专题19 直线与圆的位置关系（9大题型+过关训练）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题19 直线与圆的位置关系 目录 【题型一 判断点与圆的位置关系】 1 【题型二 有点与圆的的位置关系求半径】 1 【题型三 判断直线与圆的位置关系】 2 【题型四 由直线与圆的位置关系求半径】 2 【题型五 由直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】 3 【题型六 由直线与圆的位置关系求最值】 3 【题型七 求圆平移到直线相切时圆心经过的距离】 4 【题型八 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 5 【题型九 由直线与圆的位置关系求交点的个数】 6 【题型一 判断点与圆的位置关系】 例题：已知⊙O的半径为5，，则点在（   ） A．圆上 B．圆内 C．圆外 D．不能确定 【变式训练】 1．已知的半径是，是外一点，则的长可能是（   ） A． B． C． D． 2．已知的半径是，点到圆心的距离为方程的一个根，则点与的位置关系是 ． 【题型二 有点与圆的的位置关系求半径】 例题：圆外一点到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9，那么这个圆的半径为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 1．在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则此圆的半径为（    ） A．3 B．4或6 C．2或3 D．6 2．平面上一点A与上点的最短距离为2，最长距离为10，则半径为 ． 【题型三 判断直线与圆的位置关系】 例题：已知的直径是，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是(    ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【变式训练】 1．已知，的的半径为2，圆心在上，当时，与射线的位置关系为 ． 2．在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆一定（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 【题型四 由直线与圆的位置关系求半径】 例题：已知圆的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若圆与直线相离，圆的半径可取的值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 1．在平面直角坐标系中，以点为圆心，r为半径的圆与坐标轴有且只有3个公共点，则r的值是（    ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或5 2．如图，，，若与射线只有一个交点，则半径r的取值范围是 ． 【题型五 由直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】 例题：如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知的直径为，若直线l与只有一个交点，那么圆心O到这条直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．的半径为，点到直线的距离为，，是方程的两根，当直线与相切时，的值为 . 【题型六 由直线与圆的位置关系求最值】 例题：如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则的面积最大值为（    ） A． B． C． D．2 2．如图，在中，将劣弧沿弦折叠得弧，P是弧上一动点，过点P作弧的切线与交于C，D两点，若⊙O的半径为13，，则的长度最大值为 ． 【题型七 求圆平移到直线相切时圆心经过的距离】 例题：如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1 【变式训练】 1．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线相切，则t为（  ） A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s 2．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    【题型八 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 例题：如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 2．已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 【题型九 由直线与圆的位置关系求交点的个数】 例题：已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 【变式训练】 1．已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的公共点有 个． 2．设以3，4，5为边长构成的三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 个. 一、单选题 1．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）已知的半径为3，圆心到直线的距离为2，则与直线的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相离 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，点是上两点，连接并延长交切线于点，连接、、、，若，则（   ）    A． B． C． D． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，点D在上，过点D作的切线交的延长线于点C．若，则的半径为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 4．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，与相切于点，的延长线交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，其内切圆分别与相切于点D、E、F，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．5 D．3 二、填空题 6．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系为 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 7．（20-21九年级上·吉林四平·期末）如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切． 8．（22-23九年级·江苏·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    9．（22-23九年级上·辽宁大连·期中）已知的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 10．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，，是的切线，若，， ． 三、解答题 11．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 12．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 13．（20-21九年级上·全国·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 14．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四边形内接于，是的直径，平分，于点E．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求直径的长． 15．