专题16 垂径定理（9大题型+过关训练）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题16 垂径定理 目录 【题型一 垂径定理的概念识别】 1 【题型二 由垂径定理求线段的长度】 2 【题型三 由垂径定理求面积】 3 【题型四 由垂径定理解决平行弦问题】 4 【题型五 由垂径定理求坐标】 4 【题型六 由垂径定理解决同心圆问题】 5 【题型七 利用垂径定理格点作图】 6 【题型八 利用垂径定理解决动点问题】 7 【题型九 垂径定理的应用】 8 【题型一 垂径定理的概念识别】 例题：如图，是的直径，点B是弧的中点．下列结论错误的是（　　） A．点A是弧的中点 B． C．平分 D．平分 【变式训练】 1．如图，是的直径，是的弦，于点，则下列结论不一定正确的是要（　　） A． B． C． D． 2．在中，半径为，弦垂直平分弦，则 ． 【题型二 由垂径定理求线段的长度】 例题：如图，在中，半径交弦于点，点为中点，若，，则的长为（   ） A．8 B．5 C．4 D．3 【变式训练】 1．如图，在中，点，，在圆上，且，垂足为．若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ． 【题型三 由垂径定理求面积】 例题：如图，是的直径，弦于，连接，过点作于，若，，则的面积是（  ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×失+失²）．弧田（图中阴影部分）由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积约为 米．（） 2．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点B，点C，当，时，大圆与小圆的面积之差为 ．    【题型四 由垂径定理解决平行弦问题】 例题：已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【变式训练】 1．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 2．在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 【题型五 由垂径定理求坐标】 例题：如图，半径为的与轴交于点、，则点的横坐标为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练】 1．如图，在带有正方形网格的平面直角坐标系中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（　　） A． B． C． D． 2．如图，平面直角坐标系中，与轴交于点与，的半径是，则点的坐标是 ． 【题型六 由垂径定理解决同心圆问题】 例题：将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【变式训练】 1．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD． 2．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【题型七 利用垂径定理格点作图】 例题：如图，由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点，经过A，B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中画出圆心； (2)在图2中画出的中点E． 【变式训练】 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点； (2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； (3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点； (4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 2．如图，在的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求作图： (1)已知点B在上，作所在圆的圆心O（保留作图痕迹）； (2)作格点（顶点均在格点上），使与互补． 【题型八 利用垂径定理解决动点问题】 例题：如图，⊙O的半径为5，弦，P是弦上的一个动点，则的长可能是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式训练】 1.如图，点是上两点，，点P是上的动点（P与不重合），连接，过点O分别作交于点E，交于点F，则等于（　　）    A．2 B．3 C．5 D．6 2．在中，AB是的直径，，，M是上一动点，的最小值是 ． 【题型九 垂径定理的应用】 例题：如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ）    A．1米 B．2米 C．米 D．米 【变式训练】 1．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水面宽度变为，则此时排水管水面上升了 ． 2．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为 （结果保留整数） 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（  ） A．1 B． C． D．4 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，，以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度，半径于，液面深度，则该管道的直径长为（   ） A． B． C． D． 4．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，在中，弦的长为2，点C在上移动，连接，过点C作交于点D，则的最大值为（  ） A．4 B．2 C． D．1 5．（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知：如图，是的弦，的半径为5，于点D，交于点C，且，那么的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题 6．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接，若，则等于 ． 7．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在圆O中，弦，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接、，过点O分别作，，垂足分别是点D、E，则 ． 8．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）如图，是的半径，弦于点D，连接．若的的半径为，的长为，则的长是 ．    9．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，圆铁片上切下一块高为的弓形铁片，则弓形的弦长为，则该圆的半径为 ． 10．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，为的直径，弦于点，若，，则的半径为 ． 三、解答题 11．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，求弦的长． 12．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点D，连接，．若，，求的面积． 13．（24-25九年级上·北京·阶段练习）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.7m，地面入口宽为1.8m，求该门洞的半径． 14．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，弦与相交于点E，． (1)求证：； (2)若的半径为4，，求的长． 15．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，为的直径，，垂足为F，，垂足为E，连接． (1)求的度数； (2)若，求的半径． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 垂径定理 目录 【题型一 垂径定理的概念识别】 1 【题型二 由垂径定理求线段的长度】 3 【题型三 由垂径定理求面积】 5 【题型四 由垂径定理解决平行弦问题】 8 【题型五 由垂径定理求坐标】 11 【题型六 由垂径定理解决同心圆问题】 14 【题型七 利用垂径定理格点作图】 17 【题型八 利用垂径定理解决动点问题】 21 【题型九 垂径定理的应用】 23 【题型一 垂径定理的概念识别】 例题：如图，是的直径，点B是弧的中点．下列结论错误的是（　　） A．点A是弧的中点 B． C．平分 D．平分 【答案】D 【分析】本题主要查了垂径定理．利用垂径定理一一判断即可． 【详解】解：∵B是弧的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∴平分，点A是弧的中点， 故A，B，C正确，D错误， 故选：D． 【变式训练】 1．如图，是的直径，是的弦，于点，则下列结论不一定正确的是要（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理.解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．由于，根据垂径定理有，，因为、都为圆的半径，可得，不能得出． 【详解】解：∵， ∴，，所以A选项、B选项正确，不符合题意； 只有当垂直平分时，，所以C选项符合题意； ∵、都为圆的半径， ∴，所以D选项正确，不符合题意． 故选：C． 2．在中，半径为，弦垂直平分弦，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查的是垂径定理的推论，根据垂直平分弦的直线必过圆心可得出弦为直径，即可解决问题． 【详解】解：在中，半径为，弦垂直平分弦， 根据垂直平分弦的直线必过圆心，则弦必为直径， ， 故答案为：20． 【题型二 由垂径定理求线段的长度】 例题：如图，在中，半径交弦于点，点为中点，若，，则的长为（   ） A．8 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．根据垂径定理，可得，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∴， 在中，， 故选：D． 【变式训练】 1．如图，在中，点，，在圆上，且，垂足为．若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题关键． 先根据勾股定理得，再根据垂径定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，直角三角形的性质，过O作于F，连接，根据垂直定义得出，即可求出，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，即可求出答案， 能熟记垂径定理是解此题的关键． 【详解】解：如图所示，过O作于F，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵，过圆心O， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型三 由垂径定理求面积】 例题：如图，是的直径，弦于，连接，过点作于，若，，则的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设的半径为，则，先由勾股定理构建方程求出半径的长，再由三角形面积和垂径定理即可解决问题． 【详解】解：连接，如图所示： 设的半径为，则， 是的直径，，， ， 在中，， 解得：， 的面积， ， ， 的面积的面积， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理以及三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理，属于中考常考题型． 【变式训练】 1．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×失+失²）．弧田（图中阴影部分）由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积约为 米．（） 【答案】 【分析】由题意可知于D，交圆弧于C，由题意得米，解得米，再求出，最后由勾股定理得到，由垂径定理求出即可得出结果． 【详解】解：如图，由题意可知， ，，（米）， ， （米） （米） （米） （米） 弧田面积 （平方米） 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用；熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． 2．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点B，点C，当，时，大圆与小圆的面积之差为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，平方差公式和圆的面积，连接，作于点E，根据垂径定理得，，再根据圆的面积公式，勾股定理和平方差公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，作于点E，则，，    ∴ ∴ 大圆与小圆的面积之差为： ． 故答案为：． 【题型四 由垂径定理解决平行弦问题】 例题：已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 【变式训练】 1．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 2．在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 【答案】2或14 【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，    过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图，    过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 同理，， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 【题型五 由垂径定理求坐标】 例题：如图，半径为的与轴交于点、，则点的横坐标为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，垂径定理等知识，过点A作与D，连接，根据点B和点C的坐标求出，再根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过点A作与D，连接, ,半径为5的与y轴交于点， ， 过圆心A， ， 由勾股定理得： ， 点的横坐标为3， 故选择：A． 【变式训练】 1．如图，在带有正方形网格的平面直角坐标系中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用，数形结合是解答此题的关键．根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图，线段的垂直平分线即， 线段的垂直平分线的交点即为弧的圆心． 即圆心的坐标是， 故选：B． 2．如图，平面直角坐标系中，与轴交于点与，的半径是，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，坐标与图形．熟练掌握垂径定理是解题的关键．连接，作于，则，由垂径定理可得，，由勾股定理得，，进而可求点坐标． 【详解】解：如图，连接，作于，则，    由垂径定理可得，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【题型六 由垂径定理解决同心圆问题】 例题：将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 【变式训练】 1．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD． 【答案】证明见解析. 【分析】过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，又因为AE-CE=BE-DE，进而求证出AC=BD． 【详解】过O作OE⊥AB于点E， 则CE=DE，AE=BE， ∴BE-DE=AE-CE. 即AC=BD. 【点睛】本题考查垂径定理的实际应用． 2．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)小圆的半径r为 【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论； （2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长； 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1， 由垂径定理可得 ∴ ∴ （2）解：连接，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得 ∴，即小圆的半径r为． 【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 【题型七 利用垂径定理格点作图】 例题：如图，由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点，经过A，B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中画出圆心； (2)在图2中画出的中点E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、垂径定理以及弦、弧、圆周角间的关系等知识点，灵活运用垂径定理是解题的关键． （1）由图1可知是直径，连接，作的垂直平分线，其与的交点即为所求； （2）根据垂径定理以及弦、弧、圆周角间的关系作图即可． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求． （2）解：如图2，点E即为所求． 【变式训练】 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点； (2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； (3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点； (4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析； (4)作图见解析． 【分析】（）找中点，连接，交与点； （）先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可； （）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点； （）根据网格特征即可； 此题考查了无刻度直尺作图，解题的关键是熟练掌握垂径定理的应用． 【详解】（1）如图，找中点，连接，交与点， ∴点即为所求； （2）如图，先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可， ∴点即为所求； （3）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点， ∴点即为所求； （4）如图，已知图中， 延长交于点， ∴，根据网格作高的特点，作的高， ∴，延长交于点， 根据同弧所对的圆周角相等，则， ∴， ∴， ∴ ， ∴点即为所求． 2．如图，在的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求作图： (1)已知点B在上，作所在圆的圆心O（保留作图痕迹）； (2)作格点（顶点均在格点上），使与互补． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图应用设计作图，熟记线段垂直平分线的作法是解题的关键． （1）连接、，分别作、的垂直平分线相交于点，则点即为所求； （2）延长交格点，连接、，格点即为所求． 【详解】（1）如图所示，点即为所求；    （2）如图所示，格点即为所求． 【题型八 利用垂径定理解决动点问题】 例题：如图，⊙O的半径为5，弦，P是弦上的一个动点，则的长可能是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查圆的概念辨析，垂径定理，根据点的位置，为半径时，最长，时，最短，求出的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：当点与点或点重合时，为半径，长度最长为5； 当时，由垂线段最短，可知此时最短， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长可能是； 故选C． 【变式训练】 1.如图，点是上两点，，点P是上的动点（P与不重合），连接，过点O分别作交于点E，交于点F，则等于（　　）    A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先根据垂径定理得出，故可得出是的中位线，再根据中位线定理即可得出结论． 【详解】解：于于， ， 是的中位线， ． 故选：C． 【点睛】本题考查的是垂径定理，中位线定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解答此题的关键． 2．在中，AB是的直径，，，M是上一动点，的最小值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键．作点C关于的对称点，连接与相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出为直径，从而得解． 【详解】解：如图，作点C关于的对称点，连接与相交于点M， 此时，点M为的最小值时的位置，即点M与点O重合 由垂径定理，， ∴， ∵，为直径， ∴为直径， 即 ∴的最小值是． 故答案为：8． 【题型九 垂径定理的应用】 例题：如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ）    A．1米 B．2米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，交于D，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可． 【详解】连接，交于D，      由题意得：米，， 米，， 在中 米， 米， 即点C到弦所在直线的距离是米， 故选：C． 【变式训练】 1．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水面宽度变为，则此时排水管水面上升了 ． 【答案】10或70 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理的运用，解题的关键是垂径定理，易错点是分类讨论水面在直径是下方和上方． 根据半径为，则直径为；又根据水面宽度为，则有两种情况，水面在水面平行的直径下方，过点作于点；水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点，根据垂径定理，勾股定理，即可求出． 【详解】连接 ∵ ∴圆的直径为 ∴水面在水面平行的直径下方 ∴过点作于点 ∴且与交于点 ∵， ∴， ∴在直角三角形中， ∴ ∴； 在直角三角形中， ∴ ∴ ∴上升的距离为 水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点 同理可得，上升的距离为：． 故答案为：10或70． 2．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为 （结果保留整数） 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R， ， 是半径，且， ， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（  ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧． 根据垂径定理得出，再根据勾股定理，即可解答． 【详解】解：∵圆心到弦的距离为2， ∴， ∵弦的长为4， ∴， ∴， 即圆O的半径长是， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，，以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 过C作交于点M，首先根据勾股定理求出，然后利用等面积法求出，然后利用勾股定理求出，最后利用垂径定理求解即可． 【详解】解：如图，过C作交于点M， ∵，，， ∴， 由垂径定理可得M为的中点， ∵， ∴ ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴ （舍去负值）． ∴． 故选：C． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度，半径于，液面深度，则该管道的直径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 连接，由，利用垂径定理可得为的中点，于是可求出的长，设圆的半径为，由可表示出，在中，利用勾股定理即可求出的值，进而可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， 为的中点， ， 设圆的半径为， 在中， ， 根据勾股定理，得： ， 即：， 整理，得：， 解得：， 该管道的直径长为， 故选：． 4．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，在中，弦的长为2，点C在上移动，连接，过点C作交于点D，则的最大值为（  ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先由勾股定理得到，则当的值最小时，的值最大，再由垂线段最短可得当时，最小，即此时的值最大，此时D、B两点重合，据此利用垂径定理可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， 当的值最小时，的值最大， ∴当时，最小，即此时的值最大，此时D、B两点重合， ∴， 即的最大值为1， 故选：D． 5．（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知：如图，是的弦，的半径为5，于点D，交于点C，且，那么的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识．连接，根据垂径定理得到，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵于点D， ∴， 在中，， 即， 解得：. ∴ 故选：C． 二、填空题 6．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接，若，则等于 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先由垂径定理得到E为的中点，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴E为的中点，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 故答案为：16． 7．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在圆O中，弦，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接、，过点O分别作，，垂足分别是点D、E，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查垂径定理，由知，同理得出，从而知，据此可得答案． 【详解】解：经过圆心，， ， 同理：， 是△的中位线， ， ， ， 故答案为：4． 8．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）如图，是的半径，弦于点D，连接．若的的半径为，的长为，则的长是 ．    【答案】8 【分析】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．根据垂径定理可得的长，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，圆铁片上切下一块高为的弓形铁片，则弓形的弦长为，则该圆的半径为 ． 【答案】50 【分析】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，连接，过点作交于点，利用垂径定理得出，再利用勾股定理得出，解方程即可得出答案． 【详解】解：如图所示：连接，过点作交于点， ∵， ∴ 设圆的半径为， 在中， ， 即， 解得：， 故答案为：50． 10．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，为的直径，弦于点，若，，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．连接，设的半径为，根据垂径定理求出，根据勾股定理列式计算，得到答案． 【详解】解：连接， 设的半径为，则， ，为的直径，， ， 由勾股定理得，， 即， 解得，， 则的半径为5， 故答案为：5． 三、解答题 11．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，求弦的长． 【答案】24 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，连接，根据垂径定理得到，根据求出的长，根据求出的长，利用勾股定理求出，即可得到的长． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为的直径，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 12．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点D，连接，．若，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是垂径定理的推论、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理．先根据垂径定理的推论得到，再由线段中点的定义得到，再根据勾股定理求出圆的半径，则的面积即可求解． 【详解】解：设的半径是， 点是的中点，过圆心， ， ，， ，， 在直角中，由勾股定理得， ， 解得， ， ． 13．（24-25九年级上·北京·阶段练习）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.7m，地面入口宽为1.8m，求该门洞的半径． 【答案】该门洞的半径为． 【分析】本题主要考查垂径定理的应用．设半径为，根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为， 由题意可知，，，， 中，，即， 解得． 答：该门洞的半径为． 14．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，弦与相交于点E，． (1)求证：； (2)若的半径为4，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的概念及性质的应用，垂径定理及勾股定理的应用是解题关键． （1）由得，再证明，从而证明出，据此可证明结论成立； （2）根据勾股定理得出，再由垂径定理得出的长即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ∴， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， ． 15．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，为的直径，，垂足为F，，垂足为E，连接． (1)求的度数； (2)若，求的半径． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据垂径定理和线段垂直平分线的性质得到，进而证明是等边三角形即可求解； （2）设，先求得，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵为的直径，，， ∴，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：设， ∵是等边三角形，， ∴， 则在中，， 由得， 解得，即， ∴的半径为4． 【点睛】本题考查垂径定理、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形性质、勾股定理等知识，理解垂径定理是解答的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$