2016高考数学常见题型（第五辑）：平面解析几何综合题

平面解析几何综合题 解析几何是高考的必考内容，它包括直线、圆、圆锥曲线和圆锥曲线综合应用等内容．高考常设置三个客观题和一个解答题，对解析几何知识和数学思想方法的应用进行考查，其分值约为27分，约占总分的18%.近年高考解析几何试题的考查特点，一是设置客观题，考查直线、两直线位置关系、点线距离、圆有关的概念、性质及其简单应用；考查圆锥曲线即椭圆、双曲线、抛物线的概念、性质及其简单应用等基础知识； 二是以直线与圆位置关系、直线与圆锥曲线位置关系为载体，在代数、三角函数、向量等知识的交汇处设置解答题，考查圆锥曲线性质和向量有关公式、性质的应用，考查解决轨迹、不等式、参数范围、探索型等综合问题的思想方法，并且注重测试逻辑推理能力． 高考解析几何综合试题主要考查解决直线与圆锥曲线位置关 系、轨迹方程和探索型等问题的思想方法．为此，我们应掌握圆锥曲线的定义、性质、明确解决直线与圆锥曲线位置关系的思想方法，把握曲线轨迹方程的各种求法，沟通知识间的横纵联系，借助方程理论、不等式性质、向量工具和数形结合、化归转化等思想方法，就能从容应对高考． 解决直线和圆的问题，首先要明确确定直线和圆的几何要素；其次要掌握好直线方程和各种形式及其适用范围、圆的标准方程和一般方程；第三要掌握好直线与直线的位置关系、点到直线的距离、直线与圆、圆与圆的位置关系；最后要充分重视平面几何知识在解决直线与圆问题中的作用． 直线与圆的综合问题 　　　已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 【解】　假设存在斜率为1的直线l，满足题意，则OA⊥OB.设直线l的方程是y＝x＋b，其与圆C的交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)则eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝－1， 即x1x2＋y1y2＝0.① 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x＋b，,x2＋y2－2x＋4y－4＝0.)) 消去y得，2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0， ∴x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝eq \f(1,2)(b2＋4b－4)，② y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2 ＝eq \f(1,2)(b2＋4b－4)－b2－b＋b