精品解析：上海市民办桃李园实验学校2024—2025学年八年级上学期第一次月考试卷

桃李园实验学校2024学年第一学期第一次质量调研 八年级数学试卷 本卷满分100分，完成时间90分钟 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 下列说法正确的个数 ①2的平方根是；② 是同类二次根式； ③互为倒数；④的绝对值是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根、同类二次根式、倒数以及绝对值进行选择即可． 【详解】①2的平方根是±，故①错误； ②与=是同类二次根式，故②正确； ③∵（-1）（+1）=1，∴-1与+1互为倒数，故③正确； ④-2的绝对值是2-，故④正确， 正确的共有3个， 故选D 【点睛】本题考查了同类二次根式、平方根、倒数以及绝对值，掌握平方根、同类二次根式、倒数以及绝对值的运算是解题的关键． 2. 已知化简后为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查平方根的定义及化简绝对值，利用平方根与绝对值的性质 ，根据 的范围判断绝对值内表达式的正负，从而化简． 【详解】∵ ， ∴ ，， ∴ ， ， ∴ 原式 ． 3. 已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（ ） A. a－b＝0 B. a＋b＝0 C. ab＝1 D. a2＝b2 【答案】C 【解析】 【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各个式子的值，即可得出选项． 【详解】解：分母有理化，可得a=2+，b=2-， ∴a-b=（2+）-（2-）=2，故A选项错误，不符合题意； a+b=（2+）+（2-）=4，故B选项错误，不符合题意； ab=（2+）×（2-）=4-3=1，故C选项正确，符合题意； ∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2-）2=4-4+3=7-4， ∴a2≠b2，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键． 4. 把根号外的因式移入根号内，其结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质．根据可得，所以移入括号内为进行计算即可． 【详解】解：根据根式的性质可得可得， 因此 故选：B． 5. 若化简-的结果为5-2x，则x的取值范围是（ ） A. 为任意实数 B. 1≤x≤4 C. x≥1 D. x≤4 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式和=|a|,先把多项式化简为|x-4|-|1-x|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可． 【详解】解：原式=-=|x-4|-|1-x|， 当x≤1时， 此时1-x≥0，x-4＜0， ∴（4-x）-（1-x）=3，不符合题意， 当1≤x≤4时， 此时1-x≤0，x-4≤0， ∴（4-x）-（x-1）=5-2x，符合题意， 当x≥4时， 此时x-4≥0，1-x＜0， ∴（x-4）-（x-1）=-3，不符合题意， ∴x的取值范围为：1≤x≤4 故选B． 【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论． 6. 设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是(　　) A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案． 【详解】由于根号下的数要是非负数， ∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0， a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0， a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0， 所以a只能等于0，代入等式得 =0， 所以有x=-y， 即：y=-x， 由于x，y，a是两两不同的实数， ∴x＞0，y＜0． 将x=-y代入原式得： 原式=． 故选B． 【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关键． 二、填空题（每题2分，共24分） 7. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意得即可求解． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， ∴ ∴ 故答案为： 8. 方程的根是______． 【答案】 【解析】 【详解】原方程变形为：x(x-3)=0,解得x1="0" ，x2=3. 9. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数大于等于0，分式的分母不为0，是解题的关键．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得到答案． 【详解】解：在实数范围内有意义， ， 解得：且， 故答案为：且． 10. 的有理化因式可以是 ___，﹣3的有理化因式可以是 ___． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，即可求得有理化因式． 【详解】的有理化因式可以是 ，﹣3的有理化因式可以是 故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一） 【点睛】本题考查了有理化因式，二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 11. 不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质，将不等式未知项和常数项各移到一边，解得的解集． 【详解】解：由，得 ， ， ，即． 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次根式的应用．解题的关键是熟悉不等式的基本性质：不等式的两边同时除以负数，不等号的方向发生改变． 12. 已知关于的一元二次方程的一个实数根，则另一个根是______ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．先把代入原方程即可解出m的值，再解方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴把代入原方程，得， ∴， ∴原方程为， ， 或， 解得或， 故答案为：． 13. 已知 是关于x的一元二次方程，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若最简根式和是同类二次根式，则的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：， ∴的平方根为； 故答案为：． 15. 三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为________________． 【答案】12 【解析】 【详解】试题分析：解方程，得，， ∵1＜第三边＜7，∴第三边长为5，∴周长为3+4+5=12． 考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系． 16. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据已知易得，从而可得，然后利用二次根式的性质以及分式的运算法则进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， 故答案为：． 17. 若实数满足，则的值是_________ 【答案】 【解析】 【分析】把已知条件化为两个完全平方式，可知两个非负数相加为0，则每个式子都为0，从而列方程求出x和y，代入即可解答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质以及二次根式的混合运算，两非负数之和等于0，则两数均为0，求得x、y值．本题中把变形得是解题的关键． 18. 如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转，直至得到点为止．则=___________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：由，，； 可得 ；；； …… 依次类推可3次一循环，依次加，1，1， ∵2013=3×671， ∴， 故答案为：． 三、解答题（19－26题每题5分，27、28题每题6分，共58分） 19. 化简：. 