专题15 圆（10大题型+过关训练）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题15 圆 目录 【题型一 圆的基本概念】 1 【题型二 识别圆心角】 2 【题型三 求圆中弦的条数】 3 【题型四 圆的周长和面积】 4 【题型五 确定圆内一点最长的弦】 4 【题型六 判断点与圆的位置关系】 5 【题型七 由点与圆的位置关系求半径】 6 【题型八 求一点到圆上的距离的最值】 6 【题型九 圆中角度的计算】 7 【题型十 圆中线段长度的计算】 8 【题型一 圆的基本概念】 例题：（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，下列说法正确的是（　　） A．线段，，都是的弦 B．线段经过圆心O，线段是直径 C． D．弦把圆分成两条弧，其中是劣弧 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）有下面4个命题： ①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦； ④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，其中真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）到点的距离等于的点的集合是 ． 【题型二 识别圆心角】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角 . 【题型三 求圆中弦的条数】 例题：（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【变式训练】 1．（22-23九年级上·北京·单元测试）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 2．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【题型四 圆的周长和面积】 例题：（22-23八年级上·广东揭阳·期中）如图，阴影部分是一个半圆，则这个半圆的面积是（　　）． A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24六年级上·黑龙江大庆·阶段练习）两个连在一起的皮带轮，其中一个轮子的直径是，当另一个轮子转1圈时，它要转3圈，另一个轮子的周长是（　　）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，两个同心圆组成的圆环面积是16，则以圆心O为一个顶点，分别以两圆半径为边长作正方形和正方形，点D在OA上，点F在OC上，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 【题型五 确定圆内一点最长的弦】 例题：（23-24九年级下·全国·单元测试）已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，则的最大值为 ．    【题型六 判断点与圆的位置关系】 例题：（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）点到圆的距离为，若点在圆外，则圆的半径满足（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）在中，，，以点为圆心，为半径作，则点与的位置关系是（    ） A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）的半径为4，点与点距离为2，则点与的位置关系是 ． 【题型七 由点与圆的位置关系求半径】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．若点B在圆上，则a值为（　　） A．2或3 B．或3 C．或1 D．或2 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知点P在半径为r的内，且，则r的值可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系内，点，点B的坐标为，的半径为5．若点B在内，则a的范围是 ． 【题型八 求一点到圆上的距离的最值】 例题：（2024·辽宁大连·三模）已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点，交于一点，则当取得最大值时，的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023·江苏盐城·模拟预测）在平面内，在中，过点A作边上的垂线平面内一点E到点A的距离，若最长为，则（   ） A．4 B．2 C． D．2 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，以1为半径的圆上有一动点两点均在y轴上，且，则的值为 （用含的代数式表示），的最大值为 ． 【题型九 圆中角度的计算】 例题：（2023·江苏宿迁·一模）如图，点A，B，C在上，，，则（　　）． A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，是的直径，点C、D在上，且点C、D在的异侧，连结．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且的延长线交于E，若，则的度数是 ． 【题型十 圆中线段长度的计算】 例题：（23-24八年级下·河南·阶段练习）如图，直线，垂足为，线段，，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式训练】 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，若以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，弦交于点，若，，则的半径为 ． 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，为的直径，为上的一动点（不与、重合），于，的平分线交于，则当在上运动时，点的位置（   ） A．随点的运动而变化 B．不变 C．在使的劣弧上 D．无法确定 2．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，在 中，，，， 是 的外接圆，则下列说法正确的个数是 （   ） ① 和 都是劣弧； ②是 中最长的弦； ③，， 三点能确定一个圆； ④ 的半径为 ． A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，边长为2的正方形的中心和半径为2的的圆心重合，点E，F分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）已知的半径为，点在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，是的直径，点，在圆上，且经过中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，已知，，的直径长是 ． 7．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，的弦、半径的延长线交于点D，．若，则的度数是 ． 8．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是 ． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的半径，B为上一点（不与点O，A重合），过点B作的垂线交于点C．以为边作矩形，连接．若，则的长为 ． 10．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，则 ．                     三、解答题 11．（22-23六年级下·山东淄博·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在三角形中，，，，是高线，是中线． (1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？ 13．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是上的三个点， 、、． (1)在图上标出圆心，圆心的坐标为____； (2)求的半径，并判断点与的位置关系． 14．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，半径交于点D，若，，求的半径． 15．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，延长，相交于点P，且，，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 圆 目录 【题型一 圆的基本概念】 1 【题型二 识别圆心角】 3 【题型三 求圆中弦的条数】 4 【题型四 圆的周长和面积】 5 【题型五 确定圆内一点最长的弦】 7 【题型六 判断点与圆的位置关系】 9 【题型七 由点与圆的位置关系求半径】 10 【题型八 求一点到圆上的距离的最值】 11 【题型九 圆中角度的计算】 14 【题型十 圆中线段长度的计算】 17 【题型一 圆的基本概念】 例题：（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，下列说法正确的是（　　） A．线段，，都是的弦 B．线段经过圆心O，线段是直径 C． D．弦把圆分成两条弧，其中是劣弧 【答案】B 【分析】本题考查圆的相关定义，根据弦的定义对A进行判断；根据直径的定义对B进行判断；不能确定，则可对C进行判断；根据劣弧和优弧的定义对D进行判断． 【详解】解：A．线段，都是的弦，不是，所以A选项不符合题意； B．线段经过圆心O，线段是直径，所以B选项符合题意； C．当点D为的中点时，，所以C选项不符合题意； D． 为优弧，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）有下面4个命题： ①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦； ④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，其中真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理及圆的认识的知识，解题的关键是了解等圆、等弧、弦的定义，难度不大，属于基础题．利用等圆、等弧、弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①直径相等的两个圆是等圆，正确，是真命题； ②长度相等的弧是等弧，错误，是假命题； ③圆中最长的弦是通过圆心的弦，正确，是真命题； ④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不一定是等弧，错误，是假命题， 真命题有两个． 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）到点的距离等于的点的集合是 ． 【答案】以点为圆心，为半径的圆 【分析】本题考查了圆的定义：圆是到定点距离等于定长的点的集合．根据圆的定义即可作答． 【详解】解：到点的距离等于的点的集合是以点为圆心，为半径的圆 故答案为：以点为圆心，为半径的圆． 【题型二 识别圆心角】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆心上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键．根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆心角的概念，确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是． 【详解】解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角． 故选：B． 2．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角 . 【答案】 【分析】的度数即为所对圆心角的度数； 【详解】解：的度数即为所对圆心角的度数； ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系；正确理解圆心角的定义是解题的关键． 【题型三 求圆中弦的条数】 例题：（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·北京·单元测试）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】A 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有，共2条． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键． 2．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 【题型四 圆的周长和面积】 例题：（22-23八年级上·广东揭阳·期中）如图，阴影部分是一个半圆，则这个半圆的面积是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图中的直角三角形中已知斜边与一条直角边，求出直径，计算圆的面积即可． 【详解】解：由图中直角三角形中：斜边，一条直角边，根据勾股定理可得： ， 这个半圆的面积 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理及圆的面积计算，关键是掌握勾股定理所揭示的直角三角形边长之间关系和圆的面积公式． 【变式训练】 1．（23-24六年级上·黑龙江大庆·阶段练习）两个连在一起的皮带轮，其中一个轮子的直径是，当另一个轮子转1圈时，它要转3圈，另一个轮子的周长是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，当大轮转一圈时，小轮转3圈，也就是大轮的直径是小轮直径的3倍，根据圆的周长公式即可解答． 【详解】解：根据题意可知，当大轮转一圈时，小轮转3圈，也就是大轮的直径是小轮直径的3倍，即校园的直径为，所以另一个轮子的周长是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查圆的周长公式，由大轮子转一圈、小轮子转3圈得到大轮的直径是小轮直径的3倍是解题的关键． 2．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，两个同心圆组成的圆环面积是16，则以圆心O为一个顶点，分别以两圆半径为边长作正方形和正方形，点D在OA上，点F在OC上，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了求出阴影部分面积，设大圆的半径为，小圆半径为，利用圆环面积等于即可求出． 【详解】解： 因为两个同心圆组成的圆环面积是16， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积=， 故答案为：． 【题型五 确定圆内一点最长的弦】 例题：（23-24九年级下·全国·单元测试）已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．利用圆的直径为圆中最长的弦求解． 【详解】解：∵的半径是， ∴中最长弦长是． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，则的最大值为 ．    【答案】8 【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边一半，四点共圆，取的中点O，则，即四点共圆，当是圆的直径时，其值最大为8． 【详解】解：取的中点O，连接，   ， ， 四点在以点O为圆心，为半径的同一个圆上， ∴当是圆的直径时，其值最大为8． 故答案为：8． 【题型六 判断点与圆的位置关系】 例题：（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）点到圆的距离为，若点在圆外，则圆的半径满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断．