2016高考数学常见题型（第五辑）：数列与不等式综合题

专题二　数列与不等式综合题的解答 数列问题是每年高考的必考内容,涉及选择题、填空题、解答题等多种题型,分值在17至20分之间.小题多是考查等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及前n项和公式等基础知识,大题多是考查数列的定义、数列的求和、数列的通项、有关数列问题的证明以及数列与函数、不等式、解析几何等知识的交汇问题. 解答数列问题时,既要熟记有关公式,能够运用基本方法解决问题,又要善于运用数列的性质进行巧解.此外,还要善于运用数列中蕴含的一些重要思想方法,例如:函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等,这些都是近几年高考经常考查的思想方法. 数列求和 数列求和是近几年高考中的热点,基本题型一般先进行简单运算,再运用“倒序相加”、“错位相减”、“分项求和”等常用方法对数列求和. 设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn＝2Sn－n2,n∈N*. (1)求a1的值; (2)求数列{an}的通项公式. 【解】　(1)当n＝1时,T1＝2S1－12. 因为T1＝S1＝a1,所以a1＝2a1－1,解得a1＝1. (2)当n≥2时,Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1, 所以Sn＝2Sn－1＋2n－1,① 所以Sn＋1＝2Sn＋2n＋1,② ②－①得,an＋1＝2an＋2. 所以an＋1＋2＝2(an＋2),即eq \f(an＋1＋2,an＋2)＝2(n≥2). 当n＝1时,a1＋2＝3,a2＋2＝6,则eq \f(a2＋2,a1＋2)＝2,所以当n＝1时也满足上式.所以{an＋2}是以3为首项,2为公比的等比数列,所以an＋2＝3·2n－1,所以an＝3·2n－1－2. 等差数列与等比数列的综合问题 等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差、等比数列的通项公式,前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点. 已知{an}是单调递增的等差数列,首项a1＝3,前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,首项b1＝1,且a2b2＝12,S3＋b2＝20. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)令cn＝Sncos(anπ)(n∈N*),求{cn}的前n项和Tn. 【解】　(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q, 则a2b2＝(3＋d)q＝