专题18 圆周角定理（10大题型+过关训练）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题18 圆周角定理 目录 【题型一 圆周角的定义】 1 【题型二 圆周角定理求角度】 2 【题型三 同弧（等弧）所对的圆周角关系】 3 【题型四 直径所对的圆周角90度的应用】 3 【题型五 利用圆内接四边形的性质求角】 4 【题型六 利用圆周角定理求线段长度】 5 【题型七 利用圆内接四边形的性质求面积】 6 【题型八 确定圆的条件】 6 【题型九 尺规作外接圆】 7 【题型十 圆周角定理的综合应用】 7 【题型一 圆周角的定义】 例题：下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 2．如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    【题型二 圆周角定理求角度】 例题：如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，在中，弦，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，为⊙O的弦，，则弦所对的圆周角的度数为 ． 【题型三 同弧（等弧）所对的圆周角关系】 例题：如图，在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，在中，是直径，是弦，于点E，且，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，和是的直径，弦．若弦，则弦的长为 ． 【题型四 直径所对的圆周角90度的应用】 例题：如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．4 2．如图，点在圆上，，点为的中点，的值为 ． 【题型五 利用圆内接四边形的性质求角】 例题：如图，四边形内接于⊙，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，点A、点B、点C在上，，那么是（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，是圆内接四边形，，则的度数是 ． 【题型六 利用圆周角定理求线段长度】 例题：如图，是的直径，是的弦，于点E，连接．若，，则的半径的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式训练】 1．如图，以的一边为直径的半圆与其他两边，分别交于点D，E，且E为的中点，若，，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C． D． 2．如图，在中是直径，，，，那么的长等于 ． 【题型七 利用圆内接四边形的性质求面积】 例题：如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ． 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【题型八 确定圆的条件】 例题：下列说法，错误的是（　　） A．过三点可以确定一个圆 B．等弧所对的圆心角相等 C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．直径是弦 【变式训练】 1．平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 2．如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第 块． 【题型九 尺规作外接圆】 例题：已知等腰中，，求作的外接圆．（尺规作图，保留作图痕迹） 【变式训练】 1．如图，中，． (1)试用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求出的半径． 【题型十 圆周角定理的综合应用】 例题：如图，是的直径，点C、D是上两点，，作于E，于F．求证：． 【变式训练】 1．如图，在中，，以为直径的分别交于点D、E． (1)求证：点E是的中点； (2)若，求的度数． 2．如图，在以为直径的半圆中，M是的中点，C是上的点，的延长线相交于点D，连接．    (1)求证：平分； (2)若平分，则的大小为________度． 一、单选题 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，内接于，是的直径，D为弧的中点，连接，，E为与的交点，给出下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2024·西藏·中考真题）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．4 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，是圆的内接锐角三角形，是圆的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，是的直径，点和点是上的两点且位于直径的两侧．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，分别是⊙的直径和弦，，垂足为，连接，若，则的长度为（    ） A． B．7 C．8 D．9 二、填空题 6．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，点、、在上，若，则的度数为 ． 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，、是的直径，弦，交于点，，则 ． 8．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）在圆内接四边形中，若，则等于 ． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点、、都在上，，，的度数 ． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为 ． 三、解答题 11．（吉林省松原市前郭县北部学区2024~2025学年九年级上学期期中数学测试）如图，在中，若，求的度数．    12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，D为下方上一点，C为的中点，连接． (1)与的数量关系为___________，请证明你的结论； (2)于点E，若，求的半径． 13．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，是的直径，四边形内接于，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．（2024九年级上·全国·专题练习）请用无刻度的直尺完成下列画图． (1)在图1中，是的外接圆，是的中点，先画的中线，再画的内接矩形； (2)在图2中，是直径，是圆内一点，先画的高，再画于点． 15．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，是的直径，点为上一点，为弧的中点，过作于点，交于点，交弦于点，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 圆周角定理 目录 【题型一 圆周角的定义】 1 【题型二 圆周角定理求角度】 3 【题型三 同弧（等弧）所对的圆周角关系】 5 【题型四 直径所对的圆周角90度的应用】 7 【题型五 利用圆内接四边形的性质求角】 9 【题型六 利用圆周角定理求线段长度】 11 【题型七 利用圆内接四边形的性质求面积】 14 【题型八 确定圆的条件】 16 【题型九 尺规作外接圆】 18 【题型十 圆周角定理的综合应用】 19 【题型一 圆周角的定义】 例题：下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角的定义．