解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，反过来与成立．据此解答即可． 【详解】解：∵点到圆的距离为，点在圆外， ∴，即． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）在中，，，以点为圆心，为半径作，则点与的位置关系是（    ） A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据半径小于点到圆心的距离即可求解，掌握点和圆的位置关系：时，点在圆外；时，点在圆上；时，点在圆内是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，，， ∴点在外， 故选：． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）的半径为4，点与点距离为2，则点与的位置关系是 ． 【答案】点A在内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点A到圆心的距离，则有：当时，点P在圆外；当点P在圆上；当点P在圆内．据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为4，点与点的距离为2， ∴点A 到圆心O的距离小于圆半径， ∴点A在内． 故答案为：点A在内． 【题型七 由点与圆的位置关系求半径】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．若点B在圆上，则a值为（　　） A．2或3 B．或3 C．或1 D．或2 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点与圆的位置关系是解题的关键．根据点A的坐标和圆A的半径以及两点之间的距离即可求出答案． 【详解】，圆A的半径为2， ， ， 解得或3． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知点P在半径为r的内，且，则r的值可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系定理是解决问题的关键．根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：∵点P在半径为r的内，且， ∴， 比较四个选项，只有， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系内，点，点B的坐标为，的半径为5．若点B在内，则a的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，点和圆的位置关系．设交轴于点，连接，利用勾股定理求得，根据点和圆的位置关系即可求解． 【详解】解：如图，设交轴于点，连接， ∵点，的半径为5， ∴，， ∴， 若点在内， ∴， 故答案为：． 【题型八 求一点到圆上的距离的最值】 例题：（2024·辽宁大连·三模）已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点，交于一点，则当取得最大值时，的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直线上点的坐标特征，圆外一点到圆上点距离的最大值；由题意知，当圆心I在线段上，取得最大值，把点I的坐标代入中，即可求得k的值． 【详解】解：由题意知，当圆心I在线段上，取得最大值， 此时直线过点I， 把点I坐标代入中，得：， 解得：； 故选：D． 【变式训练】 1．（2023·江苏盐城·模拟预测）在平面内，在中，过点A作边上的垂线平面内一点E到点A的距离，若最长为，则（   ） A．4 B．2 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，得出点E的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆上，并且结合勾股定理列式得，因为，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，过点A作边上的垂线平面内一点E到点A的距离， ∴点E的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆上，如图： 上图，此时点E在的延长线上，满足最长为， 设， ∵在中， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 则， 故选：B． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，以1为半径的圆上有一动点两点均在y轴上，且，则的值为 （用含的代数式表示），的最大值为 ． 【答案】 34 【分析】本题考查一点到圆上的距离的最值，两点的距离公式，坐标与图形的性质，关键是掌握两点的距离公式． 由两点的距离公式，，进而求出，进而得到，当在延长线上时，最大，此时最大，根据两点间距离公式求出即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． ， ， ∴当最大时，最大， 当点为的延长线与的交点时，最大． ∵点C的坐标是， , ∴此时， ， 的最大值是34． 故答案为：34． 【题型九 圆中角度的计算】 例题：（2023·江苏宿迁·一模）如图，点A，B，C在上，，，则（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆的半径相等，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，根据等边对等角得到，然后求出，然后利用等边对等角求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，是的直径，点C、D在上，且点C、D在的异侧，连结．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质及圆的基本性质，由半径相等得到是解题的关键． 首先由可以得到，又由得到，由此即可求出的度数． 【详解】解：∵ ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且的延长线交于E，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，圆的性质，先证明，则，由三角形外角的性质得到，则可证明，再由三角形外角的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型十 圆中线段长度的计算】 例题：（23-24八年级下·河南·阶段练习）如图，直线，垂足为，线段，，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理以及圆的性质，根据勾股定理求出，再根据半径相等可得出，最后利用线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点． ∴， ∴， 故选：D． 【变式训练】 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，若以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键． 连接，由直角三角形斜边中线定理可得，然后可得是等边三角形，则有，进而根据勾股定理可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点，，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，弦交于点，若，，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理．连接，在中应用勾股定理列式，即可求解． 【详解】解：连接， ， ， 在中，，即：， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，为的直径，为上的一动点（不与、重合），于，的平分线交于，则当在上运动时，点的位置（   ） A．随点的运动而变化 B．不变 C．在使的劣弧上 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，以及平行线的判定和性质，在同圆或等圆中，等弧对等弦． 