第二十三章 旋转 全章教案 2024-2025学年人教版 数学九年级上册

第二十三章　旋　转 本章的内容包括：图形的旋转的概念与性质，中心对称(图形)的概念及性质，简单的图案设计．教材通过具体事例认识平面图形的旋转，探索旋转的基本性质；能够按要求画出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；通过具体实例认识中心对称图形的概念，探索它们的基本性质；探索图形之间的变化关系，会用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计．本章内容是中考的必考内容，主要考查图形的旋转的性质，中心对称(图形)的概念及性质． 【本章重点】 平面图形的旋转变换和中心对称图形的性质． 【本章难点】 旋转作图、中心对称、旋转等图形变换的灵活运用． 【本章思想方法】 1．体会对比数学思想．如：本章中要运用对比法学习图形的旋转，将变化前后的图形互相对比，可以发现旋转前后的图形只存在位置上的不同，从而，由旋转的定义及特征，进一步发展空间观念，提升设计图案能力． 2．体会和掌握转化思想．如：在利用旋转的性质进行计算和证明时，利用转化法把求线段的相等转化为关于旋转的性质的问题． 3．掌握数形结合思想．如：在解旋转知识与平面直角坐标系等知识的综合题时，利用几何图形将“数”与“形”结合起来，运用数形结合的思想解答． 23.1　图形的旋转 1课时 23.2　中心对称 3课时 23.3　课题学习 图案设计 1课时 23.1　图形的旋转 一、基本目标 【知识与技能】 1．了解旋转及其旋转中心、旋转角、对应点的概念及应用它们解决一些实际问题． 2．通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质． 3．了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制旋转后的几何图形． 【过程与方法】 通过具体实例认识平面图形的旋转，通过提问、小组交流等方式探讨旋转的基本性质． 【情感态度与价值观】 1．通过具体实例认识平面图形的旋转，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣． 2．了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养． 二、重难点目标 【教学重点】 旋转及对应点的有关概念及其应用． 【教学难点】 旋转的基本性质． 环节1　自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P59～P62的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．观察教材P59“思考”，回答问题． (1)教材上面的情景中的转动现象，有什么共同的特征？ 解：指针、风车叶片分别绕中间点旋转． (2)钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？ 解：形状、大小不变，位置发生变化． (3)从3时到5时，时针转动了__60__°. (4)风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了__60__°。 2．把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的__旋转__，点O叫做__旋转中心__，转动的角叫做__旋转角__.如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的__对应点__. 3．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离__相等__；对应点与旋转中心所连线段的夹角__等于__旋转角；旋转前、后的图形__全等__. 4．如图，△OAB绕点O按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中，旋转中心是__点O__，经过旋转，点A转到__点E__，点B转到__点F__，线段OA、OB、AB分别转到__OE、OF、EF__，∠A的对应角是__∠E__，∠B的对应角是__∠F__，∠AOB的对应角是__∠EOF__. 环节2　合作探究，解决问题 【活动1】　小组讨论(师生互学) 【例1】如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE＝，△ABF是△ADE的旋转图形． (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)AF的长度是多少？ (4)如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？ 【互动探索】(引发学生思考)已知旋转前后的两个图形，确定旋转中心、旋转角度的关键是什么？旋转的性质有哪些？ 【解答】(1)旋转中心是A点． (2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的， ∴点B与点D是对应点， ∴∠DAB＝90°就是旋转角． (3)∵AD＝1，DE＝， ∴AE＝＝. ∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点， ∴AF＝AE＝. (4)∵∠EAF＝90°(与旋转角相等)且AF＝AE， ∴△EAF是等腰直角三角形． 【互动总结】(学生总结，老师点评)旋转中心是“定点”，只有一个；旋转角有多个，对应点(比如点F和点E)与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；旋转不改变图形的大小和形状． 【例2】如图，△ABC绕点C旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B的对应点的位置，以及旋转后的三角形． 【互动探索】(引发学生思考)旋转作图要满足的三要素是？ 【解答】(1)连结CD； (2)以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE＝∠ACD； (3)在射线CE上截取CB′＝CB，则B′即为所求的B的对应点； (4)连结DB′，则△DB′C就是△ABC绕点C旋转后的图形． 