3.1.2 椭圆的简单几何性质(第一课时) 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.1 椭圆 3.1.2 椭圆的简单几何性质 （第一课时） 一 二 三 学习目标 掌握椭圆的简单几何性质,掌握 的几何意义及 之间的关系,提升数学抽象的核心素养 依据椭圆的方程研究椭圆的几何性质（范围、对称、顶点、离心率等性质） 学会依据几何性质求椭圆的标准方程 学习目标 复习回顾 1.椭圆的定义是什么? 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 |MF1|+|MF2|=2a (|F1F2|=2c, 2a>2c>0) 2.椭圆的标准方程是什么? (1)焦点在x轴上： (2)焦点在y轴上： O x y F1 F2 M F1 F2 M • • x y O 新课导入 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等。 下面，我们用椭圆方程 来研究椭圆的几何性质. 观察 观察椭圆 的形状, 你能从图上看出它的范围吗? 它具有怎样的对称性? 椭圆上哪些点比较特殊? O x y F1 F2 新知探究 F1 F2 O x y A1 A2 B1 B2 • • 问题1 观察图3.1-7,容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，为确定其具体的边界，我们利用方程(代数方法)进行研究. 图3.1-7 x y O F1 F2 x y O F1 F2 x y O F1 F2 A2 A1 可以发现，椭圆是关于x轴、y轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形； 新知探究 问题2 观察椭圆的形状，椭圆是关于什么对称的？ 新知探究 问题3 如何利用方程说明椭圆的对称性？ ①P(x,y) P1(x,-y) ②P(x,y) P2(-x,y) ③P(x,y) P3(-x,-y) 新知探究 问题4 观察椭圆 上哪些点比较特殊?为什么？如何得到这些点坐标？ 顶点、焦点 (0,b) (0,-b) (a,0) (-a,0) 令 x=0, 得 y=？说明椭圆与 y 轴的交点为（ ） 令 y=0, 得 x=？说明椭圆与 x 轴的交点为（ ） 0, ±b ±a, 0 顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点 叫做椭圆的顶点. O y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b x 线段A1A2叫椭圆的长轴，长度为2a； 线段B1B2叫椭圆的短轴，长度为2b. a,b分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长. 新知探究 我们利用椭圆得范围、对称性及顶点就可以画出一个椭圆得草图，例如： 练习 画出下列椭圆的草图. 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x （1） （2） A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 反思 这两个椭圆长轴相同、短轴不同，一个较圆，一个较扁；有没有一个量值来刻画椭圆的这种扁平程度？ 不同形状的椭圆的扁平程度不同 相同形状的椭圆的扁平程度相同 问题5 观察下列的两幅图，你有什么发现？ 我们该用什么量去描述椭圆的扁平程度？ 新知探究 新知探究 我们该用什么量去描述椭圆的扁平程度？ O x y 如图，椭圆 的长半轴长为a, 半焦距为c. 保持长半轴长a不变, 改变椭圆的半焦距c. 可以发现, c越接近a, 椭圆越扁平. 类似地, 保持c不变, 改变a的大小, 则a越接近c, 椭圆越扁平. 而当a, c扩大或缩小相同倍数时, 椭圆的形状不变. 这样, 利用c和a这两个量, 可以刻画椭圆的扁平程度. 离心率就是刻画椭圆的扁平程度的量. 新知探究 我们]把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，用 e 表示，即 椭圆的离心率： 追问1 椭圆的离心率在什么范围内？ 因为 a > c > 0， 所以0<e <1 追问2 椭圆的离心率在范围内变化时椭圆形状如何变化？ 追问3 当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是什么？ e = 0，则 c = 0，则 a = b，两个焦点重合，椭圆变成圆. e = 1，则 c = a，则 b = 0，椭圆变成线段. y O x 巩固练习 课本P112 5. 比较下列每组中椭圆的形状，哪一 个更接近于圆? 为什么? 5. 比较下列每组中椭圆的形状，哪一 个更接近于圆? 为什么? 巩固练习 课本P112 定 义 图 形 方 程 范 围 对称性 焦 点 顶 点 离心率 a, b, c的关系 |MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|) (c,0)、(c,0) (0,c)、(0,c) 关于x轴、y轴、原点对称 F1 F2 M • • x y O F1 F2 M • • x y O a ≤ x ≤ a, b≤ y ≤ b a ≤ y ≤ a, b ≤ x ≤ b (a,0), (a,0), (0,b), (0,b) (b,0), (b,0), (0,a), (0,a) 概念小结 基本量： a, b, c, e 基本点： 顶点、焦点、中心 基本线：对称轴 典例解析 例4 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 巩固练习 课本P112 2. 求下列椭圆的焦点坐标: 巩固练习 课本P112 3. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: 巩固练习 课本P112 4. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: 巩固练习 5. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: 或 巩固练习 设椭圆的标准方程为 , 将点M的坐标代入可得, 解得或舍 故椭圆的标准方程为 5. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: 解题感悟 与椭圆 共焦点的椭圆方 程可设为 定 义 图 形 方 程 范 围 对称性 焦 点 顶 点 离心率 a, b, c的关系 |MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|) (c,0)、(c,0) (0,c)、(0,c) 关于x轴、y轴、原点对称 F1 F2 M • • x y O F1 F2 M • • x y O a ≤ x ≤ a, b≤ y ≤ b a ≤ y ≤ a, b ≤ x ≤ b (a,0), (a,0), (0,b), (0,b) (b,0), (b,0), (0,a), (0,a) 课堂小结 EVCapture4.1.7软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $$