专题20 切线的判定与性质（10大题型+过关训练）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题20 切线的判定与性质 目录 【题型一 添加条件使直线为切线】 1 【题型二 连半径证垂直证明是切线】 2 【题型三 作垂直证半径证明是切线】 3 【题型四 由切线的性质求线段长】 4 【题型五 由切线的性质求角度】 5 【题型六 利用切线的性质进行证明】 6 【题型七 作圆的切线】 7 【题型八 利用切线的判定与性质判定结论正误】 8 【题型九 利用切线的判定与性质进行求值或证明】 9 【题型十 切线的应用】 10 【题型一 添加条件使直线为切线】 例题：（2024·湖北·模拟预测）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，是的直径，是上一点，是外一点，过点作，垂足为，连接．若使切于点，添加的下列条件中，不正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（21-22九年级上·北京·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【题型二 连半径证垂直证明是切线】 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的弦，点A是的中点，过点A作直线．求证：是的切线． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点O为上一点，以点O为圆心，长为半径的圆交于点D，．求证：是的切线． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的外接圆，是的直径，点B为圆外一点，且．求证：是的切线． 【题型三 作垂直证半径证明是切线】 例题：（24-25九年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，点是平分线上一点，，垂足为．与以为圆心，长为半径的圆的位置关系，并证明． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·云南保山·期末）如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数的值． 2．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）如图，在中，，平分交于点D，以点D为圆心，长为半径作交于点E．求证：与相切． 【题型四 由切线的性质求线段长】 例题：（23-24九年级上·贵州黔南·期末）如图，与分别相切于点，则（    ）    A．3 B．2 C．6 D．4 【变式训练】 1．（22-23九年级上·广西南宁·期中）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 2．（24-25九年级上·全国·期中）如图，是的两条切线，是切点，若，，则的半径等于 ． 【题型五 由切线的性质求角度】 例题：（22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段练习）如图，、分别是的切线，、为切点，是的直径，已知，的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）如图，为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交于点C，D．F为⊙O上的点，连若，则的周长和的度数分别为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点D，E，连接，的延长线交于点F，则 ． 【题型六 利用切线的性质进行证明】 例题：（2024·河北·模拟预测）下列☉O中，不能确定的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·北京·模拟预测）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为 ． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，为边上一点，为内切圆，、、为切点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型七 作圆的切线】 例题：（2023·陕西西安·一模）如图，点P是外一点．请利用尺规过点P作的一条切线．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）    【变式训练】 1．（22-23九年级下·北京东城·开学考试）阅读下面材料： 在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题： 尺规作留：过圆外一点作圆的切线． 已知：P为外一点． 求作：经过点P的的切线．    小敏的作法如下： 如图， ①连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C． ②以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交于A，B两点． ③作直线PA，PB． (1)请补充完整小敏的作图． (2)连接OA，OB可证，其依据是______________________________ 由此可证明直线PA，PB都是的切线，其依据是______________________________ 2．（22-23九年级上·福建龙岩·阶段练习）（1）已知：如图，求作内切圆． （2）已知：如图，过点P求作的切线．    【题型八 利用切线的判定与性质判定结论正误】 例题：（23-24九年级上·河北张家口·期中）下列说法正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．经过圆的半径外端的直线是圆的切线 D．圆的切线垂直于经过切点的半径 【变式训练】 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，为的直径延长线上的一点，与相切，切点为，点是上一点，连接．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）弧弧．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，以为直径的与边交于点，过点作的切线，交于点． (1)求证：； (2)若以点为顶点的四边形是正方形，试判断的形状，并说明理由． 【题型九 利用切线的判定与性质进行求值或证明】 例题：（23-24九年级上·安徽合肥·期末）为的直径的延长线上一点，为上一点，分别连接平分，交于，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若切于点，则 【变式训练】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，正方形的边长为4，以为直径作半圆E，过点D作切半圆E于点G，交于点F，则的长为 ． 2．（2020·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【题型十 切线的应用】 例题：（22-23九年级上·全国·课后作业）如图中的数轴可以度量直径，则圆形图片的直径是（　　） A．