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，是的外接圆． (1)求的半径； (2)若在同一平面内的也经过B、C两点，且，请直接写出的半径的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 直线与圆的位置关系 目录 【题型一 判断点与圆的位置关系】 1 【题型二 有点与圆的的位置关系求半径】 2 【题型三 判断直线与圆的位置关系】 4 【题型四 由直线与圆的位置关系求半径】 5 【题型五 由直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】 7 【题型六 由直线与圆的位置关系求最值】 8 【题型七 求圆平移到直线相切时圆心经过的距离】 11 【题型八 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 14 【题型九 由直线与圆的位置关系求交点的个数】 16 【题型一 判断点与圆的位置关系】 例题：已知⊙O的半径为5，，则点在（   ） A．圆上 B．圆内 C．圆外 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上； ①点在圆内是解题的关键．根据的半径为和点到圆心的距离与圆与点的位置关系即可求解． 【详解】解：的半径为5，， ， 点在圆外． 故选：C． 【变式训练】 1．已知的半径是，是外一点，则的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，（为圆半径，为点到圆心距离）当，点在圆内；当，点在圆外；当，点在圆上；据此作答即可． 【详解】解：∵的半径为，是外一点， ∴线段的长度． 故选：D． 2．已知的半径是，点到圆心的距离为方程的一个根，则点与的位置关系是 ． 【答案】在内 【分析】本题考查了解一元二次方程，点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆的半径为，点到圆心的距离是，①当时，点在内，②当时，点在上，③当时，点在外．先解一元二次方程，根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解： 解得 点到圆心的距离 的半径是， 在内 故答案为：在内 【题型二 有点与圆的的位置关系求半径】 例题：圆外一点到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9，那么这个圆的半径为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，过这个点和圆心的直线与圆的两个交点得到这个点到圆周上一点的最长距离和最短距离，则它们的差为圆的直径，由此计算出直径，即可得出答案． 【详解】解：∵圆外一点到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9， ∴的直径， ∴半径为3； 故选：B． 【变式训练】 1．在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则此圆的半径为（    ） A．3 B．4或6 C．2或3 D．6 【答案】C 【分析】点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径=最小距离+最大距离；②当点在圆外时，直径=最大距离-最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径, 半径 ②当点在圆外时，如图2， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径, 半径 故选：C 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 2．平面上一点A与上点的最短距离为2，最长距离为10，则半径为 ． 【答案】6或4 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．解题的关键是分点A在圆内或圆外进行讨论． 分点A在圆内或圆外进行讨论，分别计算即可． 【详解】解：当点A在圆内时，的直径长为，半径为6； 当点A在圆外时，的直径长为，半径为4； 即的半径长为6或4． 故答案为：6或4． 【题型三 判断直线与圆的位置关系】 例题：已知的直径是，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是(    ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据圆的半径和，圆心到直线l的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案． 【详解】解：∵的直径为，则半径为，圆心到直线的距离为， ∵，即：， ∴直线与的位置关系是相离． 故选：C． 【变式训练】 1．已知，的的半径为2，圆心在上，当时，与射线的位置关系为 ． 【答案】相切 【解析】略 2．在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆一定（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 【答案】C 【分析】本题主要考查对直线与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用直线与圆的位置关系定理进行判断是解此题的关键，首先画出图形，根据点的坐标得，到圆心到轴的距离是，到轴的距离是，根据直线与圆的位置关系，即可求出答案． 【详解】解：圆心到轴的距离是，到轴的距离是， ∴圆与轴相切，与轴相交， 故选：C． 【题型四 由直线与圆的位置关系求半径】 例题：已知圆的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若圆与直线相离，圆的半径可取的值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出，再根据直线与圆的位置关系可得出，即可得到答案，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：， ， 或， ，， 的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根， ， 与直线相离， 的半径，即， ∴A符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．在平面直角坐标系中，以点为圆心，r为半径的圆与坐标轴有且只有3个公共点，则r的值是（    ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或5 【答案】D 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，圆与直线的距离，勾股定理，利用分类讨论的关系解决问题是关键．由题意可知，圆心到轴的距离为4，到轴的距离为3，再分两种情况分别求解即可． 【详解】解：圆心的坐标为， 圆心到轴的距离为4，到轴的距离为3， 当圆与轴相切时，与轴相交，此时圆与坐标轴有且只有3个公共点，， 当圆经过原点时，圆与坐标轴有且只有3个公共点，， 即r的值是4或5， 故选：D． 2．如图，，，若与射线只有一个交点，则半径r的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，含的直角三角形．熟练掌握圆与直线的位置关系，含的直角三角形是解题的关键． 如图，作于，则，当时，与射线相切，此时只有一个交点；当时，与射线只有一个交点；然后作答即可． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴当时，与射线相切，此时只有一个交点； 当时，与射线有两个交点； ∴当时，与射线只有一个交点； 综上，当与射线只有一个交点时，半径r的取值范围是或， 故答案为：或． 【题型五 由直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】 例题：如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离d的取值范围．先求出圆的半径为，再根据直线与圆相交时，d的取值范围． 【详解】解：∵圆的半径为 ∴当直线与圆相交时，直线与圆心的距离， 故选：C． 【变式训练】 1．已知的直径为，若直线l与只有一个交点，那么圆心O到这条直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．熟练掌握直线与圆只有一个交点，则直线与圆相切，圆心到这条直线的距离为半径长是解题的关键． 根据直线与圆只有一个交点，则直线与圆相切，圆心到这条直线的距离为半径长求解作答即可． 【详解】解：由直线与圆的位置关系，可知直线l与相切， ∴圆心O到这条直线的距离为， 故选：B． 2．的半径为，点到直线的距离为，，是方程的两根，当直线与相切时，的值为 . 【答案】4 【分析】本题主要考查了切线的性质，一元二次方程根的判别式．