【答案】 【解析】 【分析】先化为最简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则，进行运算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查二次根式的加减混合运算，二次根式的性质，二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化为最简二次根式，去绝对值，分母有理化，再合并即可． 【详解】原式 【点睛】本题考查二次根式的混合运算．涉及化为最简二次根式，去绝对值，分母有理化．掌握其运算法则是解题关键． 21. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先对各二次根式进行化简，然后按照二次根式乘除混合运算法则化简即可． 【详解】解：根据题意知：，， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 22. 解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）． 【答案】x1=，x2=． 【解析】 【分析】把方程整理成一般式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解． 【详解】解：原方程整理得：6x2-x-4=0， ∵a=6，b=-1，c=-4， ， ∴， ∴x1=，x2=． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键． 23. 解方程：（配方法） 【答案】 【解析】 【分析】首先移项，将二次项系数化为1后，然后在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题关键． 24. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴， 【点睛】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键 25. 解方程：4（x+3）2﹣9（x﹣3）2＝0． 【答案】x1=，x2=15 【解析】 【分析】方程左边利用平方差公式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】方程变形得：[2（x+3）+3（x-3）][2（x+3）-3（x-3）]=0， 即（5x-3）（-x+15）=0， 解得：x1=，x2=15． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 26. 先化简：求当，时的值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化；先根据分式的运算法则进行计算，然后得出，代入化简结果，即可求解． 【详解】解： ∵， ∴ ∴原式 27. 先阅读下列解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，使得，，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于，即：，， 所以。 问题： ① 填空：，； ② 化简：（请写出计算过程） 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】由条件对式子进行变形，利用完全平方公式对的形式化简后就可以得出结论了． 【详解】解：（1） ； （2） 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方根式的运用及二次根式性质的运用． 28. 小明在学习配方法时，将关于x的多项式配方成，发现当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如：当时，即或时，的值均为6；当时，即或时，的值均为11． 于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对偶，例如关于对偶． 请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于 对偶； （2）当或时，关于x的多项式的值相等，求b的值； （3）若整式关于对偶，求n的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，完全平方公式，整式乘法，正确理解新定理，判断出对称轴是解题关键． （1）将多项式配方得，再根据新定义判定即可； （2）将多项式配方得，再根据新定义，得到，求解即可得到b的值； （3）结合完全平方公式对多项式进行配方，再根据新定义判定即可． 【小问1详解】 解：， 当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等， 多项式关于对偶， 故答案为： 【小问2详解】 解：， 当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等， 当或时，关于x的多项的值相等， ， 解得：； 【小问3详解】 解： 整式关于对偶， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桃李园实验学校2024学年第一学期第一次质量调研 八年级数学试卷 本卷满分100分，完成时间90分钟 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 下列说法正确的个数 ①2的平方根是；② 是同类二次根式； ③互为倒数；④的绝对值是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知化简后为（ ） A. 3 B. C. D. 3. 已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（ ） A. a－b＝0 B. a＋b＝0 C. ab＝1 D. a2＝b2 4. 把根号外的因式移入根号内，其结果是（ ） A. B. C. D. 5. 若化简-的结果为5-2x，则x的取值范围是（ ） A. 为任意实数 B. 1≤x≤4 C. x≥1 D. x≤4 6. 设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是(　　) A. 3 B. C. 2 D. 二、填空题（每题2分，共24分） 7. 已知，则________． 8. 方程的根是______． 9. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 10. 的有理化因式可以是 ___，﹣3的有理化因式可以是 ___． 11. 不等式的解集为___________． 12. 已知关于的一元二次方程的一个实数根，则另一个根是______ 13. 已知 是关于x的一元二次方程，则k的值为__________． 14. 若最简根式和是同类二次根式，则的平方根是______． 15. 三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为________________． 16. 已知，则______． 17. 若实数满足，则的值是_________ 18. 如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转，直至得到点为止．则=___________． 三、解答题（19－26题每题5分，27、28题每题6分，共58分） 19. 化简：. 20. 计算：． 21. 化简：． 22. 解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）． 23. 解方程：（配方法） 24. 解方程：． 25. 解方程：4（x+3）2﹣9（x﹣3）2＝0． 26. 先化简：求当，时的值． 27. 先阅读下列解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，使得，，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于，即：，， 所以。 问题： ① 填空：，； ② 化简：（请写出计算过程） 28. 小明在学习配方法时，将关于x的多项式配方成，发现当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如：当时，即或时，的值均为6；当时，即或时，的值均为11． 于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对偶，例如关于对偶． 请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于 对偶； （2）当或时，关于x的多项式的值相等，求b的值； （3）若整式关于对偶，求n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $