上海市上海师范大学附属中学闵行分校2024-2025学年高三上学期第三次半月考数学试题

2025届上师大闵分高三第三次半月考数学试卷 一、填空题 1.函数f(x)=lg(x-)的定义域是 【答案】(L,+∞) 【解析】要使函数f(x)=g(x-)有意义，则x-1>0,解得x>1,即函数(x)=lg(x-)的定义域是(L,+) 2.已知向量a=(2m,1),b=(L,m-3),若a16,则实数m= 【答案】1 【解析】因为向量a=(2m,1),6=(1,m-3),ā⊥6，所以a-6=(2m,1)(1,m-3)=2m+m-3=0,解得m=1. 3.已知复数z=l+ai(a∈R),其中i是虚数单位，Re(i)=2,则a= 【答案】-2 【解析】依题意，zi=(1+ai)i=-a+i,而Re(zi)=2,所以-a=2,a=-2 4.已知(3+a)'的展开式中各项系数的和为32，则a= 【答案】-1 【解析】令x=1,得(3+)的展开式中各项系数的和为(3+a)°=32=2，解得a=-1. 5.己知双曲线的渐近线方程为y=“,且右顶点与椭圆二+二=1的右焦点重合，则这个双曲线的标准方 43 程是 【答案】x2-y2=1 【解析】设双面线的方程是若茶-a>06>0), ~双曲线的渐近线方程是y=士x,:=1O. 0 由椭圆父+上=1的方程知右焦点L,0),则双曲线的右顶点坐标为L0) 43 ∴.双曲线方程中的a=1②. 解①②得：a2=1,b2=1,所求双曲线的标准方程为x2-y2=1. 6.“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”《增广贤文》是勉励人们专心学习的如果每天 的“进步”率都是1%，那么一年后是(1+1%)=1.015，如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是 第1页共12页 0-1)=09心，一年后进步的是遇步的9-测”181倍如果每天的进步率和退步 =1.01)s 率都是20%，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是天（四舍五入精确）. 【答案】17 【解析】设经过x天“进步”的是“退步"的1000倍， 则1000×(1-0.2)=1.2，即 1.2 =1000, 0.8 故*=1og21000=g1000 3 3 08 g3-g20.17617 0.8 7.已知函数y=ar2+bx+c的图像如图所示，则不等式(r+b)(bx-c)>0的解集是 【答案() 【解析】由题意可知：方程2+br+c=0的两根为l,2,且a>0, =3 b=-3a 可得 a ，整理得 =2 c=2a a 则不等式(ar+b)(br-c)>0即为(axr-3a)(-3ar-2a)>0, 且0>0.可得（e-3x+2<0,解得-子x<, 所以不等式c+bbr-g小>0的解架是[子 8.若函数f(x)= 2,x≤0 的值域为(-，l,则实数m的取值范围是 -x2+m,x>0 【答案】0<m≤1 【解析】①当x≤0时，f)=2,即(x)e(0,刂， ②当x>0时，f(x)=-x2+m,即f(x)∈(-D,m), 由函数f(x)的值域为(-o,1],则0<m≤1. 9.某医院派出16名护士、4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援， 设X表示其中内科医生的人数，则X的期望为 【答案】 第2页共12页 【解析】由超几何分布的性质可知，X的期望为4×3=（人）· 20 10.设函数y=sn(2x+p)(0<9<)的图象与直线y=1相交的连续的三个公共点从左到右依次记为A, B,C,若BC=2AB,则正实数1的值为 【答案)片 【解析】作出函数y=sin(2x+p),的大致图象，如图，令2r+p=2kx+,keZ, 2 解得x=加+骨号大eZ, 则函数y=si(2x+p)的图象与直线y=1(0<1<l)连续的三个公共点A,B,C,(可以同时往左或往右 移动正整数倍周期长度) 即A,B关于直线x=kx+T-2, +42ke2对称，14CT=2 sin(2x+o） s元， 由于BC=2h,故1t4c+ 面A,B关于直线=红+经号kZ对称。 故A点横坐标为x+子是吾a+后号， 122' 将A点横坐标代入y=sin(2x+p),得sn+2a)=1= 6 2 11.如图，要在A和D两地之间修建一条笔直的隧道，现在从B地和C地测量得到：∠DBC=242°， ∠DCB=35.4°，∠DBA=31.6°，∠DCA=17.5°.