根据切线的性质可得，再由一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两个根，且直线与相切， ∴， ∴方程有两个相等的实根， ∴， 解得，． 故答案为：4． 【题型六 由直线与圆的位置关系求最值】 例题：如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算． 连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短． 【详解】解：连接．    ∵是O的切线， ∴， 根据勾股定理知， ∵当时，线段最短， 又∵、， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则的面积最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，点和圆的位置关系以及切线的性质等知识，作射线，过点P作轴于H，可得，则∠，设射线交于C，过点C作圆的切线，可知此时的面积最大，即可求解． 【详解】解：作射线，过点P作轴于H，    ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 设射线交于C，过点C作圆的切线，则切线， ∴此时的面积最大， ∵圆的半径为1， ∴， ∴的面积最大值为， 故选：A． 2．如图，在中，将劣弧沿弦折叠得弧，P是弧上一动点，过点P作弧的切线与交于C，D两点，若⊙O的半径为13，，则的长度最大值为 ． 【答案】 【分析】过点O作于点M，交于点N，交于点P，此时过点P的切线最长，连接，，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：过点O作于点M，交于点N，交于点P，此时过点P的切线最长，连接，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理可得： ， 根据折叠可知，， ∴， ∵是弧的切线， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理可得： ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，解题的关键是找出使最大时，点P的位置． 【题型七 求圆平移到直线相切时圆心经过的距离】 例题：如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1 【答案】A 【分析】分圆心在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可． 【详解】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（﹣2，0），所以平移的距离为-2-（-3）=1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（2，0），所以平移的距离为2-（-3）=5． 故选：A． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 【变式训练】 1．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线相切，则t为（  ） A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s 【答案】D 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径即可． 【详解】设圆与直线b交于A、B两点， 当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，OP=2t，PB=2t+1，PA=2t-1， 当PB=PH时即2t+1=4，t=1.5与直线a相切， 当PA=PH时即2t-1=4，t=2.5与直线a相切． 故选：D． 【点睛】本题考查圆与直线相切问题，关键掌握圆与直线相切的条件，会利用此条件确定动点圆心的位置，列出等式解方程解决问题． 2．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    【答案】/ 【分析】分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离d的取值范围是， 故答案为：．    【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 【题型八 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 例题：如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时， ∴， 即直线在原有位置向下移动后与圆相切． 故选：B． 【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键． 【变式训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D 2．已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 【答案】或/或 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 【题型九 由直线与圆的位置关系求交点的个数】 例题：已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r 圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：∵的半径r为，圆心O到直线l的距离d为， 即圆心O到直线l的距离大于圆的半径， ∴直线l和相离， ∴直线l与没有公共点． 故选：A． 【变式训练】 1．已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的公共点有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，时，圆和直线相离；时，圆和直线相切；时，圆和直线相交． 【详解】解：∵圆心到直线的距离是圆的半径4， ∴直线和圆相交，即有2个公共点． 故答案为：2． 2．设以3，4，5为边长构成的三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 个. 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形的内切圆，直线与圆的位置关系，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 可知该三角形为直角三角形，进而利用等面积法求出内切圆半径正好为1，当圆的位置移动时，就会最多产生4个交点． 【详解】解：如图， 由得该三角形为直角三角形，设，作出的内切圆，设切点为，连接，则，，设， ∵， ∴， 解得：， 进而可知内切圆半径为1，此时正好有3个交点， 当圆的位置移动时，就会最多产生4个交点，如图， 故答案为：4． 一、单选题 1．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）已知的半径为3，圆心到直线的距离为2，则与直线的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相离 【答案】B 【分析】此题考查的是圆与直线的位置关系．判断直线和圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为．①直线和相交，②直线和相切，③直线和相离．圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，直线与圆相切． 【详解】解：圆心到直线的距离圆的半径3， 直线与圆的位置关系为相交． 故选：B 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，点是上两点，连接并延长交切线于点，连接、、、，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由切线的性质得，求出，再由等边对等角得出，最后再由三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：切于， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，点D在上，过点D作的切线交的延长线于点C．若，则的半径为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理等知识． 连接，由切线的性质得出，设，由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的半径为6． 故选：B． 4．