【互动总结】(学生总结，老师点评)旋转作图时，首先必须确定旋转中心、旋转方向和旋转角，并根据对应点到旋转中心的距离相等找到对应点． 【活动2】　巩固练习(学生独学) 1．将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是(　B　) 　　　　　　 　　　　　　　　　A　　　　　　B　　　　　C　　　　　　　D 2．如图，△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数是(　C　) A．35°　 B．45° C．55°　 D．65° 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△EDC是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时B、C、E在同一直线上． (1)求旋转角的大小； (2)若AB＝10，AC＝8，求BE的长． 解：(1)∵△EDC是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时点B、C、E在同一直线上，∴∠ACE＝90°，即旋转角为90°.　(2)在Rt△ABC中，∵AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6.∵△ABC绕着点C旋转得到△EDC，∴CE＝CA＝8，∴BE＝BC＋CE＝6＋8＝14. 【活动3】　拓展延伸(学生对学) 【例3】如图，D是等边△ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连结CD、BE. (1)求证：∠AEB＝∠ADC； (2)连结DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数． 【互动探索】(引发学生思考)(1)证明角相等，可以转换为证明三角形全等；(2)要求∠BED的度数，由∠DAE＝60°，AE＝AD知△EAD为等边三角形，即∠AED＝60°，继而由∠AEB＝∠ADC＝105°可得． 【解答】(1)∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC. ∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE， ∴∠DAE＝60°，AE＝AD， ∴∠BAD＋∠EAB＝∠BAD＋∠DAC， ∴∠EAB＝∠DAC. 在△EAB和△DAC中， ∵ ∴△EAB≌△DAC，∴∠AEB＝∠ADC. (2)∵∠DAE＝60°，AE＝AD， ∴△EAD为等边三角形，∴∠AED＝60°. 又∵∠AEB＝∠ADC＝105°， ∴∠BED＝∠AEB－∠AED＝45°. 【互动总结】(学生总结，老师点评)要证明角相等和求解角的度数，利用等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性质，即可得解，熟练掌握旋转的性质证得三角形全等是解题的关键． 环节3　课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 请完成本课时对应练习！ 23.2　中心对称 23.2.1　中心对称(第1课时) 一、基本目标 【知识与技能】 1．了解中心对称、对称中心的概念． 2．掌握中心对称图形的性质． 3．能根据中心对称的性质，作出一个图形关于某点成中心对称的对称图形． 【过程与方法】 通过研究旋转及其性质，转化到一类特殊的旋转——中心对称及其性质． 【情感态度与价值观】 通过对旋转及其性质的了解，体会“中心对称”的基本思想，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养． 二、重难点目标 【教学重点】 中心对称的概念及性质． 【教学难点】 中心对称性质的推导及理解． 环节1　自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P64～P66的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．把一个图形绕着某一个点旋转__180°__，如果它能够与另一个图形 __重合__，那么就说这两个图形关于这个点__对称或中心对称__，这个点叫做__对称中心__. 2．两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的__对称点__. 3．对称中心的性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过__对称中心__，而且被对称中心所__平分__.(2)关于中心对称的两个图形是__全等__图形． 4．如图，四边形ABCD绕点D旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答． (1)这两个图形是中心对称图形吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由； (2)如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心对称的对称点是哪些点． 解：如图，(1)根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是点D.　(2)点A、B、C、D关于中心D的对称点分别是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合． 环节2　合作探究，解决问题 【活动1】　小组讨论(师生对学) 【例1】如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABC成中心对称的三角形． 【互动探索】(引发学生思考)作出某个图形关于某个点成中心对称图形的关键是什么？按照怎样的步骤作图？ 【解答】(1)延长AD，且使AD＝DA′.因为点C关于点D的中心对称点是B(C′)，点B关于中心点D的对称点为C(B′)； (2)连结A′B′、A′C′. 则△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示． 【互动总结】(学生总结，老师点评)作一个图形关于某点的中心对称图形，关键是正确作出特殊点(关键点)的对称点． 【活动2】　巩固练习(学生独学) 1．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有(　C　) A．1组　 B．2组　 C．3组　 D．4组 2．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是(　A　) A．O1　 B．O2　 C．O3　 D．O4 3．已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是(　D　) A．AO＝BO B．BO＝EO C．点A关于点O的对称点是点D D．点D 在BO的延长线上 4．如图，△ABC和△DEF是成中心对称的两个三角形，请找出它的对称中心． 解：如图所示，点O即为所求作的对称中心． 【活动3】　拓展延伸(学生对学) 【例2】如图，D是△ABC边BC的中点，连结AD并延长到点E，使DE＝AD，连结BE. (1)哪两个图形成中心对称？ (2)已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积； (3)已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 【互动探索】(引发学生思考)(1)两个图形成中心对称，满足什么样的条件？(2)成中心对称的两个图形有什么性质？(3)要求线段的取值范围，一般是根据三角形三边关系解题． 【解答】(1)图中△ADC和△EDB成中心对称． (2)∵△ADC和△EDB成中心对称，△ADC的面积为4，∴△EDB的面积也为4. ∵D为BC的中点，∴△ABD的面积也为4， ∴△ABE的面积为8. (3)连结CE.在△ABD和△ECD中， ∵ ∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB＝CE. ∵△ACE中，AB－AC＜AE＜AC＋AB， ∴2＜AE＜8， ∵AD＝DE，∴1＜AD＜4. 【互动总结】(1)直接利用中心对称的定义写出答案即可；(2)根据成中心对称的两个图形全等确定△BDE的面积，根据等底同高确定△ABD的面积，从而确定△ABE的面积；(3)可证△ABD≌△ECD，可得AB＝CE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题． 环节3　课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 请完成本课时对应练习！ 23.2.2　中心对称图形(第2课时) 一、基本目标 【知识与技能】 1．掌握中心对称图形的定义． 2．能准确判断某图形是否为中心对称图形． 【过程与方法】 通过研究旋转及其性质，转化到中心对称图形的判断及其性质． 【情感态度与价值观】 通过对中心对称图形的了解，能够判断某个图形是否为中心对称图形，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养． 二、重难点目标 【教学重点】 中心对称图形的判断． 【教学难点】 两个图形成中心对称和中心对称图形的关系，以及中心对称图形的判定． 环节1　自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P66～P67的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．把一个图形绕着某一个点旋转__180°__ ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做__中心对称图形__，这个点就是它的对称中心．中心对称图形具有匀称、美观、平稳的特点． 2．将下面左图的四张扑克牌中的一张旋转180°后得到右图，你知道旋转了哪一张扑克吗？议一议． 略 环节2　合作探究，解决问题 【活动1】　小组讨论(师生互学) 【例1】下列图形中是中心对称图形的是(　　) 【互动探索】(引发学生思考)中心对称图形的特点是什么？ 【分析】A.是中心对称图形，此选项正确；B.不是中心对称图形，此选项错误；C.是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项错误；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项错误． 【答案】A 【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个图形是不是中心对称图形，就是看是否存在一个点，把图形绕着它旋转180°后能与原图形完全重合． 【活动2】　巩固练习(学生独学) 1．下列图形中，不是中心对称图形的是(　B　) 2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　C　) A．等腰三角形　 B．平行四边形 C．矩形　 D．等腰梯形 3．顺次连结正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图所示的图形，该图形(　B　) A．既是轴对称图形也是中心对称图形 B．是轴对称图形但不是中心对称图形 C．是中心对称图形但不是轴对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 4．如图，下列汉字或字母中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有(　B　) A．1个　 B．2个　 C．3个　 D．4个 【活动3】　拓展延伸(学生对学) 【例2】知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分． (1)如图1，直线l经过▱ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB__________S四边形DEFC(填“＞”“＜”或“＝”)； (2)如图2，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分； (3)八个大小相同的正方形如图3所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分(用三种方法分分割)． 