5﹣1 B．5﹣(﹣1) C．﹣5﹣1 D．﹣5﹣(﹣1) 【变式训练】 1．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知的半径是2，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为 ． 2．（20-21九年级·江苏南京·自主招生）某博物馆出土了一件文物，文物长度为，摆放在高度为的展示架上，一老师打算带舞蹈团去参观，舞蹈团的平均身高为，为了保证观看视角最大（视角：人眼与被观看物两边构成的角），栅栏应摆放在距多远的位置？    一、单选题 1．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且，则的周长为（    ）．    A．7 B．14 C．10 D．4 2．（2021·广东揭阳·一模）如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 3．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，是弦，是切线，过点作于，交于点，若平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，为的切线，切点为，交于点，点在上．若的度数是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·四川绵阳·期中）如图，是圆的弦，，，相交于点，且．连接，当，时，则线段的长为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知是的直径，切于点C，，则等于 度． 7．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，是的内切圆，点、分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为25，的长是9，则的周长是 ． 8．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的度数等于 ． 9．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，是⊙的直径，、、、是上的点，过点作为切线交延长线于点，若，，则半径是 ． 10．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，，是的切线，A，B是切点，若，则 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，当，时，求的长． 12．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 13．（22-23九年级下·河南南阳·阶段练习）如图，以半圆O的直径为边作边分别与半圆O交于点E，F，且，过点F作于点D，连接． (1)求证：是半圆O的切线； (2)连接，若，，则长为 ． 14．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，点是平分线上一点，，垂足为，与以为圆心、长为半径的圆相切吗？请说明理由． 15．（2024九年级上·浙江·专题练习）已知为的直径，，C为上一点，连接． (1)如图①，若为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若，为的半径，且，垂足为，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 切线的判定与性质 目录 【题型一 添加条件使直线为切线】 1 【题型二 连半径证垂直证明是切线】 4 【题型三 作垂直证半径证明是切线】 6 【题型四 由切线的性质求线段长】 9 【题型五 由切线的性质求角度】 11 【题型六 利用切线的性质进行证明】 13 【题型七 作圆的切线】 16 【题型八 利用切线的判定与性质判定结论正误】 20 【题型九 利用切线的判定与性质进行求值或证明】 24 【题型十 切线的应用】 28 【题型一 添加条件使直线为切线】 例题：（2024·湖北·模拟预测）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【答案】D 【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可． 【详解】解：是的直径，且是的切线 又 直线与相切 故选项A、B可以判定，不符合题意； C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，是的直径，是上一点，是外一点，过点作，垂足为，连接．若使切于点，添加的下列条件中，不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的证明，涉及圆的切线的判定、平行线的判定与性质、圆的性质等知识，根据选项，逐项判定即可得到答案，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键． 【详解】解：A、， ， 当时，则，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意； B、， ，则， ， ， 当时，则，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ， ， ，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到，则是等腰三角形，无法确定，不能得到切于点，该选项不正确，符合题意； 故选：D． 2．（21-22九年级上·北京·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 【题型二 连半径证垂直证明是切线】 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的弦，点A是的中点，过点A作直线．求证：是的切线． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，平行线的性质，先由垂径定理得到，再由，即可证明，进而可证明是的切线． 【详解】证明：如图，连接， 点A是的中点， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点O为上一点，以点O为圆心，长为半径的圆交于点D，．求证：是的切线． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，连接，根据圆周角定理和已知条件证明，再由三角形内角和定理证明，则，据此可证明结论． 【详解】证明：如图，连接， ，， ， ， ， ， ． 是的半径， 是的切线． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的外接圆，是的直径，点B为圆外一点，且．求证：是的切线． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边对等角，三角形内角和定理，先由直径所对的圆周角是直角推出，再由等边对等角得到，结合已知条件证明，即可证明是的切线． 