精品解析：湖北省宜昌市第一中学、荆州中学2024-2025学年高二上学期十月联考数学试卷

2024年秋“宜昌一中､荆州中学”高二十月联考 数学试题 命题学校：荆州中学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 复数、满足，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，结合已知条件由复数的加法、乘法运算、复数相等，及复数的模即可求解. 【详解】设，已知， 则，且， 所以， ， 所以，所以， 所以，所以. 故选：. 2. 某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（ ） A. 成绩在上的人数最少 B. 成绩不低于80分的学生所占比例为 C. 50名学生成绩的极差为50 D. 50名学生成绩的平均分小于中位数 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求出的频率，再结合各组频率及统计的相关概念逐项判断. 【详解】设这一组的频率为，则由各组频率之和为1， 得，解得， 各组频率依次为：， 对于A，这一组频率最小，即成绩在上的人数最少，A正确； 对于B，成绩不低于80分的学生频率为，成绩不低于80分的学生所占比例为，B正确； 对于C，极差为数据中最大值与最小值的差，而50名学生的成绩都在区间内， 但成绩的最大值不一定是100，最小值也不一定是，则极差小于等于，但不一定等于50，C错误； 对于D，根据频率分布直方图，得50名学生成绩的平均数是 ，而50名学生成绩的中位数为80， 因此50名学生成绩的平均分小于中位数，D正确. 故选：C 3. 已知平面向量和满足在上的投影向量为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在上的投影向量可求得，再利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量和满足，由在上的投影向量为， 得，所以在上的投影向量为. 故选：D 4. 设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系（ ） A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与圆相切计算与圆心距离即可得答案. 【详解】因与圆相切，则. 则到圆心的距离为，则在圆外. 故选：B 5. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将直线与直线垂直转化为斜率相乘为-1求出的值，再根据二倍角公式将用表示，即可得到答案. 【详解】由题意得，，. 故选：B. 6. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得结果. 【详解】. 故选：A. 7. 在四边形中，，，，将沿折起，使点C到达点的位置，且平面平面.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，的中点分别为，，根据面面垂直的性质可得平面，再根据直角三角形的几何性质可得，则为三棱锥的外接球球心，求出半径，进而可得答案. 【详解】如图，设，的中点分别为，， 则， 因为平面平面，， 平面平面，平面, 所以平面，故平面， 因为平面，所以， 故， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 故， 所以， 故为三棱锥的外接球球心， ，， 所以球半径， 故球的表面积为. 故选：A. 8. 有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设分析出：要使资金增加必须2次刮出中奖，转化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于，再列不等式求n取值. 【详解】由于总资金100元，每次在对一张卡片刮码前下注已有资金的一半. 刮第1张卡前，下注50元： 若未中奖，还剩50元；刮第2张卡前，下注25元，不管是否中奖，资金必减少； 若中奖，还剩150元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资金减少；中奖资金增加； 所以，要使资金增加，则必须2次刮出中奖，否则资金减少； 所以，5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于即可， 由5张卡片中任取2张的方法数有10种，n张“中奖”卡中取到2张的方法数有种， 所以且，故或5，即n至少为4. 故选：C 【点睛】关键点点睛：问题化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于为关键. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. “直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 D. 设为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用直线垂直求出的值，可判断选项A错误；根据直线的斜率为计算斜率的取值范围，进而推出直线倾斜角的范围，得到选项B正确；问题转化为两个圆相交问题，根据圆心距和半径的关系得到选项C正确；分析曲线为半圆，通过画图求得的范围，选项D错误. 【详解】A.由两直线垂直得，，解得或， “或”是“”的必要不充分条件，选项A错误. B.由得，，直线斜率， ∵，∴，即， ∵，∴倾斜角的取值范围是.选项B正确. C.到点距离为的点在圆上， 由题意得，，圆与圆有两个公共点，两圆相交， ∵圆心距， ∴， ∴,即的取值范围是，选项C正确. D.由 得，曲线表示圆心为原点，半径为的半圆，如图所示， 当直线过点时，， 当直线过点和点时，， 当直线与半圆相切于点时， 由圆心到直线的距离为得，解得或（舍）， 所以当直线与曲线恰有一个公共点时，或. 选项D错误. 故选：AD. 10. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，事件C为“两次能看见的所有面向上的数字之和不小于15”，则下列结论正确的是（    ） A. 事件A与事件B相互独立 B. 事件A与事件B互斥 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A、B：根据古典概型求，结合独立事件和互斥事件分析判断；对于C：根据事件的运算求解；对于D：根据古典概型运算求解. 【详解】由题意可知：第一次向下的数字为1，2，3，4，共4个基本事件，则， 设为连续抛掷这个正四面体木块两次向下的数字组合，其中为第一次向下的数字，为第二次向下的数字， 则有， 共16个基本事件， 可知事件包含，共8个基本事件，则， 事件包含，共4个基本事件，则， 可知， 所以事件A与事件B相互独立，且事件A与事件B不互斥，故A正确，B错误； 因为，故C正确； 事件C等价于为“两次向下的数字之和小于等于5”， 包含，共10个基本事件， 则，故D正确； 故选：ACD. 11. 