精品解析：山东省青岛市即墨实验高级中学2025届高三上学期第一次月考数学试题

高三年级数学学科第一次月考试卷 （2024.10） 一､单选题 1. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意，. 故选：C 2. 已知数列满足：且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由计算出数列前4项，得到数列为周期数列，从而得到. 【详解】因为，，， 所以，，， 故数列为周期是3的数列， 所以. 故选：A 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式及诱导公式计算即可. 【详解】由可知， 即. 故选：D 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据，以及同角三角函数的关系和角的范围求出，再根据即可求解. 【详解】解：， ，又， ，，即， . 故选：B. 5. 设满足，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式，结合特殊角的三角函数值求出，再利用诱导公式计算即得. 【详解】依题意，，则，于是， 即，所以. 故选：C 6. 数列是递增的等差数列，前n项和为，满足，则下列选项不正确的是（ ） A. B. C. 当时，最小 D. 时，的最小值为7 【答案】C 【解析】 【分析】由递增的等差数列可知；由结合等差数列通项公式可得；最后根据等差数列求和公式与可求得最值，即可判断CD 【详解】由是递增的等差数列，得，选项A正确； 由，得，则，选项B正确； 由，得当时，有最小值，且最小值为，C选项错误； 又，解得， 所以时，n的最小值为7，选项D正确； 故选：C. 7. 锐角、满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用，结合和角公式，可求，再结合的取值范围，可求的值，再确定的值. 详解】由， 所以， 所以； 又、均为锐角，所以， 所以. 所以. 故选：B 8. 在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差中项和三角恒等变换化简得，然后结合和差公式将所求化简为关于的表达式，利用基本不等式可得. 【详解】由题知，由正弦定理得， 即， 因为，所以， 又， 所以，得， 所以最多有一个是钝角，所以， 因为 ， 由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3. 故选：A 【点睛】关键点睛：本题主要在于利用三角恒等变换和三角形内角和定理，将已知和所求转化为的表达式，即可利用基本不等式求解. 二､多选题 9. 函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据图象确定函数的解析式，根据函数图象的平移，得到函数的解析式，可分析函数与的性质，判断ABC的真假，在分析函数的单调性，判断D的真假. 【详解】因为点在函数的图象上， 所以，且，所以.故A正确； 因为，由，， 得函数的对称中心为：，， 当时，得对称中心为：，故B正确； . 其对称轴为：，，所以不是函数的对称轴，故C错误； ， 由，，. 所以函数的单调减区间为：，， 因为，， 所以函数在区间上单调递减，故D正确. 故选：ABD 10. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则(　 　) A. 点P第一次到达最高点需要20秒 B. 当水轮转动155秒时，点P距离水面1米 C. 当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 D. 点P距离水面高度h(米)与t(秒)的函数解析式为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意设出函数解析式，由最大值与最小值列式求得与的值，由周期求得，再由时，求解，得到函数解析式判断D；令求解判断A；取秒求得判断B；取秒求得判断C． 【详解】设点距离水面的高度为（米和（秒的函数解析式为，，， 由题意，，， ，解得， ， ，则． 当时，， ，则， 又，则． 综上，，故D正确； 令，则，若，得秒，故A正确； 当秒时，米，故B不正确； 当秒时，，故C正确． 故选：ACD． 11. 已知等差数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当或10时，取得最大值 B. C. 成立的n的最大值为20 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意结合等差数列性质分析的符号性，结合的符号性以及的性质逐项分析判断. 【详解】因为，则， 且数列为等差数列，则， 可得，即， 又因为，可知：当时，；当时，； 对于选项A：由可知，所以当或10时，取得最大值，故A正确； 对于选项B：因为，故B错误； 对于选项C：由的符号性可知：①当时，单调递增，则； ②当时，单调递减； 且，可知：当时，；当时，； 所以成立的n的最小值为20，故C错误； 对于选项D：因为，所以，故D正确； 故选：AD. 三､填空题 12. 已知数列为正项等比数列，，若是数列的前项积，则当取最大值时的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意，列出方程求得，得到，结合，，进而得到答案. 【详解】设等比数列的公比为，其中， 因为，可得，所以， 解得或（舍去），则， 又当时，，当时， 所以当取最大值时的值为． 故答案为：. 13. 为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.则隧道口间的距离是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理列式计算即得. 【详解】在中，，由正弦定理得， 而，则，在中，， 由余弦定理得：. 故答案为：1000 14. 等差数列，的前项和分别为，，且，则_________；若的值为正整数，则_________． 【答案】 ①. ②. 或. 【解析】 【分析】由等差数列的性质结合前项和公式可得，代入化简即可得出答案；又，要使的值为正整数，则或或，求解即可. 【详解】由等差数列的性质可得：，， ，因为， 所以； 因为， 所以, 要使的值为正整数，所以为的约数， 所以或或，因为，所以或. 故答案为：；或. 四､解答题 15. 锐角的内角所对的边分别为，若，且，. （1）求边的值； （2）求内角的角平分线的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换运算求解可得，即可利用余弦定理求解或，利用锐角三角形即可得； （2）利用等面积法，结合三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得：， 即， 又因，则，可得， 又因为，所以． 由余弦定理可得，即， 则，解得：，或， 由于三角形为锐角三角形，故，故，进而只取， 故. 【小问2详解】 根据面积关系可得， 即， 解得：． 16. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数的解析式，再由整体角范围求解不等式可得单调区间； （2）由伸缩变换与平移变换得解析式，得，根据整体角范围求余弦值，再由角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得. 【小问1详解】 . 由， 解得 即时，函数单调递减， 所以函数的单调递减区间为； 【小问2详解】 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 则得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象， 所以 若，则， . 由，得，又， 所以，则， 故 . 故的值为. 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及三角变换公式可得，从而可求的值. （2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求周长的取值范围. 小问1详解】 由及正弦定理得， 故， 在中，，，所以， 可得，而，故即. 【小问2详解】 由正弦定理的得，， 因为，则， 所以， 因为为锐角三角形，则，，，故， 所以周长的取值范围. 18. 已知数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意，利用与的关系式及等比数列的概念即可求解； （2）结合（1）的结论，利用裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 由， 得，即， 当时，， 两式相减得， 化简得， 当时，， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以 . 19. 已知数列的前n项和．若，且数列满足． （1）求证：数列是等差数列； （2）求证：数列的前n项和； （3）若对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由与的关系，仿写作差后求出数列的通项，再代入所给方程求出数列的通项即可； （2）等差与等比数列相乘求和，采用错位相减法，乘以等比数列的公比，再求和即可； （3）先证明数列为递减数列，求出最大值，再解一元二次不等式求解即可； 【小问1详解】 由题意知， 当时，，所以． 当时，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以． 因为，所以， 所以，令，可得， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列． 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以， 两式相减，可得 ， 所以，所以． 【小问3详解】 若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于． 因为， 所以，所以数列的最大项为和，且． 所以，即， 解得或，即实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三年级数学学科第一次月考试卷 （2024.10） 一､单选题 1. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足：且，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设满足，则=（ ） A. B. C. D. 6. 数列是递增的等差数列，前n项和为，满足，则下列选项不正确的是（ ） A. B. C. 当时，最小 D. 时，最小值为7 7. 锐角、满足，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，则的最小值为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 二､多选题 9. 函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递减 10. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则(　 　) A. 点P第一次到达最高点需要20秒 B. 当水轮转动155秒时，点P距离水面1米 C. 当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 D. 点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为 11. 已知等差数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当或10时，取得最大值 B. C. 成立的n的最大值为20 D. 三､填空题 12. 已知数列为正项等比数列，，若是数列的前项积，则当取最大值时的值为______． 13. 为了测量隧道口、间距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.则隧道口间的距离是___________. 14. 等差数列，的前项和分别为，，且，则_________；若的值为正整数，则_________． 四､解答题 15. 锐角的内角所对的边分别为，若，且，. （1）求边的值； （2）求内角的角平分线的长． 16 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值． 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 18. 已知数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 19. 已知数列的前n项和．若，且数列满足． （1）求证：数列是等差数列； （2）求证：数列的前n项和； （3）若对一切恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$