【详解】证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 【题型三 作垂直证半径证明是切线】 例题：（24-25九年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，点是平分线上一点，，垂足为．与以为圆心，长为半径的圆的位置关系，并证明． 【答案】相切，证明见解析 【分析】本题主要考查切线的判定定理，过点P作于点E，根据角平分线的性质定理得到，即可推出与相切，熟练掌握切线的判定方法：有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径是解题的关键． 【详解】解：相切，理由如下， 过点P作于点E，    ∵点是平分线上一点， ∴， 即为的半径， ∴与相切． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·云南保山·期末）如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的证明、角平分线的性质定理、切线长定理以及勾股定理等知识点，掌握圆中相关定理的内容是解题关键． （1）过点作，由角平分线的性质定理可得，即可求证； （2）在中求出，设的半径为，则，，，在中求出即可求解． 【详解】（1）证明：过点作，垂足为，如图， 以点为圆心，长为半径的与相切于点， ， 平分， ， 是的半径，又， 是的切线； （2）解：由（1）知 根据勾股定理得， ，均为的切线，切点分别为和 设的半径为，则，，， 在中，根据勾股定理得， 即， 解得， 即． ． 2．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）如图，在中，，平分交于点D，以点D为圆心，长为半径作交于点E．求证：与相切． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质、切线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．作于点F，由角平分线的性质可得，然后根据切线的判定方法即可得到结论； 【详解】证明：过点D作于点F， ∵， ∴， ∵平分交于点D， ∴， ∴与相切． 【题型四 由切线的性质求线段长】 例题：（23-24九年级上·贵州黔南·期末）如图，与分别相切于点，则（    ）    A．3 B．2 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，切线长定理的应用，先证明，再证明为等边三角形，从而可得答案． 【详解】解：∵与分别相切于点，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选B 【变式训练】 1．（22-23九年级上·广西南宁·期中）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据，于是得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：A． 2．（24-25九年级上·全国·期中）如图，是的两条切线，是切点，若，，则的半径等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质和直角三角形的性质，根据切线的性质求得，平分，再由直角三角形的性质得，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴，平分， ∴，， ∴，即的半径等于， 故答案为：． 【题型五 由切线的性质求角度】 例题：（22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段练习）如图，、分别是的切线，、为切点，是的直径，已知，的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线长定理．熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得等腰，运用内角和定理求解即可． 【详解】解：∵、分别是的切线， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）如图，为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交于点C，D．F为⊙O上的点，连若，则的周长和的度数分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理、圆周角定理、圆的切线性质等知识点，连接，可得，，；据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由切线的性质以及切线长定理得：，，， ∵， ∴ ∴； 的周长 故选：D 2．（23-24九年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点D，E，连接，的延长线交于点F，则 ． 【答案】/29度 【分析】此题重点考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角形内角和定理等知识，推导出是解题的关键． 由的内切圆与，分别相切于点D，E，得，，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：的内切圆与，分别相切于点D，E， ，， ， ， ∵， ， 故答案为：． 【题型六 利用切线的性质进行证明】 例题：（2024·河北·模拟预测）下列☉O中，不能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆心角与弧之间的关系，切线长定理的应用，切线的性质，根据以上知识逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴，故B不符合题意； ∵是的切线， ∴， ∴，故C不符合题意； 如图，∵， ∴， 而， ∴， ∴不能推出，故D符合题意； 故选D 【变式训练】 1．（2024·北京·模拟预测）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为 ． 【答案】/13度 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，切线的性质，掌握切线长定理的含义是解本题的关键；先求解，再结合切线的性质可得答案． 【详解】解：∵，是的切线，，为切点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，为边上一点，为内切圆，、、为切点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理； （1）根据切线长定理可得，，根据，由线段的差相等，即可求解； （2）设，则，根据，即可求解． 【详解】（1）∵为内切圆，、、为切点， ∴， ∵， ∴即 ∴ （2）设， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴，解得， ∴ 【题型七 作圆的切线】 例题：（2023·陕西西安·一模）如图，点P是外一点．请利用尺规过点P作的一条切线．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）    【答案】见解析 【分析】本题考查切线的定义和尺规作图；作法为：①连接，以为直径作；②与相交于点E，作直线．则直线即为所求． 【详解】解：如图，直线即为所求，    证明：∵是直径， ∴， ∴， ∴是的切线． 