则∠DAB= ·(结果精确到0.1) 【答案】52.5 【解析】由题可得∠BAC=180°-24.2°-35.4°-31.6°-17.5°=73.1°， 设∠DAB=0,则∠DAC=73.1°-0. AD DC 由题意，在△4DC中，siml7.5°sin(73.I°-0) DC BD 在△BDC中， sin24.20sin35.49, BD AD 在△BDA中， sin0sin3l.6°' 将上述三式相乘，得sinl7.5sin24.2°sin0=sin(71.3°-0)sin35.4°sin31.6°， 从而有sinl7.5sin24.2°=(sin71.3cot0-cos71.3)sin35.4sin31.6°， 第3页共12页 sin17.5°sin24.2° +cos71.3 sin71.3o*0.7672, 1 得cot0= sin35.4°sin31.6° 所以∠DAB≈arccot0.7672≈52.5°. 12.已知a6,E是平面向量，且e是单位向量，若非零向量a在e方向上的投影向量为e,向量5满足 62-4e6+3=0,则a-+后-3的最小值是 【答案】√⑨-1 【解析】如图，以e的正方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，设ā=OA,方=OB, 甚琴向量a在方向上的投影向量为co80,冒E, =3x 放有coa,e=分又aae0,可，放ae-骨 则a的终点A在y=√5x或y=-5x上， 又62-4e-+3=62-4e-6+302=(6-(6-3)=0, -3 故6-ē与6-3范垂直，如图所示， 由向量减法的几何表示，可知6的终点B就落在图中以D(2,0)为圆心，1为半径的圆上， 设=oc,则a-=4l,la-3河=l4C, 即a-+la-3=ABl+4C≥lAD+4C-1, 由对称性，不妨设点A在y=√5x上， 设点C(3,0)关于直线y=√x的对称点为C(x,y), [y5=-1 x-3 则有 解得 2 o4q-儿k0-1号2-1- 即a-列+a-3的最小值是、9-1. 二、单选题 13.“x>1”是“x>1”的( 第4页共12页 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】x>1可得x>1,则充分性成立， x>1得出x>1或x<-1,则必要性不成立， 则“x>1“是“x>1"的充分非必要条件，故选：A 14.小明在某比赛活动中已经进入前四强，他遇到其余四强的三人之一的获胜概率分别为0.3、0.4、0.65， 若小明等可能遇到其他选手，获胜则进入决赛，反之被淘汰，则小明进入决赛的概率为( A.0.45 B.0.5 C.0.55 D.0.6 【答案】A 【解析】设小明遇到的三人分别为A,B,C, 则小明遇到三人的概率都为 若小明与A比赛获胜的概率为0.3，与B比赛获胜的概率为0.4，与C比赛获胜的概率为0.65， 则小明进入决赛的概率为0.3×+0.4x+0.65×=0.45, 3 3 3 故选：A 15.已知？是复数，z是其共轭复数，则下列命题中正确的是( A.z2= B.若=1，则-1-i的最大值为2+1 C.若：=(1-2)，则复平面内：对应的点位于第一象限 D.若1-3i是关于x的方程x2+r+9=0(p,9∈R)的一个根，则g=-8 【答案】B 【解析】对于A,设z=a+bi(a,beR),则zP=a2+b2,z2=(a+bi=a2-b2+2abi,z2+≠，A错误： 对于B,由=1知，在复平面内表示复数：的点在以原点为圆心的单位圆上， z-1-i可看作该单位圆上的点到点(1,1)的距离，因为圆心到(1，)的距离为√2， 则该单位圆上的点到点(1，)的距离最大值为√互+1，B正确： 第5页共12页 对于C,z=(1-2i)=-3-4i,z=-3+4i,则复平面内z对应的点位于第二象限，C错误： 对于D,依题意，(1-3)+p1-3)+g=0,整理得(p+9-8)+(-3p-6)i=0, p+g-8=0 而P,g∈R,因此 仁3p-6=0,解得p=-2,9=10,D错误. 故选：B 16.已知函数∫)=c0sx+上的定义域为(0，+，将()的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为： 1 ,,,xn,对于正整数n有如下两个命题：甲：(n-)<x。<n;乙： (2n+1)x 恒成立：则( A.甲正确，乙正确 B,甲正确，乙错误 C.甲错误，乙正确 D.甲错误，乙错误 【答案】A 【解析】∫(x)的零点，即为函数y=cosx与函数y=-上图象在(0，+0)交点的横坐标 又注意到xe(0,+o)时，-<0， πX3 k∈N时，cos(π+2a)=-l<-1 π+2km keN,r}(登+2a2a时，s>0. 据此可将两函数图象画在同一坐标系中，如下图所示 甲命题，注意到k∈N时， ->0 元+2 结合图象可知当n=2-1,keN,xa》m上a-m 当n=2k,keN,戈∈a-n-》下=(a-)xm.故甲正确： 第6页共12页 乙命题， 由图象可知，随着n的增大，两点间距离越来越近， 恒成立故乙命题正确： 故选：A 三、解答题 17.如图，已知正四棱柱ABCD-AB,CD,底面正方形ABCD的边长为2，AA=3. (1)求证：平面A4CC⊥平面ABD: D (2)求点A到平面ABD的距离. 