【互动探索】(引发学生思考)(1)要判断两个四边形面积的大小，根据知识背景即可求解；(2)先找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可；(3)先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可． 【解答】(1)＝　(2)如图4所示．　(3)如图5所示． 【互动总结】(1)直接根据知识背景即可求解；(2)先找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可；(3)先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可． 环节3　课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 中心对称图形 请完成本课时对应练习！ 23.2.3　关于原点对称的点的坐标(第3课时) 一、基本目标 【知识与技能】 1．理解点P与点P′关于原点对称时它们的横、纵坐标的关系． 2．掌握点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)的运用． 【过程与方法】 通过研究两个点关于原点对称时它们的横、纵坐标的关系，掌握其坐标变化的规律． 【情感态度与价值观】 通过对关于原点对称的点的坐标的探索，掌握点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)的运用，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养． 二、重难点目标 【教学重点】 关于原点对称的点的坐标的关系． 【教学难点】 关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题． 环节1　自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P68～P69的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 关于原点对称的两个点： (1)它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？ (2)坐标与坐标之间的符号又有什么特点？ 解：(1)横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等． (2)坐标符号相反，即P(x，y)关于原点O的对称点P′(－x，－y)．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点为P′(－x，－y)． 2．点P(－4，－3)关于原点对称的点的坐标是(　A　) A．(4,3)　 B．(－4,3) C．(－4，－3)　 D．(4，－3) 环节2　合作探究，解决问题 【活动1】　小组讨论(师生对学) 【例1】如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1并写出A1、B1、C1的坐标． 【互动探索】(引发学生思考)找关于原点对称的点，本质上是对称中心为原点的中心对称作图，故也可以采用中心对称作图的方法确定对称点． 【解答】如图所示： 根据图形可知：A1(2，－2)、B1(3,0)、C1(1,1)． 【互动总结】(学生总结，老师点评)在直角坐标系中，关于原点对称的两个点的坐标特点是：横坐标、纵坐标都互为相反数，根据点的坐标就可确定原图形的顶点的对应点，进而即可作出所求图形． 【活动2】　巩固练习(学生独学) 1．点P(3,2)关于原点对称的点在(　C　) A．第一象限　 B．第二象限 C．第三象限　 D．第四象限 2．已知点P(a＋1,2a－3)关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是(　B　) A．a＜－1　 B．－1＜a＜ C．－＜a＜1　 D．a＞ 3．若点A(a－1，－4)与点B(－3,1－b)关于原点对称，则(a＋b)2018的值为__1__. 4．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,1)、B(4,2)、C(3,4)． (1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1； (2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2； (3)在x轴上求作一点P，使△PAB周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标． 解：(1)点A、B、C向左平移5个单位后的坐标分别为(－4,1)，(－1,2)，(－2,4)，连结这三个点，得△A1B1C1，如图所示． (2)如图，点A、B、C关于原点的对称点的坐标分别为(－1，－1)，(－4，－2)，(－3，－4)，连结这三个点，得△A2B2C2. (3)如图，P(2,0)．作点A关于x轴的对称点A′，连结A′B交x轴于点P，则点P即为所求作的点． 【活动3】　拓展延伸(学生对学) 【例2】如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下： (1)分别写出点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标； (2)从中你发现了什么特征？请你用文字语言表达出来； (3)根据你发现的特征，解答下列问题：若△ABC内有一个点M(2a＋5,1－3b)经过变换后，在△PRQ内的坐标称为N(－3－a，－b＋3)，求关于x的方程－的解． 