【变式训练】 1．（22-23九年级下·北京东城·开学考试）阅读下面材料： 在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题： 尺规作留：过圆外一点作圆的切线． 已知：P为外一点． 求作：经过点P的的切线．    小敏的作法如下： 如图， ①连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C． ②以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交于A，B两点． ③作直线PA，PB． (1)请补充完整小敏的作图． (2)连接OA，OB可证，其依据是______________________________ 由此可证明直线PA，PB都是的切线，其依据是______________________________ 【答案】(1)见解析 (2)直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】（1）根据尺规作图作线段的垂直平分线处理； （2）由垂直平分线的性质、直径所对的圆周角是直角可得；由切线的判定定理“经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”可得证切线． 【详解】（1）解：如图，    （2）∵垂直平分, ∴. ∴是的直径． ∴，依据是：直径所对的圆周角是直角； ∴直线PA，PB都是的切线，其依据是：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．    【点睛】本题考查尺规作图作线段的垂直平分线，圆周角定理及推论，切线的判定定理；熟练掌握相关定理是解题的关键． 2．（22-23九年级上·福建龙岩·阶段练习）（1）已知：如图，求作内切圆． （2）已知：如图，过点P求作的切线．    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）圆心到各边的距离相等，所以要作各内角的角平分线的焦点，交点就是内切圆的圆心，圆的半径是圆心到各边的距离． （2）利用直径上的圆周角是直角，构造直角，利用切线的定义判断即可． 【详解】（1）解：作图如下：    步骤：第一步：作的角平分线，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点和点，再分别以点和点为圆心，以大于的长为相同半径分别画弧使其相交于点P，连接； 第二步：作的角平分线，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别、于点和点，再分别以点和点为圆心，以大于长为相同半径分别画弧使其相交于点，连接； 第三步：确定圆心．和的交点就是内切圆的圆心； 第四步：确定半径．过点圆心作的垂线，垂足为点，以点为圆心，以大于的长为半径画弧，交于点和点，再分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，使其相交于点，连接，交于点，点就是垂直于的垂足． 第五步：连接，以点为圆心，以的长为半径画圆，即为所求． （2）如图，直线即为所求作．    步骤：第一步：连接，作的垂直平分线l，交于点A； 第二步：以A为圆心，为半径作圆，交于点M； 第三步：作直线，则直线即为的切线． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆的尺规作图法，明确内切圆圆心是三角形各内角角平分线的交点是解决本题的关键．也考查了圆的切线判定，基本作图，切线的定义． 【题型八 利用切线的判定与性质判定结论正误】 例题：（23-24九年级上·河北张家口·期中）下列说法正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．经过圆的半径外端的直线是圆的切线 D．圆的切线垂直于经过切点的半径 【答案】D 【分析】根据圆的切线、圆心角和垂径定理进行判断即可． 【详解】解∶A、平分弦的直径不一定垂直于弦，是假命题，故本选项不符合题意； B、在等圆或同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，是假命题，故本选项不符合题意； C、经过圆的半径的外端的直线不一定是圆的切线，是假命题，故本选项不符合题意； D、圆的切线垂直于过切点的半径，是真命题，故本选项符合题意； 故选∶D． 【点睛】本题考查了圆相关知识点，熟练掌握圆的切线、圆心角和垂径定理是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，为的直径延长线上的一点，与相切，切点为，点是上一点，连接．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）弧弧．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）利用切线的性质得出，进而得出，即可得出，得出答案即可； （2）利用（1）所求得出：，进而求出，即可得出答案； （3）利用全等三角形的判定得出，进而得出； （4）利用四边形是菱形，即可得到，弧弧． 【详解】解：（1）连接，， 与相切，切点为， ， 在和中， ， ， ， 与相切，故（1）正确； （2）由（1）得：， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形，故（2）正确； （3）连接， ， ， 是直径， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径，不是直径， ， ，故（3）错误； （4）由（2）证得四边形是菱形， ， 弧弧， 故（4）正确；故选：C 2．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，以为直径的与边交于点，过点作的切线，交于点． (1)求证：； (2)若以点为顶点的四边形是正方形，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】(）连接，根据切线的判定及切线的性质可知，，再根据切线长的定理及余角的定义，最后利用等腰三角形的判定及等量代换解答即可． （）根据正方形的性质可知是等腰直角三角形。再利用等腰三角形的性质及直角三角形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵是直径，， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵当以点为顶点的四边形是正方形时，， ∴是直角三角形， 由（1）可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理、圆周角定理，等腰三角形的性质及判定，等腰直角三角形的性质，余角的定义及性质，正方形的性质，连接得垂直，构造出等腰三角形，利用“等角的余角相等”是解题的关键． 【题型九 利用切线的判定与性质进行求值或证明】 例题：（23-24九年级上·安徽合肥·期末）为的直径的延长线上一点，为上一点，分别连接平分，交于，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若切于点，则 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，切线的判定和性质．