【答案】(1)见解析：(2)3 11 【解析】(1)因为四棱柱ABCD-AB,C,D,为正四棱柱， 所以AA⊥平面ABCD,且AC⊥BD, 因为BDC平面ABCD,所以AA⊥BD, 因为ACnA4=A,AC,A4c平面AACC, 所以BDL平面AACC, 又BDC平面4BD, 所以平面AACC⊥平面ABD (2)设点A到平面ABD的距离为d,AC与BD相交于点O连接AO, 因为正方形ABCD的边长为2，A4=3, 所以4B=4D=√4+9=3，BD=√4+4=2W5, 由三线合一可得：AO⊥BD,且BO=OD=√2， 由勾股定理得：40=√4D2-0D2=3-2=厅， 第7页共12页 所以5wD40×25x=反， Γ2 故wwd要a, 3 又5w-B,AD=2,441平面BD 故o=写9.o4=2, 63V22 由4-m=o→d=2 故点4到平面4BD的离为3区 11 18.已知函数f)=b2aeR6eR),. (1)当b=2时，是否存在实数a,使得y=∫(x)是奇函数： (2)对于任意给定的非零实数b,y=f(x)与x轴负半轴总有交点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)存在，a=4:(2)见详解 【解析】（1)当b=2时，则()=22产可知/（四的定义域为R, 若)y=f()是奇函数，则/0)=2-=0，解得a=4, 且当0=所2-2244 =0, 2*+12+1 即∫(x)=-f(-x),y=∫(x)是奇函数， 综上所述：当a=4时，y=∫(x)是奇函数. （2)令f)=b-2=0,可得0=+小r<0, 因为x<0,则1<2+1<2，且b≠0， 当b>0时，则a=b(2+1)∈(b,2b): 当b<0时，则a=b(2+1)∈(2b,b): 综上所述：当b>0时，实数a的取值范围为（亿，2b): 当b<0时，实数a的取值范围为(2b,b). 第8页共12页 19.如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以DCB和∠DAB 为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD相切。 (1)若AD=4V37,AB=337,BD=37(长度单位：米)，求种植花卉区域的面积： (2)若扇形的半径为10米，圆心角为135°，则∠BDA多大时，平行四边形绿地ABCD占地面积最小？ 【答案】(1)72π：(2)22.5° 【解析】(1)由余弦定理， cosA= AD2+AB2-BD2_4×37+32×37-37_16+9-37=- 2AD·AB 2×4v37×3W37 24 2 BD 故A=120°，又由正弦定理有 AD sinl20sim∠ABD' 故sin∠ABD=D i如120=2 37 所以扇形的半径r=B.sin∠ABD=357.25 37 65, 故种植花卉区城的面积5=2×兮号6，=7 (2)设∠BDA=8,则∠ABD=180°-135°-0=45°-0， 故AD=10,AB=10 sin sin(45°-0' 故平行四边形绿地ABCD占地面积： S=2.1.10 10 sim135°= 100 100 2sin0sin45°-0 sino.2(coso-sing) 2 sin0cos0-sin20 200 200 sin20+cos20-1√2sin(20+45)-1' 因为0e(0°，45)，故要ABCD面积最小， 则当sin(20+45)=1,即20+45=90°，0=22.5时ABCD面积取得最小值， 即∠BDA=22.5°多大时，平行四边形绿地ABCD占地面积最小. 第9页共12页 20.如图1，己知抛物线t的方程为x2=y,直线/的方程为y=:+1,直线1交抛物线x于A(:,乃)B(2,乃) 两点(：<x),0为坐标原点 图1 图2 (1)若k=0,求△AOB的面积的大小： (2)∠AOB的大小是否是定值？证明你的结论： (3)如图2，过点AB分别作抛物线的切线AP和BP(两切线交点为P),AP,BP分别与x轴交于M,N, 求△MNP面积的最小值 【答案】(1)1：(2)是定值：(2) 【解析】(1)当k=0时，直线1的方程为y=1, 由 =y解得y=1=-1,, y=1 所以△40B的面积为2x1=1. (2)由(1)中发现△AOB为等腰直角三角形，猜测∠AOB=90°， 证明：OA0B=x3+y2=xx+xx, [y=a+1 =得-x-10,即=-1，△=k2+4>0, 所以0A.0B=-1+1=0,所以∠40B=90°为定值 (3)A(名，)B(x),对函数y=x求导得到y=2x, 所以AP方程为y-x好=2x1(x-x1),整理得y=2xx-, 同理BP方程为y=2xx-x, 分别令=0得到M停0小N臣0： 第10页共12页2025届上师大阅分高三第三次半月考数学试卷 一、填空题(第1-6题每题4分,第7-12题每题5分,满分54分) 1. 函数/(x)=lg(x-D的定义域是_ 2. 知向量ā=(2m.1),6=(1.m-3),若ā1,则实数m= 3. 已知复数:=l+ai(aeR),其中i是虚数单位,Re(zi)=2,则a= 4. 已知(3+ax)^的展开式中各项系数的和为32,则a= 程是。 6. “学如逆水行舟,不进则退:心似平原跑马,易放难收”《增广贤文》是勉励人们专心学习的,如果每天 的“进步”率都是1%,那么一年后是(1+1%)*=1.01”,如果每天的“退步”率都是1%,那么一年后是 7. 已知函数y=ax+bx+c的图像如图所示,则不等式(ax+b)(bx-c)>0的解集是 . 8.若函数/()-{:50 l-r2+m>0 的值域为(-xo,ll,则实数m的取值范围是 9. 某医院派出16名护士、4名内科医生组成支援队伍,现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援 设X表示其中内科医生的人数,则X的期望为 10. 设函数y=sin(2x+)(0<”)的图象与直线y=/相交的连续的三个公共点从左到右依次记为A, B,C,若BC=2AB,则正实数!的值为 11. 如图:要在A和D两地之间修建一条笔直的隧道,现在从B地和C地测量得到;2DBC-24.2* $DCB=35.4*. DBA=31.6*, DCA=17.5*.则 DAB=. (结果精确到0.10) 12. 已知ā.52是平面向量,且2是单位向量,若非零向量a在方向上的投影向量为,向量满足 -45+3=0,则-引+l-3的最小值是__. 二、单选题(本大题共4题,满分20分) 13.“x>1”是“x>1”的( A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 小明在某比赛活动中已经进入前四强,他遇到其余四强的三人之一的获胜概率分别为03、0.4,065 若小明等可能遇到其他选手,获胜则进入决赛,反之被淘汰,则小明进入决赛的概率为( ) A.0.45 B. 0.5 C. 0.5 D. 0.6 15. 已知:是复数,三是其共辄复数,则下列命题中正确的是( 。 A.:=1^{ B. 若-1,则:-1-i的最大值为、2+1 C. 若:-(1-2i),则复平面内对应的点位于第一象限 D. 若1-玉是关于x的方程x+pr+q=0p.&=R)的一个根,则q=-8 16. 已知函数/(x)=cosx+一的定义域为(0.+),将/(x)的所有零点按照由小到大的顺序排列,记为: .....,x....对于正整数n有如下两个命题:甲:(n-1)n<x.n:乙 言成立:则( _ A. 甲正确,乙正确 B. 甲正确,乙错误 C. 甲错误,乙正确 D. 甲错误,乙错误 三、解答题 (本大题共有5题,满分76分) 17. 如图,已知正四校柱ABCD-A.B.CD,底面正方形ABCD的边长为2,A4=3. (1)求证:平面A4.CC1平面ABD (2)求点4到平面ABD的距离 (1)当b三2时,是否存在实数a,使得y=/f(x)是奇函数 (2)对于任意给定的非零实数b,y三/(x)与x轴负半轴总有交点,求实数a的取值范围 19.如图,某公园拟划出形如平行四边形ABCD的区域进行绿化,在此绿化区域中,分别以DCB和乙DA 为圆心角的两个扇形区域种植花卉,且这两个扇形的圆孤均与BD相切 (1)若AD-437,AB-337,BD=37(长度单位:米),求种植花卉区域的面积 (2)若扇形的半径为10米,圆心角为135*,则乙BD4多大时,平行四边形绿地ABCD占地面积最小? 20.如图1.已知抛物线r的方程为x=y,直线/的方程为y=kx+1,直线/交抛物线r于A(x.).B(x、.) 两点(x.<X.).0为坐标原点. #### 图 图2 (1)若k=0,求A4OB的面积的大小 (2)乙AOB的大小是否是定值?证明你的结论 (3)如图2.过点A.B分别作抛物线的切线AP和BP(两切线交点为P),AP.BP分别与x轴交于M.N. 求△ANP面积的最小值 21. 定义:设y=f(x)和y=g(x)均为定义在R上的函数,它们的导函数分别为/”(x)和g(x),若不等式 [f(x)-g(x)]/'(x)-g'(x)]s0对任意实数x恒成立,则称y=f(x)和y三g(x)为“相伴函数” (1)给出两组函数,①f(x)-(])和g(s)-0②f(x)=c^和g(x)=x,分别判断这两组函数是否为“相 伴函数”(只需直接给出结论,不需论证); (2)若y=f(x).y=g(x)是定义在R上的可导函数,y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数 f(x)+g(x)=ln(e”+1)+x,证明:y=f(x)和y=g(x)为“相伴函数”; (3) f(x)=sin(x+6).g(x)=cos(x-8),写出”y=f(x)和y=g(x)为相伴函数”的充要条件,证明你的 结论