算交集得到答案. 【详解】（1），，；. （2），，或， 又，或. 考点4 集合新定义 24．（23-24高一上·上海·期中）集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 【答案】(1)不是“可分集合”，为“可分集合” (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由“可分集合”的定义判断； （2）不妨设，讨论当在集合中去掉元素、后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可证得结论成立； （3）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明. 【详解】（1）解：对于，去掉后，不满足题中条件，故不是“可分集合”， 对于，集合所有元素之和为. 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意. 综上所述，集合是“可分集合”. （2）证明：不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有①，或者②， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③得，矛盾，由①④得，矛盾， 由②③得矛盾，由②④得矛盾， 故当时，集合一定不是“可分集合”． （3）设中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 故的奇偶性相同， ①若为奇数，则为奇数，易得为奇数， ②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合也是“可分集合”， 若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“可分集合”，由①知为奇数 综上，集合中元素个数为奇数. 【点睛】关键点点睛：考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性. 25．（23-24高一上·江苏淮安·期中）对于集合A，B，我们把集合叫作集合A与B的差集，记为；可用图中的阴影部分来表示. (1)若，，求集合和； (2)集合，集合，若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由函数的新定义求解即可； （2）先求出集合，再由可得，即，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）由，可知：，， （2）由可得：， 由题意可知， 由可知； 所以，解得， 所以 26．（23-24高一上·河南洛阳·期中）若集合A具有①，，②若，则，且时，这两条性质，则称集合A是“好集”． (1)分别判断集合，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由． (2)设集合A是“好集”，求证：若，则． (3)对任意的一个“好集”A，判断命题“若，，则”的真假，并说明理由． 【答案】(1)有理数集Q是“好集”，集合B不是“好集”，理由见解析 (2)证明见解析 (3)命题“若，则”为真命题，理由见解析 【分析】利用“好集”的定义，结合元素与集合的关系解决即可. 【详解】（1）集合B不是“好集”，理由如下： 因为，，， 所以集合B不是“好集”． 有理数集Q是“好集”，理由如下： 因为，，对任意，，都有，且时，， 所以有理数集Q是“好集”． （2）因为集合A是“好集”，所以． 若，则，即， 所以，即，命题得证． （3）命题“若，则”为真命题，理由如下： 当x，y中有0或1时，显然有． 当x，y中不存在0，1时，由“好集”的定义得，，， 所以，所以． 所以由（2）可得，同理得， 当或时，显然有． 当或时，显然有， 所以，所以， 由（2）得，所以． 综上得时，． 27．（16-17高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质． (1)当时，试判断集合和是否具有性质？并说明理由； (2)当时，若集合具有性质， ①判断集合是否一定具有性质？并说明理由； ②求集合中元素个数的最大值． 【答案】(1)不具有性质，具有性质，理由见解析 (2)①具有性质，理由见解析 ；② 【分析】（1）当时，集合，，根据性质的定义可知其不具有性质；，令，利用性质的定义可验证； （2）当时，则， ①根据，任取，其中，可得，利用性质的定义即可验证； ②设集合有个元素，由①得，任取一个元素，则与中必有一个不超过，从而得到集合与集合中必有一个至少存在一半元素不超过，然后利用性质的定义进行分析即可求出，即，解此不等式即可得出答案. 【详解】（1）当时，集合， 不具有性质， 因为对任意不大于的正整数，都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立， 集合具有性质， 因为可取，对于该集合中任一元素， 都有； （2）当时，则， ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质， 首先因为，任取，其中， 因为，所以， 从而，即，所以， 由具有性质，可得存在不大于的正整数， 使得对中任意一对元素，都有， 对于上述正整数，从集合中任取一对元素，其中，则有， 所以集合具有性质； ②设集合有个元素，由①得，若集合具有性质，那么集合一定具有性质， 任取一个元素，则与中必有一个不超过， 所以集合与集合中必有一个至少存在一半元素不超过， 不妨设中有个元素不超过，分别记为， 由集合具有性质，得存在正整数，使得对中任意两个元素 ，都有，所以都不是中的元素， 又，故都是中的元素， 即集合中至少有个元素不在子集中， 因此，所以，解得， 当时，取， 易得集合中的任意两个元素，都有， 即集合具有性质，此时集合中有个元素， 因此集合中元素个数的最大值为． 【点睛】本题考查集合之间包含关系的判断方法，以及元素与集合之间的关系等基础知识，是新定义问题，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键，此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析. 28．（22-23高一上·北京顺义·期末）已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集. (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集； (3)若非空集合是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集. 【答案】(1)集合是封闭集，不是封闭集，理由见解析； (2)命题为假命题，命题q为真命题，理由见解析； (3)见解析. 【分析】(1)根据封闭集的定义判断即可； (2) 对命题举反例说明即可； 对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断为正确； (3)根据题意，令，只需证明不是封闭集即可，取中的即可证明. 【详解】（1）解：对于集合 因为， 所以是封闭集； 对于集合，因为，， 所以集合不是封闭集； （2）解：对命题：令， 则集合是封闭集，但不是封闭集，故错误； 对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集， 所以， 同理可得， 所以， 所以是封闭集，故正确； （3）证明：假设结论成立，设， 若，矛盾，所以，所以有， 设且，否则， 所以有，矛盾，故假设不成立，原结论成立，证毕. 29．（22-23高一上·上海普陀·期中）对于给定的整数，若非空集合满足如下条件：①；②；③对任意、，若，则，则称集合为“减集”. (1)分别判断集合是否为“减0集”或“减1集”，并说明理由； (2)证明：不存在“减2集”； (3)请写出所有的“减1集”.（无需说明理由） 【答案】(1)是 “减0集”，不是“减1集” (2)证明见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据“减集”定义结合，判断即可； （2）假设存在“减2集”，若，令，可得中的最小元素为，进而当时，可以得到，，进而可得中至少有一个属于集合，再依次检验即可得矛盾，进而证明结论. （3）假设，则集合中必然还有其他元素，当时，可以得到，，进而得到为奇数，再分中有最大元素和中无最大元素两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：根据题意，对于结合，，由于，所以，集合是 “减0集”； 对于结合，，由于，所以，集合不是 “减1集”； 所以，集合是 “减0集”，不是“减1集”. （2）证明：假设存在“减2集”，记为，则，，对任意、，若，则； 所以，令，则对任意，，都有，故， 所以，中的最小元素为， 所以，当时，由于，故， 所以，当时，由于，故， 以此类推，，， 所以，中至少有一个属于集合， 若，则，故； 若，则，故； 所以，与中至少有一个属于集合矛盾， 所以，不存在“减2集” （3）解：存在“减1集”， 因为，故假设，则集合中除了元素以外，必然还有其他元素， 所以，当时，由于，故， 当时，由于，故， 以此类推，，， 若，，故； 若为偶数，则必存在使得，与矛盾，不成立； 所以，为奇数， 由于都成立，且， 所以，且， ①若中有最大元素，设为，则为奇数， 因为，故， 所以，，即 所以，或 ②若中无最大元素，下面证明. 首先，必有， 若存在某个奇数，则只能有； 否则，若存在某个，使得，则必有，则与矛盾； 但是，这样一来，中最大元素，这与中无最大元素矛盾. 所以，， 综上，或或 【点睛】本题第二问解题的关键在于正确理解“减集”的概念，结合反证法，令，可得中的最小元素为，进而得当时，可以得到，，中至少有一个属于集合，再依次检验即可得矛盾，进而证明结论；第三问解题的关键在于利用反证法，当时，得到，，且为奇数，再分中有最大元素和中无最大元素讨论求解. 30．（22-23高一上·上海松江·期中）若集合是整数集的子集，且满足对任意的，总存在，使得，或者，则称集合具有性质. (1)若，，判断，中哪个集合具有性质； (2)已知集合具有性质且，求元素个数最少的集合； (3)已知集合，具有性质，判断和是否具有性质，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)具有性质，不具有性质，理由见解析 【分析】对于(1)和(2)，结合集合新定义即可求解；(3)结合新定义，利用进行举例，即可求解. 【详解】（1）结合集合新定义可知，不具有性质， 具有性质. （2）结合集合新定义可知， 已知，因此要么存在或者； 进一步存在或者或者或者； 进一步计算可得或者或者或者或者或者或者或者. 因此可得取是使得时，元素个数最少的集合. （3）具有性质，不具有性质. 因为对任意的，则或者， 不妨设，故总存在，使得，或者，因此具有性质. 构造，都具有性质，但是不具有性质. 故具有性质，不具有性质. 考点5 充分条件与必要条件 31．（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）已知全集，集合，且为非空集合. (1)分别求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合后可得. （2）根据条件关系可得集合的包含关系，从而可得参数的取值范围. 【详解】（1）， 又，所以， 故； （2）因为是的充分不必要条件，故是的真子集， 故，故. 32．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可. （2）根据集合并集的运算性质进行求解即可. 【详解】（1）由，所以或，故集合. 因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，实数的值为或. （2）因为“”是“” 的必要条件，所以. 