21.2.1配方法（第2课时）课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

用直接开平方法解下列方程： ⑴2x2-50=22；(2)2(x-3)2-50=0；（3）x2-10x+25=1；（4）8x2-8x+2=-6 解： ∴x1= -6,x2=6 2x2=72 (x-3)2=25 ∴x1=8,x2= -2 x-3=±5 温故知新 x2=36 ①x-3= 5， ②x-3= -5 (x-5)2=1 x-5=±1 ①x-5=1， ②x-5=-1 4x2-4x+1=-3 (2x-1)2=-3 ∵ -3≤0 ∴此方程无实数根. 解： 解： 解： ∴x1=6,x2=4. 人教版数学九年级上册 21.2 解一元二次方程 第21.2.1 配方法 （第2课时） 人教版九年级数学上册 人教版数学九年级上册 完全平方公式： a2+2ab+b2=_________； a2-2ab+b2=_________. 复习引入 (a+b)2 (a-b)2 填上适当的数或式,使下列各等式成立. (1)x2+6x+___=(x+3)2 ； (2)x2+8x+___=(x+4)2 (3)x2-4x+___=(x-___)2 ； (4) x2－x+_____=(x－___)2 32 42 22 2 人教版数学九年级上册 互动新授 探究 怎样解方程 x2+6x+4=0 ? 【思考】能否将方程x2+6x+4=0转化为可以用直接开平方法(降次)的形式再求解呢？ x2+6x+4=0 x2+6x=-4 移项 x2+6x+9=-4+9 两边都加上9（即 ） (x+3)2=5 为什么在方程x2+6x=-4的两边加9？加其他数行吗？ 左边写成完全平方形式 利用直接开平方法（降次）即可求解 (x+3)2=5 降次 解一次方程 a2±2ab+b2=(a±b)2 人教版数学九年级上册 像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 配方法： 小结归纳 配方法的基本思路 把方程通过配方化为（x+n)2=p的形式，再利用直接开平方法实现降次，转化为一元一次方程求解． 在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的. 方程配方的方法 人教版数学九年级上册 x2+6x+4=0 x2+6x=-4 移项 x2+6x+9=-4+9 两边都加上9（即 ） (x+3)2=5 为什么在方程x2+6x=-4的两边加9？加其他数行吗？ 左边写成完全平方形式 利用直接开平方法（降次）即可求解 探究 怎样解方程 x2+6x+4=0 ? 【思考】能否将方程x2+6x+4=0转化为可以用直接开平方法(降次)的形式再求解呢？ 还有别的方法吗？ 人教版数学九年级上册 典例精析 例1 解下列一元二次方程: （1）x2-8x+1=0 （2）2x2+1=3x （3）3x2-6x+4=0 分析：(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法. (2)先移项，将方程化为一般式，再将二次项系数化为1，然后用配方法解方程. (3)与(2)类似，将二次项系数化为1后再配方. 人教版数学九年级上册 解： 移项，得: 系数化为1，得: 2x2﹣3x=﹣1 x2﹣x=- 配方，得: x2﹣x+=- 由此可得: （x﹣)2= 解：移项，得: 配方，得: x2﹣8x=﹣1 x2﹣8x+42=﹣1+42 （x﹣4)2=15 整理，得: 由此可得: ∴ x1=4+ ，x2=4- . x﹣4= （1）x2-8x+1=0 （2）2x2+1=3x x﹣=± x1=1，x2=. 典例精析 人教版数学九年级上册 解： 移项，得: 系数化为1，得: 3x2﹣6x=﹣4 x2﹣x=- 配方，得: x2﹣2x+=- 整理，得: （x﹣)2=- （3）3x2-6x+4=0 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x﹣1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根. 典例精析 人教版数学九年级上册 小结归纳 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x＋n)2＝p (Ⅱ) 的形式，那么就有： (1) 当p＞0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根 (2) 当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根 x1=x2=-n； (3) 当p＜0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，所以方程(Ⅱ)无实数根. 人教版数学九年级上册 1.填空： (1)x2+10x+_____=(x+___)2 (2)x2-12x+_____=(x-___)2 (3)x2+5x+_____ =(x+____)2 (4)x2– x+_____ =(x-___)2 52 5 62 6 小试牛刀 请完成教材 第9页 练习2 人教版数学九年级上册 2.