21.1一元二次方程课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 学习目标 1.了解掌握一元二次方程的定义，能准确判断一个式子是否为一元二次方程； 2.能熟练把一个一元二次方程化为一般式； 3.通过建立方程、观察方程、归纳总结出一元二次方程的特点； 4. 经历发现一元二次方程的过程，体会数学与生活的关系. 4. a为何值时,下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2)(a－1)x|a|+1－2x－7=0. 解：(1)原方程可化为(a－2)x2－x=0, ∴当a－2≠0, 即a≠2时,原方程是一元二次方程； (2)∵|a|+1=2, 且a－1≠0， ∴当a=－1时,原方程是一元二次方程. 拓展训练 情境引入 设计一座2m高的人体雕像，雕像上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？ A C B 2m 雕像上部的高度AC，下部的高度BC的关系： 解：设雕像下部高 x m，于是得方程： x2=2(2–x) 整理得：x2＋2x–4=0 ① AC : BC=BC : 2 即BC2=2AC 跟我们学过的一次方程一样吗？ 互动新授 (100–2x)(50–2x)=3600 整理得：4x2–300x+1400=0 化简得：x2–75x+350=0 ② 问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm ．在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 设切去的正方形的边长为xcm ，则盒底的长为(100–2x)cm，宽为(50–2x)cm ，根据方盒的底面积为3600cm2得： 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 全部比赛的场数为4×7＝28. 解：设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 场. 列方程： 化简，得： x2－x=56 ③ 互动新授 互动新授 思考方程： x2＋2x－4=0 ① ； x2－75x+350=0 ② ； x2－x=56 ③ . 1.方程含有几个未知数？ 2.按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ 3.是整式方程吗？ 方程的等号两边都是整式. 方程中只含有一个未知数； 未知数的最高次数是2； 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做 一元二次方程. 一元二次方程: 总结归纳 1.判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)x2+x=36 (2)x3+x2=36 (3)x+3y=36 (4)x2=0 (5)4x2=9 (6)(x+2)2=(x－1)2 小试牛刀 √ √ × × √ × 要进行化简 (7) × 一元二次方程的一般形式： ax2 + bx + c = 0 (a≠0) （a是二次项系数；b是一次项系数） 二次项 一次项 常数项 互动新授 为什么规定a≠0? b、c可以等于0吗? 典例精析 例 将方程 3x(x-1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． 解：去括号，得 3x2–3x=5x+10 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2–8x–10=0. 二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10． 一元二次方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3x2=5x-1 (x+2)(x -1)=6 2y-4y2=0 4x2-5=2x 3x2-5x+1=0 x2 + x- 8＝0 -4y2+2y=0 4x2-2x-5=0 3 -5 1 1 1 -8 -4 2 0 4 -2 -5 1.将一元二次方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数、常数项. 课堂检测 2. 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（　　） A．3x+1=0 B．x2+3=0 C．3x2－1=0 D．3x2+6x+1=0 3.若一元二次方程2x2+(2k+1)x－(4k-1)=0的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0,则k=___. 2 D 课堂检测 4.关于x的一元二次方程 的常数项为0，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．0，2 D．0 D 1.下面哪些数是方程x2-x-6=0的解? -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. 解：3和-2. 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 思 考 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 小结归纳 一元二次方程的解： 1.关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值为( ) A．1 B．-1 C．2 D．-2 2.方程2x2-3m-x+m2+2=0有一根为x=0，则m的值为( ) A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2 A C 若出现“根”，则将“根”代入方程. 拓展训练 3.若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，则（　　） A．a+b+c＝1 B．a﹣b+c＝0 C．a+b+c＝0 D．a﹣b﹣c＝0 C 一元二次方程 概念 一般式 一元二次方程的根 是整式方程； 只含一个未知数； 未知数最高次数是2. 1.ax2+bx+c=0(a≠0)其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件； 2.确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项要先化为一般式. 使一元二次方程两边相等的未知数的值. 课堂小结 1.关于x的方程（2a－4）x2－2x+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？ a≠2 a=2 拓展演练 已知 a 是方程 x2 + 2x - 2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值. 拓展演练 你学会了什么？ $$