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，与相切于点，的延长线交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可不是主要考查切线的性质，连接，则，得，由得由三角形外角的性质得，再由三角形内角和定理可得 【详解】解：连接，如图， ∵是的切线， ∴，即 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴， 故选：D 5．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，其内切圆分别与相切于点D、E、F，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．5 D．3 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理、勾股定理等知识．根据切线长定理得：，再利用勾股定理列方程可得的长． 【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点D、E、F，，， ， ， ， ， 解得：（舍）或2， 故选：A． 二、填空题 6．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系为 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 【答案】相切 【分析】本题主要考查了直线和圆的位置关系，求出半径为6cm，再根据圆心到直线的距离可得答案． 【详解】根据题意可知半径，圆心到直线的距离， ∴， ∴直线和圆的位置关系是相切． 故答案为：相切． 7．（20-21九年级上·吉林四平·期末）如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切． 【答案】4 【分析】根据垂径定理可求出，再利用勾股定理可得，从而，再由l与⊙O相切，则点 到直线l的距离等于OC=10cm，从而得到l沿OC所在直线向下平移的距离等于，即可求解． 【详解】解：∵直线l⊥OC，AB=16cm， ∴ ， ， ∵ ， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， 若l与⊙O相切， 则点 到直线l的距离等于OC=10cm， ∴l沿OC所在直线向下平移的距离等于 即l沿OC所在直线向下平移时与⊙O相切． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 8．（22-23九年级·江苏·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    【答案】2或10 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； ∴(秒)； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． ∴(秒)； 故答案为：2或10 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 9．（22-23九年级上·辽宁大连·期中）已知的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系， 根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：∵的半径是6，点O到直线l的距离为d， ∴直线l与相切或相交， ∴． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，，是的切线，若，， ． 【答案】 【分析】本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键，根据切线的性质得到，，根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 【答案】(1)当半径为3时，与直线相切 (2)当半径为2.4时，与直线相切 (3)当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离 【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，即为所求； （3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∵圆心到边的距离为，与直线相切， ∴， 则当半径为3时，与直线相切； （2）连接，过作，交于点， ∵在中，，， ∴， 又∵， ∴圆心到边的距离， 又与直线相切， ∴，则当半径为2.4时，与直线相切； （3）∵与直线相交，圆心到边的距离为， ∴， 又与直线相离，圆心到的距离为， ∴， 则当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离． 【点睛】本题考查直线与圆之间的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小于半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键． 12．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（）如图作于，求出的值即可判断； （）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ； （）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图作于，    在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴当半径时，直线与相切， 故答案为：； （2）观察图形可知， 当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ， 故答案为：或； （3）观察图形可知， 当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 故答案为：或． 13．（20-21九年级上·全国·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 【答案】1或5． 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 14．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四边形内接于，是的直径，平分，于点E．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求直径的长． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，得到，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）设，交于，根据矩形的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：直线与相切， 理由：连接，，   平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：设，交于，   ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故直径的长为． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，矩形的判定及性质，正确作出辅助线是解题的关键． 15．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，是的外接圆． (1)求的半径； (2)若在同一平面内的也经过B、C两点，且，请直接写出的半径的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过点作，垂足为，连接、，根据勾股定理即可求解； （2）分点在点的上方和下方，两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）过点作，垂足为，连接、， ，， 垂直平分， ， 点在的垂直平分线上，即在上， ， ， 在中，，， ， 设，则． 在中，， ，即． 解得， 即的半径为； （2）当也经过、两点，且，如图： 设， ∵，则或， ∵， 或． ∴的半径的长为或． 【点睛】本题考查了三角形外接圆、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理，解决本题的关键是准确确定点的两个位置． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$