利用等腰三角形的性质结合三角形的外角性质即可判断选项A、B、D正确；假设成立，证明是等边三角形，推出是的切线，与题设相矛盾，可判断选项C不正确． 【详解】解：连接， ∵平分， ∴设， 若， ∴， 则，选项A正确，不符合题意； 若，又∵， ∴， ∴，选项B正确，不符合题意； 若切于点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，选项D正确，不符合题意； 连接，假设成立， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上，即， ∴切于点， 而题设并没有是的切线这一条件， ∴假设不成立，选项C不正确，符合题意． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，正方形的边长为4，以为直径作半圆E，过点D作切半圆E于点G，交于点F，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是正方形的性质，切线的判定与性质，切线长定理的应用，先证明，．设，再表示，，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，为半圆E的切线， 又∵为半圆E的切线， ∴，． 设， 则有，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 故答案为：． 2．（2020·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等边对等角，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接．根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论； （2）根据切线的性质得到，求得．根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接．   ， ， ， ， ， ． ， ， 是的切线； （2）解：，为直径， 是的切线． 是的切线， ， ， ． ， 在中，， ， ． 的半径为1． 【题型十 切线的应用】 例题：（22-23九年级上·全国·课后作业）如图中的数轴可以度量直径，则圆形图片的直径是（　　） A．5﹣1 B．5﹣(﹣1) C．﹣5﹣1 D．﹣5﹣(﹣1) 【答案】B 【分析】根据图形，过和垂直于数轴的直线与圆相切，结合圆的切线性质，两个切点间的距离就是圆形图片的直径，根据数轴上两点之间的距离直接求解即可． 【详解】解：结合数轴，圆形图片的直径是5﹣（﹣1）， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的概念、切线性质及数轴上两点之间的距离求法，掌握数轴的基本性质是解决问题的关键． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知的半径是2，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为 ． 【答案】或 【分析】设，根据相切的定义由题意可得：点到轴的距离为2时相切，即，代入解析式可求点坐标． 【详解】解：设，， 与与轴相切， ， ， ①当时，， 解得：，， ②当时，，该方程无解， 点或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的性质以及切线的性质，根据题意得出，求出的值是解决问题的关键． 2．（20-21九年级·江苏南京·自主招生）某博物馆出土了一件文物，文物长度为，摆放在高度为的展示架上，一老师打算带舞蹈团去参观，舞蹈团的平均身高为，为了保证观看视角最大（视角：人眼与被观看物两边构成的角），栅栏应摆放在距多远的位置？    【答案】 【分析】本题综合考查了与圆相切的位置关系和勾股定理，找出最大视角即与圆相切的位置关系是解决问题的关键． 根据题意画出图形找到最大视角，运用与圆有关的位置相切和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，则在过，且与地面平行的直线上，    当过，，的与相切时，最大， 过作，则， ， ， 栅栏应摆放在距的位置． 一、单选题 1．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且，则的周长为（    ）．    A．7 B．14 C．10 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了圆的切线长定理，由此可得，，，根据三角形的周长公式计算即可，掌握切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等”是解题的关键． 【详解】解：的内切圆与、、分别相切于点、、， ，，， ， 的周长： 故选：B． 2．（2021·广东揭阳·一模）如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【答案】A 【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确； 若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确； 根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确； 若，没有理由可证明DE是⊙O的切线． 【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD∥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 3．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，是弦，是切线，过点作于，交于点，若平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弦切角定理，角平分线的性质及垂直的定义，难度适中． 连接，并延长交于点F，连接，根据弦切角的性质，得，再由已知条件可得，从而求出． 【详解】解：连接，并延长交于点F，连接，如图所示： ∴， ∴， 是切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 平分， ， ， ， ． 故选：A． 4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，为的切线，切点为，交于点，点在上．若的度数是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的切线性质、同弧所对圆心角和圆周角的关系，熟记切线的性质是解题的关键． 先根据切线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数，然后由圆周角定理即可解答． 【详解】解：切于点， ， ， ， ， 故选：B． 5．（23-24九年级上·四川绵阳·期中）如图，是圆的弦，，，相交于点，且．连接，当，时，则线段的长为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理；连接，由，利用等边对等角得到，再由垂直于，得到三角形为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到垂直于，即可证得为圆的切线；设，则，在中，根据勾股定理得出，通过解方程即可求得． 