如图，矩形中，，边，的中点分别为，，直线BE交AC于点G，直线DF交AC于点H.现分别将，沿，折起，点在平面BFDE同侧，则（ ） A. 当平面平面BEDF时，平面BEDF B. 当平面平面CDF时， C. 当重合于点时，二面角的大小等于 D. 当重合于点时，三棱锥与三棱锥外接球的公共圆的周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，先利用三角形相似证得，再利用面面垂直的性质定理证得平面，从而得以判断； 对于B，先利用线面垂直推得平面AGH与平面CHG重合，再利用面面平行的性质定理证得，进而推得，从而利用线面平行的性质定理推得，由此得以判断； 对于C，由平面得到二面角为，进而由推得，据此判断即可； 对于D，先分析得三棱锥与三棱锥外接球的公共圆为的外接圆，再由勾股定理证得，从而求得公共圆的直径，由此得解. 【详解】对于A，在矩形中，，是的中点， 所以，，则， 又，所以，则， 所以，则，故， 当平面平面时，如图1， 又因为平面平面，平面， 所以平面，故A正确. . 对于B，当平面平面CDF，如图1， 由选项A易知在矩形中，，则， 所以在中，，， 同理，则，， 又，，面， 所以面，同理平面CHG， 又因为，所以平面AGH与平面CHG重合，即四边形为平面四边形， 又平面平面CDF，平面平面，平面平面， 所以，又，所以四边形是平行四边形，则， 假设，则四边形为平面图形， 又平面，平面，所以平面， 又平面平面，平面，所以， 又，即，所以四边形是平行四边形， 所以，而，，显然矛盾，故B错误； 对于C，如图2， 由选项B易得平面， 又平面，所以，同理：， 所以二面角的平面角为， 在中，由选项B知， 所以是正三角形，故，即二面角的大小等于，故C正确； . 对于D，如图2，三棱锥与三棱锥的公共面为面， 所以三棱锥与三棱锥外接球的公共圆为的外接圆， 易知，，， 所以，所以，即为直角三角形， 所以为的外接圆的直径，即， 所以所求公共圆的周长为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：解答本题关键在于熟练掌握面面垂直的性质定理、线面平行与面面平行的性质定理，能够利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，严密推理；同时对于外接球的公共圆的突破口在于找到两个三棱锥的公共面，从而得解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，，若，，共面，则实数___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量共面，可设，先求解出的值，则的值可求. 【详解】因为，，共面且，不共线，所以可设， 所以，所以， 所以，所以， 故答案为：1. 13. 若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出直线过定点，判断点在圆内，当直线时直线与圆相交的弦长最短，再由弦长公式计算可得. 【详解】直线，则， 令，解得，所以动直线恒过点， 又圆的圆心为，半径， 所以， 所以点在圆内， 所以当直线时直线与圆相交的弦长最短， 最短弦长为. 故答案为： 14. 已知，，，则下列结论中正确的是______________. ①当时，； ②当时，有1个元素； ③若有2个元素，则； ④若有4个元素，则无整数解； 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系、并集、交集的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①当时， ， 由令，解得， 由令，解得， 画出对应点集如下图所示，所以， 所以①正确. ②当时， ， 画出对应点集如下图所示， 圆的圆心为，半径为， 直线，即， 到的距离为， 所以圆与直线相切， 所以有个元素，所以②正确. 对于③，当时， ， 画出对应点集如下图所示， 半圆的圆心为，半径为， 到直线的距离为， 此时有个元素，所以③错误. 对于④，若， 则 ， 此时直线与圆至多有个公共点，不符合题意. 若，则由③的分析可知有个元素， 综上所述，若有4个元素，则无整数解,所以④正确； 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和60，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 【答案】（1）平均数69.5，第25百分位数为63； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图分别表示出各组的频率，由第一、二组的频率之和为0.3及总的频率之和为1列方程组解出，的值；分别写出每一组的频率，由平均数计算公式得到平均数，根据频率和得到第25百分位数所在的组，由概率和为0.25解出第25百分位数的值； （2）由第二组、第四组的频率之比得到分层抽样后两组人数所占比例，再结合两组各自的平均数和方差，由公式，分别求出两组所有面试者的方差． 【小问1详解】 由题意可知：， 解得； 由图可知，每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， 所以平均数为， 因为，设第25百分位数为，则，， 则，解得， 故第25百分位数为63； 【小问2详解】 设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为， 且两组频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差 ． 故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是． 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）若是锐角三角形，且其面积为，求边的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系，结合正余弦函数和差角公式化简即可； （2）由（1）知，又是锐角三角形，可得，根据且其面积为可得，再设，根据角度关系化简可得，再根据求解即可. 【小问1详解】 因为，则， 所以， 即， 得. 所以或（不成立，舍去）， 从而，又，所以. 【小问2详解】 由（1）知，又是锐角三角形，则，得. 因为， 所以. 设，因为， 所以 ， 因为，则，所以， 从而，即， 所以边的取值范围是. 17. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段AB的中点， （1）求点M的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，曲线C的中心记为点C，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点，根据题意得到，代入圆，即可求解； （2）根据题意，设直线，求得圆心到直线的距离为，得到，结合基本不等式，求得最小值，进而求得直线的方程. 