2016高考数学常见题型（第五辑）：函数与导数、不等式综合题

函数与导数、不等式综合题 在高考中，函数与导数的综合解答题基本上每年都有，其分值一般占12～14分，所以做好函数与导数解答题尤其重要．试题多以函数知识为载体设置，主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质，充分体现导数的工具性，一般试题难度较大． 函数的综合问题 已知函数f(x)＝logeq \f(1,2)eq \f(2－ax,x－1)(a是常数且a<2)． (1)求f(x)的定义域； (2)若f(x)在区间(2,4)上是增函数，求a的取值范围． 【解】　(1)∵eq \f(2－ax,x－1)>0，∴(ax－2)(x－1)<0， ①当a<0时，函数的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,a)))∪(1，＋∞)； ②当a＝0时，函数的定义域为(1，＋∞)； ③当0<a<2时，函数的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2,a))). (2)∵f(x)在(2,4)上是增函数， ∴只要使eq \f(2－ax,x－1)在(2,4)上是减函数且恒为正即可． 令g(x)＝eq \f(2－ax,x－1)， 当a＝0时，g(x)＝eq \f(2,x－1)在(2,4)递减，且g(4)>0满足题意； 当a≠0时，显然a≠2， 法一：g′(x)＝eq \f(－ax－1－2－ax,x－12)＝eq \f(a－2,x－12)， ∴当a－2<0，即a<2时，g′(x)≤0. ①a<0时，g(4)>0满足题意； ②0<a<2时，必有eq \f(2,a)≥4，∴0<a≤eq \f(1,2). 综上所述，a∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))). 法二：∵g(x)＝eq \f(2－ax,x－1)＝－a＋eq \f(2－a,x－1)，　 (即y＋a＝eq \f(2－a,x－1)对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－a))，单调区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，1))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))，形如y′＝eq \f(2－a,x′))， ∴要使g(x)＝－a＋eq \f(2－a,x＋1)在(2,4)上是减函数，只需2－a>0，