对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想有，须有， 此时：，该方程组无解. 综上，实数的取值范围是. 33．（20-21高一上·山东济宁·期末）在①；②“”是“”的充分不必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答. 问题：已知集合，. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）求出后利用并集的定义可求. （2）若选择①②，则根据条件得到两个集合的包含关系，从而可求参数的取值范围；若选择③，则就是否为空集分类讨论后可求参数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，， 所以. （2）若选择①，则是的子集， 因为，所以， 又，所以解得， 所以实数的取值范围是. 若选择②“”是“”的充分不必要条件，则是真子集， 因为，所以， 又，所以（等号不同时成立）， 解得，所以实数的取值范围是． 若选择③，， 因为，， 所以或，解得或. 34．（9-10高三·江西宜春·阶段练习）已知非空集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入集合求解，利用集合间的关系可求； （2）利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围． 【详解】（1）已知集合，． 当时，，或 又， ； （2）因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集， 又，， 所以， 所以； 当时，是的真子集； 当时，也满足是的真子集， 综上所述：． 35．（23-24高一上·天津·期中）已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据集合的交并补即可得到答案； （2）根据充分不必要条件得⫋，列出不等式组，解出即可. 【详解】（1）当时，集合， 又或，则， 或；. （2）若，且“”是“”的充分不必要条件， ⫋，则 解得， 故的取值范围是. 36．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合间的基本关系及必要不充分条件的定义计算即可； （2）利用集合间的基本关系计算即可. 【详解】（1）∵是的必要不充分条件， ∴是A的真子集. ①当时，， ②当时，∴，解得. ∴实数的取值范围为. （2）由， 则①当时，， ②当时，可得或， 解得或. ∴实数的取值范围为. 37．（20-21高一下·安徽淮南·开学考试）已知全集为R，集合，． (1)求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集的定义求解． （2）利用必要不充分条件的定义列出不等式组即可求解． 【详解】（1）∵，又， ∴． （2）∵是的必要不充分条件， ∴， ∴（等号不同时成立），解得， ∴a的取值范围为． 38．（23-24高一上·四川遂宁·期中）已知集合， 从以下两个条件中任选一个，补充到第（2）问的横线处，求解下列问题． ①；②“”是“”的充分不必要条件； (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)选①②，答案均为 【分析】（1）根据并集概念求出答案； （2）若选①，根据并集结果得到，从而得到不等式组，求出实数的取值范围； 若选②，得到⫋，得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合， 所以； （2）若选择①，则， 因为恒成立，故， 又，所以，解得， 所以实数的取值范围是． 若选择②，“”是“”的充分不必要条件，则⫋， 因为恒成立，故， 又， 所以或，解得， 所以实数的取值范围是． 39．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知，或． (1)若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围； (2)若p是的必要不充分条件，求实数k的最大值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先解不等式，再把充分不必要条件转化为真子集关系，列出不等式即可求解； （2）先求的取值范围，再把必要不充分条件转化为真子集关系，列出不等式组即可求解. 【详解】（1）：，故：， 又因为是的充分不必要条件，所以或， 解得或， 故实数的取值范围为或. （2）:，又是的必要不充分条件， 因为，所以对应的集合不是空集， 所以，解得， 故实数的最大值为. 考点6 全称量词与存在量词 40．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知命题“，使得”． (1)写出命题p的否定形式； (2)若命题是一个假命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，使得 (2) 【分析】（1）根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解； （2）根据题意，转化为即不等式在上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）由命题“，使得”， 可得命题的否定为：“，使得”， （2）因为命题是一个假命题， 则命题“，使得”为真命题， 即不等式在上恒成立， 当时，不等式恒成立，满足题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数a的取值范围为． 41．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知命题p：，；命题q：， (1)若p是真命题，求实数a的取值范围； (2)若p与q有且只有一个为假命题，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）参变量分离等价变形后，转化为恒成立问题，再转化为求最值问题，即可得解； （2）分“p真q假”和“p假q真”两类进行讨论，根据题意，分别列出不等式组，即可得解. 