因为是的平分线，所以，所以，则，所以，所以点是线段垂直平分线和圆的交点．从而可得出答案． 【详解】解：连接， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点是线段垂直平分线和圆的交点， ∴当在上运动时，点不动． 故选B． 2．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，在 中，，，， 是 的外接圆，则下列说法正确的个数是 （   ） ① 和 都是劣弧； ②是 中最长的弦； ③，， 三点能确定一个圆； ④ 的半径为 ． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的相关知识，涉及劣弧的定义，弦长，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关的知识．根据劣弧的定义，弦长，勾股定理逐一判断即可． 【详解】① 和 都用两个字母表示，是小于半圆的弧，是劣弧，故①正确； ②，是 的直径，又直径是圆中最长的弦，故②正确； ③过同一条直线上的三个点不能作圆，故③错误； ④ ，，，， 的半径为 ，故④正确． 故选: C． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，边长为2的正方形的中心和半径为2的的圆心重合，点E，F分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆的性质，正方形的性质，求不规则的图形的面积，延长，分别交于M，N，阴影部分的面积就是圆的面积减去正方形的面积的差的四分之一，据此求解即可． 【详解】如图，延长，分别交于M，N， 阴影部分的面积为：． 故选：B． 4．（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）已知的半径为，点在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系即可得出答案，熟练掌握：当时，点在圆外，当时，点在圆上，当时，点在园内，是解此题的关键． 【详解】解：的半径为，点在上， ， 故选：C． 5．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，是的直径，点，在圆上，且经过中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形外角性质得出，根据等腰三角形的性质求出，求出，再求出答案即可．本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 【详解】解：连接，   ，， ， ， 为的中点，， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，已知，，的直径长是 ． 【答案】10 【分析】连接，如图，利用勾股定理计算出OC即可，本题考查了勾股定理，直径等于半径的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， 在中， ∴， 即的直径为10． 故答案为10． 7．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，的弦、半径的延长线交于点D，．若，则的度数是 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查圆的有关性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质，连接，先根据等腰三角形的性质得到，，再利用三角形的外角性质到，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴在中，，， ∴， 解得， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是 ． 【答案】/60度 【分析】连接、，证明为等边三角形得到即可． 【详解】解：如图，连接、，   直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的半径，B为上一点（不与点O，A重合），过点B作的垂线交于点C．以为边作矩形，连接．若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查勾股定理、矩形的性质、圆的基本概念等知识．根据题意利用矩形的性质得出是解此题的关键． 如图，连接．由矩形的性质得到，勾股定理得到，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 10．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，则 ．                     【答案】 【分析】本题考查了圆，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握圆，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键． 如图，连接，则，由，可得，则，，由，可得，由，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（22-23六年级下·山东淄博·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在三角形中，，，，是高线，是中线． (1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？ 【答案】(1)点在圆A上，点在圆A内，在圆A外 (2) 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，掌握通过圆心与点的距离和半径的大小关系判断点与圆的位置关系是解题的关键； （1）先利用勾股定理计算出，再利用等面积法求出，然后根据点与圆的位置关系进行判断即可； （2）使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，根据，，可知，C必定在圆外，D必定在圆内，据此求出半径范围即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， 半径， ， ，， 点在圆A上，点在圆A内，在圆A外； （2）解：使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，，，， ，即， 圆A的半径的取值范围为． 13．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是上的三个点， 、、． (1)在图上标出圆心，圆心的坐标为____； (2)求的半径，并判断点与的位置关系． 【答案】(1)见解析， (2)的半径为，点在上 【分析】本题考查了垂径定理的推论、点与圆的位置关系、坐标与图形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，结合图形即可得出圆心的坐标； （2）求出的半径和的长，即可得解． 【详解】（1）解：如图，圆心即为所作， ， 圆心的坐标为； （2）解：∵， ∴的半径为， ∵， ∴点在上． 14．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，半径交于点D，若，，求的半径． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，连接，根据题意可得，设，则，根据勾股定理可得，求解即可． 【详解】解：如图，连接， 可知． 设，则， ， ． 即的半径为． 15．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，延长，相交于点P，且，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆的特点，等腰三角形性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，连接，得到，进而得到，结合三角形外角性质得到，结合等腰三角形性质和三角形内角和定理得到，进而推出的度数，即可解题． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$