2016高考数学常见题型（第五辑）：立体几何综合题

立体几何综合题 高考立体几何试题在选择题、填空题中侧重立体几何中的概念型、空间想象型、简单计算型问题,而解答题侧重立体几何中的逻辑推理型问题,主要考查线线关系、线面关系和面面关系,及空间角、面积与体积的计算,其解题方法一般都有两种或两种以上． 空间点、线、面的位置关系 高考对该部分的考查重点是空间的平行关系和垂直关系的证明,一般以解答题的形式出现,试题难度中等,但对空间想象能力和逻辑推理能力有一定的要求,在试卷中也可能以选择题或者填空题的方式考查空间位置关系的基本定理在判断线面位置关系中的应用． 如图,菱形ABCD的边长为4,∠BAD＝60°,AC∩BD＝O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B­ACD,点M是棱BC的中点,DM＝2eq \r(2). (1)求证:OM∥平面ABD; (2)求证:平面DOM⊥平面ABC; (3)求三棱锥B­DOM的体积． 【解】(1)证明:因为O为AC的中点,M为BC的中点,所以OM∥AB. 因为OM⊄平面ABD,AB⊂平面ABD, 所以OM∥平面BAD. (2)证明:因为在菱形ABCD中,OD⊥AC,所以在三棱锥B­ACD中,OD⊥AC. 在菱形ABCD中,AB＝AD＝4,∠BAD＝60°,所以BD＝4.因为O为BD的中点, 所以OD＝eq \f(1,2)BD＝2.因为O为AC的中点,M为BC的中点,所以OM＝eq \f(1,2)AB＝2. 因为OD2＋OM2＝8＝DM2,所以∠DOM＝90°,即OD⊥OM. 因为AC⊂平面ABC,OM⊂平面ABC,AC∩OM＝O,所以OD⊥平面ABC. 因为OD⊂平面DOM,所以平面DOM⊥ 平面ABC. (3)由(2)得,OD⊥平面BOM,所以OD是三棱锥D­BOM的高． 因为OD＝2,S△BOM＝eq \f(1,2)×OB×BM×sin 60°＝eq \f(1,2)×2×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3), 所以VB­DOM＝VD­BOM＝eq \f(1,3)S△BOM×OD＝eq \f(1,3)×eq \r(3)×2＝eq \f(2\r(3),3). 线面位置关系中的存在性问题 空间线面位置关系重点研究了线面位置的证明与线面角的计算等问题,与这些问题有关的开放与探索型问题,在高考中也多次出现．按类型分,可以是条件追溯型,可以是存在探索型,也可以是方法类比探索型． 如