【详解】（1）命题p：，为真， 则恒成立，等价于， 令，由基本不等式可得，， 当且仅当时，等号成立，即，所以 故实数a的取值范围为. （2）命题q为真命题：，， 故，解得或 由于p与q有且只有一个为假命题， ①p真q假：，故； ②p假q真：，故； 故实数a的取值范围为. 42．（24-25高一上·河南·期中）已知命题. (1)若命题均为真命题，求的取值范围； (2)若和中恰有一个真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据全称命题为真命题求出参数的取值范围即可； （2）由题意可得有真假和假真两种情况，分别计算参数的取值范围，并取并集可得结果. 【详解】（1）当为真命题时，，解得， 当为真命题时，， 故的取值范围为. （2）当为真命题，为假命题时，得， 当为假命题，为真命题时，得， 故的取值范围为或. 43．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； （2）由求出的取值范围，依题意可得，求出时参数的取范围，即可得解. 【详解】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． 44．（22-23高一上·广东东莞·期中）命题：，使得；命题：，函数至少与轴有一个交点. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若，有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用判别式即可求出的范围； （2）由（1）为假命题时，的范围，再分别求出为真命题和假命题时的范围，最后分类讨论即可得到答案. 【详解】（1）当为真命题时， 则，解得， ∴的取值范围为. （2）由（1）得当为假命题时，则 若命题q为真命题， 当时，函数有一个零点，则p真， 当且，则p真， ∴命题q为真时，； ∴命题q为假命题时，则或， ∵p，q有且只有一个真命题， ∴p真q假，或p假q真， 当p真q假时，且或，解得：， 当p假q真时，，解得：， 综上可知，或， 故所求实数m的取值范围是. 1．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知集合，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）解一元一次不等式求集合B，再由集合的交、并、补运算求集合. 【详解】（1）由，又， 所以. （2）由（1）知：，或， 所以. 2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知集合，. (1)求及； (2)求. 【答案】(1),. (2) 【分析】（1）利用交集并集的定义即可求解. （2）利用补集的定义即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以； . （2）因为，， . 3．（10-11高一上·陕西宝鸡·期中）设集合，，求，， . 【答案】，，或 【分析】分别利用交集，并集，补集的运算进行求解即可. 【详解】由集合，， 则  ，或 因此可得或 又或， 因此或或或. 4．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意可得方程有解，根据求解即可； （2）由题意可得，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）解：由题意可得方程有解， 所以，解得， 所以； （2）解：因为是的必要条件， 所以，又因为为非空集合， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 5．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分类讨论和两种情况，结合得到参数满足条件从而求解； （2）将转化为，分类讨论和两种情况，得到参数满足条件. 【详解】（1）①若，满足，此时，解得：； ②若，则，此时需满足， 解得. 综上，的取值范围是或. （2）若，则. ①若，满足，此时； ②若，则，此时需满足或， 解得或. 综上，的取值范围是或. 6．（23-24高一上·广东揭阳·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求与； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）当时，可得，结合集合的运算法则，准确运算，即可求解； （2）根据给定条件，转化成集合的真包含关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）当时，可得， 因为集合， 则 又由或， 则或或. （2）由“”是“”的充分不必要条件，可得， 因为，， 可得且等号不能同时取到，解得， 所以实数的取值范围为. 7．（23-24高一上·浙江·期中）已知，． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据交集和并集的概念进行求解； （2）由交集结果得到，分与，得到不等式，求出实数m的取值范围. 【详解】（1）， 故， ； （2），故， 当时，，解得， 当时，， 解得， 综上，， 所以实数m的取值范围为 8．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知集合，，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补集的运算，求得或，再结合交集的运算，即可求解； （2）根据集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】（1）解：由集合，可得或， 又由，所以 （2）解：由集合，， 因为，可得，所以实数的取值范围为. 