根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式训练】 1．如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【详解】解：所对的圆周角是与， 故选：D． 2．如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 【详解】解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 【题型二 圆周角定理求角度】 例题：如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，先根据圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角定理解答． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．如图，在中，弦，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，由平行线的性质可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，为⊙O的弦，，则弦所对的圆周角的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．首先根据，可得，然后根据三角形的内角和定理，求得，最后根据圆周角定理，求出弦所对的圆周角是多少即可． 【详解】解：， ， ， 弦所对的圆周角的度数是：； 弦所对的优弧的度数为：， 弦所对的圆周角的度数是：； 综上，弦所对的圆周角的度数是或， 故答案为：或． 【题型三 同弧（等弧）所对的圆周角关系】 例题：如图，在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理等，连接，根据圆周角定理求出，根据可求得的度数．掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． ， ， ， ． 故选：． 【变式训练】 1．如图，在中，是直径，是弦，于点E，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出的度数，再根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径，是弦，于点E， ∴， ∴； 故选D． 2．如图，和是的直径，弦．若弦，则弦的长为 ． 【答案】3 【分析】连接，根据平行线的性质及圆周角与圆心角的关系可得到，从而即可求得的长．本题考查了圆周角和圆心角和它所对弦长的关系，并且有效的结合了平行线的性质． 【详解】解：连接， ， ．， ∵， ， ． ． 故答案为：3． 【题型四 直径所对的圆周角90度的应用】 例题：如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，直径所对的圆周角是直角，先根据直径所对的圆周角是直角得到，再由三角形内角和定理求出，据此根据圆内角四边形对角互补进行求解即可． 【详解】解：∵是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练】 1．如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到，，根据得到，最后根据勾股定理求解即可得到答案 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，点在圆上，，点为的中点，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了半圆或直径所对圆周角为直角，勾股定理，根据，可得是直径，根据点为的中点，可得，根据勾股定理可得，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 【题型五 利用圆内接四边形的性质求角】 例题：如图，四边形内接于⊙，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键． 根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 故选B． 【变式训练】 1．如图，点A、点B、点C在上，，那么是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理以及圆内接四边形的性质是正确解答的关键．根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理进行计算即可． 【详解】解：如图，在的优弧上任意取一点，连接、， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，中，是圆内接四边形，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求出，再根据圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型六 利用圆周角定理求线段长度】 例题：如图，是的直径，是的弦，于点E，连接．若，，则的半径的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握垂径定理和圆周角定理．连接，根据圆周角定理得到的度数，根据垂径定理得到的长度，即可求出半径的长度． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【变式训练】 1．如图，以的一边为直径的半圆与其他两边，分别交于点D，E，且E为的中点，若，，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆周角的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理，熟练掌握圆周角的性质及勾股定理是解题的关键；连接，由题意易得，则有，设，则，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为直径， ∴，即， ∵E为的中点， ∴， 设，则，根据勾股定理可得： ，即， 解得：， ∴； 故选D． 2．如图，在中是直径，，，，那么的长等于 ． 【答案】 【分析】由垂径定理得到，，，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角一半得到，推出，再结合所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：设交于点， ∵是的直径，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理、勾股定理和含的角的直角三角形的性质，熟知垂径定理是解题的关键。 【题型七 利用圆内接四边形的性质求面积】 例题：如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 【变式训练】 1．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，并延长交圆于点，连接，，可得，从而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积． 【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，． 则，． ∵， ∴//， ∴ ∴BE=CD， ∵ ∴． 在Rt△中，AB=10， 所以，由勾股定理得， ∴． 所以圆的面积为． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键． 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】D 【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可． 【详解】解：连接OD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠A=60°， ∵OD=OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=OD=OA， ∵AD=2， ∴OA=OD=OB=2， ∴AB=2+2=4， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键． 【题型八 确定圆的条件】 例题：下列说法，错误的是（　　） A．过三点可以确定一个圆 B．等弧所对的圆心角相等 C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．直径是弦 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本知识，熟练掌握圆的基本定义，垂径定理，是解题的关键． 根据直径定义，圆心角、弧间的关系，垂径定理，确定圆的条件进行判断即可． 【详解】解：A．过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，原说法错误； B．等弧所对的圆心角相等，正确； C．弦的垂直平分线一定经过圆心，正确； D．直径是弦，正确． 故选：A． 【变式训练】 1．平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，，在这条直线上，， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 2．如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第 块． 【答案】① 【分析】根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧，即可确定圆心和半径． 所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是①． 故答案为：①． 【点睛】本题考查的是垂径定理的推论的应用，确定圆的条件，掌握确定圆的的条件是解题的关键． 【题型九 尺规作外接圆】 例题：已知等腰中，，求作的外接圆．（尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查的是三角形外接圆的作法，关键是作出任意两边的垂直平分线，找出三角形的外接圆的圆心．由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，可作的任意两边的垂直平分线，它们的交点即为的外接圆的圆心（设圆心为O）；以O为圆心、长为半径作圆，即可得出的外接圆． 【详解】解：如图，即为所求， 【变式训练】 1．如图，中，． (1)试用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求出的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，做外接圆，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）做其中两条边的垂直平分线，以此交点为圆心，圆心到三角形任何一顶点的距离为半径作圆； （2）连接交于D，连接，先在三角形中求出的值，然后在三角形中，用半径表示，根据勾股定理求出半径． 【详解】（1）解：如图，分别作，的垂直平分线，交于点O，以O为圆心为半径画圆，即为所求； （2）如图，连接交于D，连接． ， ，． 在中， ， 设，则， 在中，由， 得， 解得． 【题型十 圆周角定理的综合应用】 例题：如图，是的直径，点C、D是上两点，，作于E，于F．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角与弦的关系，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．连接，由于，利用同圆中等弦所对的圆心角相等可得，根据已知条件利用可证 ，从而有． 【详解】证明：如图所示，连接， ， ， 又，， ， ， ， ． 【变式训练】 1．如图，在中，，以为直径的分别交于点D、E． (1)求证：点E是的中点； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要查了圆周角定理，等腰三角形的性质： （1）连接，由圆周角定理推出，由等腰三角形的性质即可证明E是的中点； （2）由等腰三角形的性质得到，求出，由圆周角定理推出，即可求出． 【详解】（1）证明：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴E是的中点； （2）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 2．如图，在以为直径的半圆中，M是的中点，C是上的点，的延长线相交于点D，连接．    (1)求证：平分； (2)若平分，则的大小为________度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握“直径所对的圆周角为直角”，“同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等”． （1）连接，根据点M半圆的中点，易得，再计算得出即可求解； （2）由（1）可知，利用直角三角形两锐角互余，即可求解． 【详解】（1）解：连接，    ∵为直径， ∴， ∴， ∵点M半圆的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴故答案为：． 一、单选题 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，内接于，是的直径，D为弧的中点，连接，，E为与的交点，给出下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了圆的垂径定理，圆的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键． 根据垂径定理及其推论，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理逐个判断即可． 【详解】解：如图，连接， ∵D为弧的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， 故①正确； 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∴④平分， 故④正确， 没有条件能说明②正确； ∴正确的有3个； 故选：B． 2．（2024·西藏·中考真题）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到，，根据得到，最后根据勾股定理求解即可得到答案 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，是圆的内接锐角三角形，是圆的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角定理，连接，如图，先根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出的度数． 【详解】解：连接，如图， 是圆的直径， ， ， ． 故选：C． 4．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，是的直径，点和点是上的两点且位于直径的两侧．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求出的度数，从而求出的度数即可． 【详解】解：， ， 是直径， ， ． 故选：A． 5．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，分别是⊙的直径和弦，，垂足为，连接，若，则的长度为（    ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和勾股定理． 先根据圆周角定理得，则利用勾股定理计算出，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵为直径， ， ， ， ， 在中，， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，点、、在上，若，则的度数为 ． 【答案】/76度 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握同弧或等弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，是解题的关键．根据圆周角定理，结合，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，、是的直径，弦，交于点，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据平行线的性质和已知条件可得，根据圆周角定理可得，再根据三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：弦，且， ， 所对的圆周角是，圆心角是， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）在圆内接四边形中，若，则等于 ． 【答案】112.5° 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．设，先根据圆内接四边形的性质可得，求解出x的值，即可得到，进而可求． 【详解】解：设， ∵四边形是圆内接四边形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点、、都在上，，，的度数 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了圆周角定理和圆心角定理，掌握圆的相关性质是解题关键．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得到，进而得到，再根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的度数， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为 ． 【答案】24 【分析】过O作于E，连接，，，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，则可判断是等腰直角三角形，求出的度数，根据等腰三角形三线合一的性质求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，根据垂径定理和线段垂直平分线的性质可判定是等腰直角三角形，可求出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过O作于E，连接，，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直径， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握垂径定理，证出是解题的关键． 三、解答题 11．（吉林省松原市前郭县北部学区2024~2025学年九年级上学期期中数学测试）如图，在中，若，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理和等弧对等弦，由，得，再根据三角形内角和定理，求得度数． 【详解】解：， ， ， ， ． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，D为下方上一点，C为的中点，连接． (1)与的数量关系为___________，请证明你的结论； (2)于点E，若，求的半径． 【答案】(1)，见解析； (2)5 【分析】（1）连接，求得，得到，由圆周角定理求得，代入计算即可求解； （2）延长交于点H．由垂径定理求得，推出为的中位线，求得，证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：． 理由如下：连接， 为的中点， ， ， ， 是的直径， ， ， ； （2）解：延长交于点H． 为的中点， ， 为的中位线， ， 在和中， ， ， ， ， 即的半径为5． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 13．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，是的直径，四边形内接于，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角定理得出，由于点E得出，即可得证； （2）由垂径定理得出，设，则，由勾股定理可得，求出 ，得出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、平行线的判定定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 14．（2024九年级上·全国·专题练习）请用无刻度的直尺完成下列画图． (1)在图1中，是的外接圆，是的中点，先画的中线，再画的内接矩形； (2)在图2中，是直径，是圆内一点，先画的高，再画于点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，解题关键是仔细分析题意，结合垂径定理、圆周角定理、矩形的判定定理、垂心的定义等知识作图． （1）连接交于点，连接，结合是的中点易知为中点，故为的中线；连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，根据“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”，即可获得答案； （2）延长交圆于点，连接，因为是直径，所以，即为的高；延长交圆于点，连接并延长交延长线于点，连接并延长交于点，根据“直径所对的圆周角为直角”可知，则点为的垂心，进而可知，即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，线段、四边形即为所求； （2）如下图，线段、即为所求． 15．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，是的直径，点为上一点，为弧的中点，过作于点，交于点，交弦于点，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据证明，可得结论； （2）先根据垂径定理可得，设的半径为，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 为的直径，， ， ， ，， ， ； （2）解：如图，连接交于点， 为的直径，， ， ， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：， ， ， 的半径为5． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题的关键是掌握垂径定理的内容． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$