3.3幂函数第一课时课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版第三章 3.3 幂函数 探索新知 （1）如果张红以元/的价格购买了某种蔬菜kg，那么她需要支付 元， 这里是关于的函数； （2）如果正方形的边长为那么正方形的面积这里是的函数； （3）如果立方体的棱长为那么立方体的体积这里是的函数； （4）如果一个正方形场地的面积为,那么这个正方形的边长为即 这里是关于的函数； （5）如果某人内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度 km/s,即 这里是关于的函数. 观察（1）~（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？ ①都是幂的形式： ②以幂的底数为自变量； ③幂的指数都是常数. w 概念形成 一般地,函数叫做幂函数，其中是自变量,是常数. 幂函数的特征： ①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数. (2)若函数是幂函数，且满足，则的值等于_____. 16 (3)已知是幂函数，则a＋b等于_______. 2 ③ 概念理解： 析：a-1=1，解得a=2 析： 解得a=4. 析： 解得a=2或a=3 问题：我们如何认识一类新函数？研究一类函数的一般方法、流程是什么？ （1）由特殊到一般； （2）定义 图象 性质 性质应用 幂函数的图象和性质 定义域 值域 单调性 奇偶性 比较大小 画图 求参数 …… 探索新知--- 前三个函数是我们熟悉的函数，其图象只需要找关键点来作图。 y x O 对于幂函数，我们先只研究时的图象与性质. 探索新知 对于函数和，你能说出这两个函数的一些性质吗？作出这两个函数的图象， 三步骤：列表、描点、连线 y x O x y 0 0 0.5 0.125 1 1 1.5 3.375 1 2 3 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -2 -3 探索新知 x y 0 0 0.5 0.707 1 1 1.5 1.225 2 1.414 3 1.732 4 2 5 2.236 y x O 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 问题：观察这五个函数图象，它们有哪些共同的性质，有哪些不同的性质？ Ｒ Ｒ [0,+∞) Ｒ {x|x≠0} R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 增 [0,+∞)增 (-∞,0]减 增 增 (0,+∞)减 (-∞,0)减 y x O y x O 问题1：你能发现幂函数的图象有什么共同特征？ 问题2：你能发现幂函数的图象有哪些不同特征？ 问题3：哪些函数是奇函数？哪些 函数是偶函数？为奇数和为 偶数时幂函数的奇偶性？ 问题:4：在第一象限内幂函数单调性有什么规律？ 幂函数的性质 探索新知--- 总结：幂函数的性质 1.所有函数在第一象限都有图象，即在上有定义，在第四象限无图象； 2.函数图象都经过点，即 3.在上， 当都是单调递增的， 当0时是单调递减的； 当增长速度越来越快， 当 4.在上是否有图象取决于的值. 是偶数，则是偶函数,第二象限有图； 是奇数，则是奇函数，第三象限有图. 例2.(1)若幂函数的图象与轴没有交点，则的图象关于( )对称 A.原点 B.轴 C. 轴 D.不确定 (2)已知幂函数(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则n的值为 . A 题型二 幂函数的性质及其应用 C (2)如图是幂函数与在第一象限内的图象，则( ) A. B. C. D. B 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂的指数大小： ①在上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)； ②在上,幂的指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)注意幂函数f(x)＝xα的变化特点,如递增、递减的特征,与x轴、y轴的 接近等，以区分α的范围，确定幂指数α与0，1的大小关系. 【例4】　比较下列各组数中两个数的大小： 比较幂值大小的基本方法 比较幂值大小关键是看指数相同，若指数相同利用幂函数的单调性. 例5. 解： 课堂小结 1.知识要点： (1)幂函数的定义； (2)几个常见幂函数的图象； (3)幂函数的性质. 2.思想方法：数形结合、分类讨论. (1)与； (2)与. 解　(1)因为幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数，又>，所以>. (2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，又－eq \f(2,3)<－eq \f(3,5)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq \s\up12(－1)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))eq \s\up12(－1). 训练3.已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，). (1)求函数f(x)的解析式，并求出它的定义域； (2)试求满足f(1＋a)>f(3－a)的实数a的取值范围. 故a的取值范围是(1，3]. $$