9．（23-24高一上·四川泸州·期中）设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，然后列出关于的不等式组可求得结果； （2）分和两种情况求解即可. 【详解】（1）因为是的充分条件，所以， 因为，， 所以，解得 故实数a的取值范围为 （2）①当时，满足，所以，解的； ②当时，因为，，且， 所以，解得， 综上所述：实数a的取值范围 10．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由交集定义计算； （2）由包含关系得不等式求解． 【详解】（1）因为，所以，所以； （2）， 若，则，所以的取值范围为. 11．（23-24高一上·江西南昌·期中）设集合 . (1)若，试求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）将代入可得，再根据补集及交集运算即可求得结果； （2）依题意可知，通过限定集合端点处的取值解不等式即可求得. 【详解】（1）根据题意由可得， 所以或， 因此或； （2）由是的充分条件可得， 即，解得， 所以实数的取值范围是. 12．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若集合，集合. (1)若，求； (2)当时，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合并集的定义进行求解即可； （2）根据集合交集的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 因此； （2）因为，所以， 因此有， 所以实数m的取值范围为. 13．（23-24高一上·广东江门·期中）已知全集，集合. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用并集的概念计算即可; （2）利用交集和补集的概念计算即可. 【详解】（1）已知集合， 所以. （2）由已知得，又全集， 所以. 14．（21-22高一上·湖南株洲·期中）已知集合，集合. (1)当时，求 (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的并运算即可求解， （2）根据集合间的关系，分类讨论为空集和非空集两种情况即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）当时，，解得. 当时，或 解得， 综上，或. 所以的取值范围是或. 15．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，或，全集. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，可得，解之即可； （2）由，可得，列出不等式组，解之即可. 【详解】（1）因为， 所以，解得， 所以a的取值范围是； （2），因为，所以， 所以，解得， 所以b的取值范围是． 16．（23-24高一上·广东湛江·期中）已知集合，. (1)在①，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答. 问题：当集合A，B满足________时，求的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)选①②③，答案均为； (2) 【分析】（1）选①，根据，得到，分和两种情况，得到不等式，求出不等式解集；选②，根据并集结果得到，分和两种情况，得到不等式，求出不等式解集；选③，根据交集结果得到，分和两种情况，得到不等式，求出不等式解集； （2）根据得到和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）若选①，，则， 当时，，解得， 当时， ，解得， 故的取值范围是； 若选②，，则， 当时，，解得， 当时， ，解得， 故的取值范围是； 若选③，，则， 当时，，解得， 当时， ，解得， 故的取值范围是； （2）， 若，则，解得， 若，则或， 解得 综上， 17．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若命题为真命题，求实数的值． 【答案】(1)4 (2)0 【分析】（1）由得是方程的根，代入方程可求答案； （2）根据两个方程有公共解可求实数的值． 【详解】（1）因为，所以，解得； （2）因为命题为真命题， 所以方程组有公共解，解得， 当时，经检验知，符合题意. 18．（12-13高二·福建福州·阶段练习）求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】由题意得，代入方程，因式分解可得方程有一个根为1，可证充分性；把代入方程，可得，可证必要性. 【详解】证明：充分性：因为，所以， 代入方程，得， 即． 所以方程有一个根为1． 必要性：因为方程有一个根为1， 所以满足方程， 所以，即． 故关于的方程有一个根为1的充要条件是． 19．（20-21高一上·天津南开·期中）已知集合，集合，若，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】由，则，分和 时，①，②，进行分类讨论并验证即可； 【详解】由， 又，则， 当时，则方程无实根， 即，解得， 当时，①时，则是方程的一个实根， 即，解得， 此时 ，此时，故符合题意； ②时，则是方程的一个实根， 即，解得， 此时，此时，故符合题意； 综上. 20．（15-16高一上·江苏宿迁·阶段练习）设，，且. (1)求的值及集合，； (2)设全集，求； (3)写出的所有子集. 【答案】(1)；， (2) (3)，，，,． 【分析】（1）由与的交集中元素为2，将代入中的方程求出的值，即可确定出与； （2）根据与求出两集合的并集与交集，找出交集的补集，即为所求； （3）找出所求集合的所有子集即可． 