利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则、的值分别为（ ） A．， B．，n=-2 C．， D．， 3.用配方法将方程变形为，则m的值是( ) A．4 B．5 C．6 D．7 D C 小试牛刀 人教版数学九年级上册 1.若把方程x2-4x-1=0化为=n的形式，则的值是（       ） A．5 B．2 C．-2 D．-5 2.一元二次方程(x+1)(x-3)=2(x-3)+1根的情况是（ 　） A．无实数根 B．有一个正根，一个负根 C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3 A D 课堂检测 人教版数学九年级上册 3.解下列方程： (1)x2+10x+9=0 (2)x2+4x-9=2x-11 (x+5)2=16 解(1)x2+10x=-9 x2+10x+52=-9+52 x+5=±4 x1=-1，x2=-9 (2)x2+2x+2=0 x2+2x=-2 x2+2x+12=-2+12 (x+1)2=-1 因为(x+1)2 ≥0，而–1＜0，即方程无实数根. 课堂检测 人教版数学九年级上册 1.已知m2+n2-6m+10n+34=0,求2m-3n的值． 解：m2-6m+9+n2+10n+25=0, (m-3)2+(n+5)2=0, m-3=0,n+5=0, m=3,n=-5, ∴2m-3n=21. 拓展训练 人教版数学九年级上册 用配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)将一元二次方程化为一般形式； (2)把常数项移到方程的右边； (3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1； (4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边为一个常数； (5)当方程右边为一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是负数时，原方程无实数根. 课堂小结 人教版数学九年级上册 例2 应用配方法求最值. (1)x2-10x+5的最小值； (2)-x2-2x+2的最大值. 解:(1)原式=(x-5)2-20 ∵(x-5)2 ≥0 ∴ (x-5)2-20 ≥-20 即，当x=5时有最小值-20. (2)原式=-(x+1)2+3 ∵(x+1)2 ≥0 ∴ -(x+1)2 ≤0 ∴-(x+1)2+3 ≤3 即，当x=-1时有最大值3. 典例精析 人教版数学九年级上册 2.应用配方法求最值. (1)2x2-4x+5的最小值； (2)-3x2+5x+1的最大值. 解：(1)原式=2(x-1)2+3 当x=1时有最小值3 (2)原式=-3(x-2)2-4 当x=2时有最大值-4 拓展训练 人教版数学九年级上册 D 1.用配方法解一元二次方程x2+6x+2=0，变形后的结果正确的是（       ） A．=-2 B． =2 C． =7 D． =7 2.用配方法解方程2x2-12x=5时，先把二次项系数化为1，然后方程的两边都应加上（       ） A．4 B．9 C．25 D．36 B 课后作业 人教版数学九年级上册 3.用配方法解下列方程: (1)x2-6x+5=0 (2)x2+4x+3=0 (3)x2+2x-3=0 (4)x(x+4)=8x+12 x1=1,x2=5 x1=-1,x2=-3 x1=1,x2=-3 x1=6,x2=-2； 课后作业 人教版数学九年级上册 这节课你学会了什么？ 人教版数学九年级上册 学习目标 1.理解配方法的概念. 2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题. 3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系. 人教版数学九年级上册 复习引入 用直接开平方法解下列方程： (1)2x2-50=22 (2)(x+1)2=25 解：2x2=72 x2=36 x=±6 ∴x1=6，x2=-6. 解：x+1=±5 ∴x1=4,x2=-6. 完成教材 第16页 复习巩固 第1题 完成教材 第9页 练习 第1题 人教版数学九年级上册 互动新授 可以验证， 是方程x2+6x+4=0的两个根. (x+3)2=5 降次 解一次方程 人教版数学九年级上册 互动新授 探究 怎样解方程 x2+6x+4=0 ? 【思考】能否将方程x2+6x+4=0转化为可以用直接开平方法(降次)的形式再求解呢？ x2+6x+4=0 x2+6x=-4 移项 x2+6x+9=-4+9 两边都加上9（即 ） (x+3)2=5 为什么在方程x2+6x=-4的两边加9？加其他数行吗？ 左边写成完全平方形式 利用直接开平方法（降次）即可求解 (x+3)2=5 降次 解一次方程 a2±2ab+b2=(a±b)2 人教版数学九年级上册 $$