【小问1详解】 解：设点，由点的坐标为，且是线段的中点， 则，可得，即， 因为点在圆上运动，所以点点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为. 【小问2详解】 解：过点定点的直线与曲线交于两点，则直线的斜率一定存在且不为， 设直线，即， 则圆心到直线的距离为， 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以时，取得最大值，此时，解得或， 所以取得最大值，此时直线的方程为或. 18. 在四棱锥中，已知，，，，，，是线段上的点． （1）求证：底面； （2）是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：在中，，， 所以. 在中，，，， 由余弦定理有：， 所以，，所以，所以， 又因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 在中：，，，则，所以，， 因为，、平面，所以面. （2）存在，且 【解析】 【分析】（1）首先证明面，可得出，利用勾股定理的逆定理可证得，再结合线面垂直的判定定理，即可证明面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，且，求平面的法向量，利用，即可求得的值，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有、、、、， 设，其中， 则，，， 设为面的法向量， 则有，取，则，， 所以，平面的一个法向量为， 由题意可得， 可得，因为，所以. 因此，存在点使得与平面所成角的正弦值为，且. 19. 如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． （1）当，，，时，分别求线段和的长度； （2）①求证：； ②猜想和的大小关系，并证明． 【答案】（1）， （2）①由原点在圆内，知, 由得，即， 则，是上述方程的两个解，由根与系数的关系得， 同理可得， 所以. ②猜测，证明如下： 设点，， 因为三点共线，所以，解得， 又因为点在直线上，所以，点在直线上，所以， 所以， 同理因为三点共线，可得, 由①可知， 所以,即， 所以成立． 【解析】 【分析】（1）联立直线与圆的方程，可求出各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线和的方程，并求它们与轴的交点坐标，可得和的长度． （2）①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立；②猜测，分别求出点和点的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立． 【小问1详解】 当，，，时， 圆，直线，由解得或， 故，； 直线，由解得或， 故，． 所以直线，令得，即； 直线，令得，即， 所以． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋“宜昌一中､荆州中学”高二十月联考 数学试题 命题学校：荆州中学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 复数、满足，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2. 某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（ ） A. 成绩在上的人数最少 B. 成绩不低于80分的学生所占比例为 C. 50名学生成绩的极差为50 D. 50名学生成绩的平均分小于中位数 3. 已知平面向量和满足在上的投影向量为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系（ ） A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定 5. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 7. 在四边形中，，，，将沿折起，使点C到达点的位置，且平面平面.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. “直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 D. 设为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则 10. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，事件C为“两次能看见的所有面向上的数字之和不小于15”，则下列结论正确的是（    ） A. 事件A与事件B相互独立 B. 事件A与事件B互斥 C. D. 11. 如图，矩形中，，边，的中点分别为，，直线BE交AC于点G，直线DF交AC于点H.现分别将，沿，折起，点在平面BFDE同侧，则（ ） A. 当平面平面BEDF时，平面BEDF B. 当平面平面CDF时， C. 当重合于点时，二面角的大小等于 D. 当重合于点时，三棱锥与三棱锥外接球的公共圆的周长为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，，若，，共面，则实数___________. 13. 若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为__________． 14. 已知，，，则下列结论中正确的是______________. ①当时，； ②当时，有1个元素； ③若有2个元素，则； ④若有4个元素，则无整数解； 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和60，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）若是锐角三角形，且其面积为，求边的取值范围. 17. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段AB的中点， （1）求点M的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，曲线C的中心记为点C，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 18. 在四棱锥中，已知，，，，，，是线段上的点． （1）求证：底面； （2）是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． （1）当，，，时，分别求线段和的长度； （2）①求证：； ②猜想和的大小关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $