3.1圆的对称性 学历案2024-2025学年青岛版数学九年级上册

《3.1圆的对称性》学历案 班级：九年级 班 姓名： 学号： 自评： 【课程名称】圆的对称性 【学习内容目标】 （1）能说出圆的对称性，包括轴对称性和中心对称性，并且可以准确描述相关的对称轴和对称中心。（就像你能说出自己家房子的特点一样清楚哦） （2）能理解并运用垂径定理及其推论，比如在给定一个圆和一条弦的情况下，能根据垂径定理求出弦长、半径或者圆心到弦的距离等。（这就好比你知道怎么用钥匙开对应的锁一样） （3）可以识别同圆或等圆中的弧、弦、圆心角之间的关系，并且能够根据其中一个量的变化求出其他量的变化。（就像你能根据小伙伴的身高变化猜出他的鞋子尺码变化一样） 【思维发展目标】 通过对圆的对称性的学习，培养同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。当看到圆的相关图形时，能够在脑海里想象出各种对称关系和元素之间的联系，就像玩拼图游戏一样，能把各个部分的关系想清楚。而且在推导定理和解决问题的过程中，学会有条理地思考和论证，像小侦探破案一样严谨。 【评价任务】 1、 完成任务一（圆的对称性初体验），通过小组讨论和展示来评价同学们对圆的对称性基本概念的理解。 2、 完成任务二（垂径定理大闯关），通过做练习题来检测同学们对垂径定理及其推论的掌握程度。 3、 完成任务三（弧弦圆心角的关系探秘），以小组合作探究并汇报的形式，评价同学们对弧、弦、圆心角关系的认识。 【学习过程】 任务一：圆的对称性初体验 同学们，咱们先来讲个小故事。有一天，我去公园里玩，看到一个圆形的大花坛。我站在花坛的一边看，发现从这边到那边，不管怎么看，花坛好像都是一样的。这时候我就想到了咱们今天要学的圆的对称性。 1、 小组讨论 （1）大家想想，日常生活中还有哪些东西是圆形的呢？像盘子、车轮、硬币等等，这些圆形的东西看起来是不是从各个角度看都差不多呢？这就是圆的一种对称性。 （2）那咱们来讨论一下，圆的这种对称性和咱们以前学过的三角形、四边形的对称性有什么不一样呢？小组里每个同学都说说自己的想法哦。 2、 小组展示 每个小组派一个代表来给大家说说你们小组讨论的结果。比如说，有的小组可能会说圆的对称性是不管怎么转，看起来都一样，而三角形只有在特定的旋转角度下才和原来一样。其他小组可以补充或者提出不同的意见。 3、 老师总结 好啦，同学们说得都很不错。圆是轴对称图形，它的对称轴是任意一条经过圆心的直线，圆有无数条对称轴哦。同时，圆也是中心对称图形，它的对称中心就是圆心。这就好比这个圆形花坛，不管你沿着哪条经过圆心（花坛中心）的线对折，或者把它绕着圆心（花坛中心）旋转，它看起来都是一样的。 任务二：垂径定理大闯关 咱们继续说那个花坛的事儿。园丁师傅要在花坛中间拉一根绳子，把花坛分成两半来种不同的花。这根绳子就像圆里的一条弦。 1、 概念引入 （1）我们先来看看垂径定理的内容。如果有一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。就像园丁师傅拉的绳子如果垂直于花坛的一条直径，那么这根绳子就被这条直径平分啦，而且绳子两边对应的弧也被平分了。 （2）那垂径定理的推论呢？如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。这就好比如果我们知道一根绳子的垂直平分线，那这个垂直平分线肯定是经过花坛中心（圆心）的，而且也会把绳子两边对应的弧平分。 2、 基础练习 （1）给大家出几道简单的题目练练手。比如说，已知一个圆的半径是5厘米，有一条弦长是8厘米，这条弦的垂直平分线经过圆心，求圆心到这条弦的距离。（同学们可以在本子上画个图，这样会更清楚哦） （2）再出一道题，一个圆里有一条弦，弦长6厘米，圆心到弦的距离是4厘米，求这个圆的半径。 3、 小组竞赛 现在咱们来个小组竞赛。我出几道垂径定理相关的题目，每个小组轮流回答，答对的小组加分。 （1）有一个圆的直径是10厘米，一条弦长8厘米，这条弦所对的劣弧的中点到弦的距离是多少？ （2）在半径为6厘米的圆中，有一条弦的垂直平分线与弦相交于一点，这个点把弦分成3厘米和5厘米两部分，求圆心到这条弦的垂直平分线的距离。 任务三：弧弦圆心角的关系探秘 回到我们的花坛，我们把花坛想象成一个大的时钟盘面，圆心就是时钟的中心。从圆心到花坛边缘的不同线段就像圆的半径，这些半径和弧、弦之间有着很有趣的关系。 1、 探究活动 （1）同学们，我们先在纸上画一个圆，然后在圆里画几条弦和弧，再画出对应的圆心角。然后我们来观察一下，当圆心角变大或者变小的时候，弦和弧的长度会发生什么变化呢？大家可以小组合作，量一量、比一比。 （2）在同圆或者等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。这就像时钟的指针转了相同的角度，对应的弧线和连接指针的线段长度也有相应的关系。那如果弧相等呢？同学们猜猜弦和圆心角会有什么关系呢？同样，如果弦相等，弧和圆心角又会有什么关系呢？大家可以通过画图、测量来验证自己的想法。 2、 小组合作 每个小组根据刚才的探究活动，总结出弧、弦、圆心角之间的关系，并且写在一张纸上。然后每个小组派一个代表来给大家讲解你们小组的结论，其他小组可以提问或者补充。 3、 实例应用 （1）给大家一个实际的例子。在一个半径为8厘米的圆中，有一个圆心角是60度，那么它所对的弦长是多少呢？同学们可以根据我们刚才探究出来的关系来计算。 （2）再出一道题，有两个等圆，其中一个圆里有一条弦长10厘米，对应的圆心角是120度，在另一个圆里有一个圆心角是60度，求这个圆心角所对的弦长。 任务四：检测与作业 1、 课堂检测 （1）有一个圆的半径是10厘米，有一条弦长12厘米，求这条弦所对的圆心角的度数。 （2）在一个圆中，弦AB的长为8厘米，圆心到弦AB的距离为3厘米，求圆的半径和弦AB所对的劣弧的长度。（这里需要用到我们前面学的垂径定理和弧长公式哦） （3）已知两个等圆相交于A、B两点，过A点的直线分别交两圆于C、D两点，求证：弦BC ＝ 弦BD。（这就需要用到我们学的弧、弦、圆心角的关系啦） 2、 课后作业 （1）有一个圆形的蛋糕，要把它平均分给8个人，你可以用我们今天学的圆的知识来设计一下切割方案吗？（这个作业可以让同学们发挥自己的创意，同时也能巩固圆的对称性知识） （2）在一个半径为12厘米的圆中，有一条弦长16厘米，求这条弦的垂直平分线与圆相交的两点之间的距离。 （3）选做题（对于学有余力的同学）：有三个等圆，它们两两相交，每个圆都经过另外两个圆的圆心，求这三个圆相交部分的面积。 【学后反思】 同学们，学完这节课，咱们来反思一下。你在这节课里学到了哪些关于圆的对称性的知识呢？在学习过程中，你觉得哪个部分最难理解？是垂径定理还是弧弦圆心角的关系呢？你有没有什么好的学习方法可以和大家分享呢？另外，你觉得我们今天用的那些生活中的例子，像花坛、蛋糕之类的，对你理解圆的知识有帮助吗？如果让你自己想一些例子来解释圆的对称性，你会想到什么呢？通过这次的学习，你以后再看到圆形的东西，会不会有不一样的想法呢？希望大家都能认真思考这些问题，这样我们就能更好地掌握知识啦。 学科网（北京）股份有限公司 $$