【详解】（1）根据题意得：，， 将代入中的方程得：，即， 则，； （2）全集，， ； （3）的所有子集为，，，． 21．（23-24高一上·天津·期中）已知集合，. (1)当时，求，； (2)求能使成立的的取值范围. 【答案】(1)，. (2)或. 【分析】（1）利用交集、并集运算求解即可； （2）由得，分类讨论列不等式组求解即可. 【详解】（1）当时，，又， 所以，. （2）因为，所以， 又集合，， 当时，，即，这时. 当时，有，解得. 综上，实数a的取值范围为或. 22．（24-25高一上·广西·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合交集、和补集的定义进行求解即可； （2）根据集合并集的运算性质，结合子集的性质进行求解即可. 【详解】（1）当时，，所以. 所以. （2）因为，所以. 所以，解得， 所以m的取值范围是. 23．（23-24高一上·天津南开·期中）已知全集为，集合，，． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）当时，可确定集合，利用集合的运算求解； （2）由条件先确定集合、的关系，再结合两集合的关系，分和两种情况讨论求解. 【详解】（1）当时，集合，或. 所以：，. （2）∵，∴. 若，则，此时成立； 若，则. 综上：或. 所以的取值范围为：. 24．（23-24高一上·北京东城·期中）设全集为R，集合，. (1)若a=3，求，； (2)若，求a的集合. 【答案】(1)， (2). 【详解】（1）因为全集为R，，所以或. 当时，集合. 所以，或； （2）若，则所以. 所以的集合为. 25．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解指数不等式，一元二次不等式化简集合，然后由交集定义计算； （2）根据充分不必要条件的定义得不等式组求解； 【详解】（1） 因，则. 当时，，所以. （2）因“”是“”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集. 所以，经检验“=”满足. 所以实数m的取值范围是. 26．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）设全集，集合，. (1)若集合恰有一个元素，求实数的值； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据题意可得，计算即可. （2）根据，分别计算出，然后得到集合，最后根据补集、交集进行运算即可. 【详解】（1）集合A恰有一个元素，，解得：； （2）， ； 又， ； 即， 27．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）设全集，集合，集合 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由交集、并集运算即可求解； （2）由，列出不等式求解即可. 【详解】（1）当时，， ， . （2）因为，所以， 又 ，， 即 ， 解得， 故实数的取值范围为. 28．（23-24高一下·浙江·期中）设非空数集M，对于任意，如果满足：①属于M  ②属于M.③属于M  ④（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. (1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； (2)若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：； (3)设，证明A是数域. 【答案】(1)自然数集不是数环；整数集是数环，不是数域；有理数集、实数集、复数集是数环也是数域； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题意，由数环与数域的定义判断即可； （2）根据题意，由数域的定义即可证明； （3）根据题意，设，，，然后分别验证①②③④，即可证明. 【详解】（1）自然数集N不是数环，例如； 整数集Z是数环，不是数域，例如； 有理数集Q、实数集R、复数集C是数环也是数域. （2）若，则，即； 若，，则，即 （3）设，则，，， 则， 因为，所以，， 所以，满足条件①. ，因为， 所以，，所以，满足条件②. ，因为， 所以，，所以，满足条件③. ， 因为，，所以，， 所以，满足条件④. 综上所述，A是数域. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了集合新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于理解数环与数域的定义，并且应用. 29．（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知集合，若对任意的整数和中至少有一个是集合的元素，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，并说明理由. (2)若集合具有性质，证明：，且. (3)当时，若集合具有性质，且，求集合. 【答案】(1)集合具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）集合具有性质的定义判断即可. （2）令，利用集合具有性质，进而可得是集合的元素，进而可得结论. （3）由（2）可得，进而可得，利用定义计算可求得集合. 【详解】（1）因为都是集合的元素， 且时，也是集合A的元素， 所以集合具有性质. （2）令 因为集合具有性质，所以和中至少有一个是集合的元素. 因为，所以，所以不是集合的元素， 所以是集合的元素，即0是集合的元素. 因为. 因为，所以， 所以，显然有，得证. （3）由（2）可知，则， 即， 所以，所以. 因为，所以，且， 则或. 当时，， 故集合； 当时，， 故集合，此时，不符合题意. 综上，集合. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$