【详解】解：连接，   ，， ，， ， ，即， ， ，即， 则为圆的切线； 解：设，则，而， 在中， ， 即， 解得， 线段的长是． 故选：B． 二、填空题 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知是的直径，切于点C，，则等于 度． 【答案】55 【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，掌握切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质可得，进而求出的度数，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵切于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：55． 7．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，是的内切圆，点、分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为25，的长是9，则的周长是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了切线长定理，理解定理，找出图形中存在的相等的线段是关键．根据切线长定理，可得，，，，则，据此即可求解． 【详解】解：如图，设与相切于点G，与相切于点H，与相切于点I，与相切于点F， 、、、都和相切， ，，，． ， ． 故答案为：7． 8．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的度数等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质是解决问题的关键．连接，由切线的性质得出，结合，得出，由圆周角的性质得出，再由平行线的性质得出． 【详解】解：连接，如图， 切于点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，是⊙的直径，、、、是上的点，过点作为切线交延长线于点，若，，则半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，连接，设的半径为，证明和都是等边三角形，得，继而得到，根据切线的性质得，，根据角所对的直角边等于斜边的一半得，即可得解．解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径． 【详解】解：连接，设的半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径是是． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，，是的切线，A，B是切点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，根据切线长定理得到平分，根据切线的性质得到，则利用角平分线的定义得到，然后利用互余计算出的度数． 【详解】解：，是的切线，，为切点， 平分，， ，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先判断出是圆的直径，再判断出，即可得出结论； （2）先判断出，进而求出，再用勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， 点必在上，即：是直径， ， ， ， ， ∵， ， ， ，即：， 点在上， 是的切线； （2）解：， ， ， 即， ，， 在中，， ， ． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的面积公式，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键． 12．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了切线长定理，关键是把的周长转化为；根据切线长定理得，由此得的周长为，从而可求得结果． 【详解】解：∵是的切线， ∴； ∵过点C的切线分别交于点D、E， ∴； ∵的周长20， ∴， ∴， 即， ∴． 13．（22-23九年级下·河南南阳·阶段练习）如图，以半圆O的直径为边作边分别与半圆O交于点E，F，且，过点F作于点D，连接． (1)求证：是半圆O的切线； (2)连接，若，，则长为 ． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了切线的判定定理，勾股定理，圆周角定理，角平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由圆周角定理得，证明，结合，得出，即可作答． （2）先由圆周角定理得，运用勾股定理，结合等面积法列式计算，因为角平分线的判定与性质，得，即可作答． 【详解】（1）解：连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是半径 ∴是半圆O的切线 （2）解：∵ ∴ ∵以半圆O的直径为边作 ∴ 过点F作 ∵ ∴ ∴ 由（1）得 ∵ ∴ 故答案为：4 14．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，点是平分线上一点，，垂足为，与以为圆心、长为半径的圆相切吗？请说明理由． 【答案】相切；理由见解析 【分析】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径．也考查了角平分线定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质定理得到，即可推出与相切，熟练掌握切线的判定方法：有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径是解题的关键． 【详解】解：相切，理由如下， 过点P作于点E，    ∵点是平分线上一点， ∴， 即为的半径， ∴与相切． 15．（2024九年级上·浙江·专题练习）已知为的直径，，C为上一点，连接． (1)如图①，若为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若，为的半径，且，垂足为，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由圆周角定理得，由C为的中点，得，从而，即可求得的度数，通过勾股定理即可求得的长度； （2）证明四边形为矩形，，由勾股定理求得的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， 由为的中点，得， ∴，得， 在中，， ∴； 根据勾股定理，有， 又，得， ∴； （2）解：∵是的切线， ∴，即， ∵，垂足为E， ∴， 同（1）可得，有， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，于是， 在中，由，得， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理和矩形的判定和性质等，解题的关键是利用数形结合的思想解答此题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$