【互动探索】(引发学生思考)(1)要求点的坐标，结合直角坐标系可得出各点的坐标；(2)根据(1)的坐标特征可得△ABC与△PQR关于原点对称；(3)要求解题中的这个一元一次方程，先根据关于原点对称的点的坐标，横坐标、纵坐标互为相反数可得出a、b的值，代入解方程即可得出答案． 【解答】(1)点A的坐标为(4,3)，点P的坐标为(－4，－3)；点B的坐标为(3,1)，点Q的坐标为(－3，－1)；点C的坐标为(1,2)，点R的坐标为(－1，－2)． (2)△ABC与△PQR关于原点对称． (3)由题意，得2a＋5＝3＋a,1－3b＝b－3. 解得a＝－2，b＝1. 则方程可化为－＝1，解得x＝. 【互动总结】(学生总结，老师点评)关于原点对称的点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 环节3　课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点P′(－x，－y)，及利用这些特点解决一些实际问题． 请完成本课时对应练习！ 23.3　课题学习　图案设计 一、基本目标 【知识与技能】 1．认识和欣赏平移、旋转和轴对称在现实生活中的应用． 2. 利用图形的平移、旋转和轴对称变换设计组合图案． 【过程与方法】 再次认识平移、旋转和轴对称变换，并利用图形的平移、旋转和轴对称变换设计组合图案． 【情感态度与价值观】 通过对生活中的典型图案进行观察、分析、欣赏等过程，进一步发展空间观念，增强审美意识． 二、重难点目标 【教学重点】 设计图案． 【教学难点】 如何利用平移、旋转、轴对称等图形变换中的一种或它们的组合得出图案． 环节1　自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P72～P74的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．我们学过的图形变换方式有__平移__、__旋转__ 、__轴对称__. 2．下列图形之间的变换分别属于什么变换？ __平移__ 　　__轴对称__ __旋转__ 　　__旋转__ 环节2　合作探究，解决问题 【活动1】　小组讨论(师生对学) 【例1】下列基本图形中，经过平移、旋转或翻折后，不能得到上图的是(　　)　　　　　　 【互动探索】(引发学生思考)要判断选项中的哪个图形不能经过平移、旋转或翻折后得到上面的图形，联想平移、旋转、轴对称的性质及图形特征，细心分析． 【分析】A.把平移得到，然后把旋转可得到上图；B.把旋转可得到上图；C.把经过平移、旋转或翻折后，都不能得到上图；D.把翻折后可得到上图．故选C. 【答案】C 【互动总结】(学生总结，老师点评)复杂图案的分析，先从整个图案着手，分析图案的组成有几种“基本图案”，再从细处思考每种“基本图案”是怎样进行变换的． 【例2】如图是一个等腰直角三角形经过若干次旋转而成的，则每次旋转的角度最小是________. 【互动探索】(引发学生思考)观察图形，圆周角被分成8个相等的角，每旋转一个角度都能与原来的图形重合，然后计算即可得解． 【答案】45° 【互动总结】(学生总结，老师点评)旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 【活动2】　巩固练习(学生独学) 1．如图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的，它也可以看作是以一个图案为“基本图案”，通过旋转得到的．以下图案中，不能作为“基本图案”的一个是(　B　) 2．如图所示的图案，能由一个“基本图案”旋转得到的图案有(　D　) 　　　　　 　　　　 A．1个　　 B．2个　　 C．3个　　 D．4个 3．下列这些美丽的图案都是在“几何画板”软件中利用旋转的知识在一个图案的基础上加工而成的，每一个图案都可以看作是它的“基本图案”绕着它的旋转中心旋转得来的，旋转的角度为(　C　) A．30°　　 B．60°　　 C．90°　　 D．120° 4．山西民间建筑的门窗图案中，隐含着丰富的数学艺术之美．图1是其中一个代表，该窗格图案是以图2为基本图案经过图形变换得到的，图3是图2放大后的一部分，虚线给出了作图提示，请用圆规和直尺画图． 　　　 (1)根据图2将图3补充完整； (2)在图4的正方形中，用圆弧和线段设计一个美观的轴对称或中心对称图形． 略 【活动3】　拓展延伸(学生对学) 【例3】阅读理解，并解答问题： 如图所示的8×8网格都是由边长为1的小正方形组成，图1中的图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国数学史上的骄傲． 问题： 请用“赵爽弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变化，在图2，图3的方格纸中设计另外两个不同的图案，每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠．画图要求： (1)图2中所设计的图案(不含方格纸)必须是轴对称图形但不是中心对称图形； (2)图3中所设计的图案(不含方格纸)必须既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【互动探索】(引发学生思考)(1)要使设计的图案必须是轴对称图形但不是中心对称图形，所以每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠；(2)所设计的图案(不含方格纸)必须是中心对称图形和轴对称图形，然后画出图． 【解答】(1)如图4所示． (2)如图5所示． 【互动总结】(学生总结，老师点评)由一个基本图案可以通过平移、旋转或轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素(①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度)设计图案，通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 环节3　课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 请完成本课时对应练习！ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$