2.4 线段的和与差 （教学课件）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（冀教版2024）

冀教版（2024）七年级数学上册 第二章 几何图形的初步认识 2.4 线段的和与差 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1. 理解两条线段的和与差，并会作出两条线段的和与差. 2. 理解线段的中点，会用数量关系表示中点及进行相应的计算. 情景导入 两条线段不仅可以比较长短，还可以求出它们的和与差. A 小区 B 小区 M影院 N 药店 3km 5km 3km （1）线段AM，MB，AB之间有怎样的关系? （2）线段AB，NB，AN之间有怎样的关系? AM+MB=AB AB-NB=AN 新知探究 1. 请画线段AB=1cm，延长AB到点C，使BC=1.5cm.你认为线段AC 和AB，BC有怎样的数量关系? 2. 请画线段MN=3cm，在MN上截取线段MP=2cm.你认为线段PN和MN，MP有怎样的数量关系? 新知探究 如图2.4-1,已知两条线段a和b,且a>b.在直线l上顺次画出线段 AB=a,BC=b,则线段AC 就是线段a与b的和,即AC=a+b. 如图2.4-2,在直线l上画出线段AB=a,在AB 上截取线段AD=b, 则线段DB就是线段a与b的差,即DB=a-b. 做一做 如图，已知线段a和直线l. （1）在直线l上依次画出线段AB=a，BC=a，CD=a，DE=a. （2）根据上述画法填空： AC=____AB， AD=__ AB，AE=____AB； AB= ____ ，AB= _____，AB= _____. a l A B C D E 2 3 4 AC AD AE 如图,线段AB上的一点M把AB分成两条线段AM与MB.如果AM=MB，那么点M就叫作线段AB的中点.此时，有AM=MB= AB，AB=2AM=2MB. 课本例题 （1）如图，线段AB=a＋2b. （2）如图，线段MN=3a－b. 解： a b b A B P Q b a a a N P1 M P P2 例1 如图，已知线段a，b. （1）画出线段AB，使AB=a＋2b. （2）画出线段MN，使MN=3a－b. a b 例2 （1）如图，如果AB=CD，试说明线段AC和BD有怎样的关系？ 解： 因为 AB=CD. 所以 AB+BC=CD+BC. 所以 AC=BD . (2) 如图2.4 9，已知线段AB=8cm，点M在线段AB上，C是线段AM的中点，D是线段MB的中点.求线段CD的长度. 课堂练习 1. 如图，C是线段AB的中点，D是线段CB的中点，DB与AC有怎样的数量关系? DB与AD有怎样的数量关系? 2. 如图，AB，BC，AC是三角形ABC的三条边.请画出线段 MN=AB+AC-BC.由此，你能得到AB+AC与BC的大小关系吗? 解：如图所示 结论：AB+AC>BC. 分层练习-基础 知识点1 线段的和与差 1. 如图，下列关系式中与图不符合的是(　C　) A. AD － CD ＝ AB ＋ BC B. AC － BC ＝ AD － BD C. AC － BC ＝ AC ＋ BD D. AD － AC ＝ BD － BC C 2. 如图，点 A ， B ， C ， D 是直线 l 上的四 点，根据图形填空. (1) AB ＋ BC ＝ ；(2) AC ＋ ＝ AD ； (3) BD － BC ＝ ；(4) AD － ＝ CD . AC 　 CD 　 CD 　 AC 　 3. [2024·长沙北雅中学期末]已知点 C ， D 在线段 AB 上，且 AC ＝ BD ＝1.5，若 AB ＝7，则 CD 的长为 ⁠. 【点拨】 如图，因为 AC ＝ BD ＝1.5， AB ＝7， 所以 CD ＝ AB － AC － BD ＝7－1.5－1.5＝4. 4　 知识点2 线段的中点 4. 把一条线段分成 的两条线段的点，叫作这条线段 的中点. 若点 M 是线段 AB 的中点，则有 AM ＝ ＝ ， AB ＝2 ＝2 ⁠. 相等　 BM 　 AB 　 AM 　 BM 　 5. [2024·邯郸峰峰矿区模拟]如图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，下列回答不正确的是(　D　) A. ※代表 MN B. ☆代表 C. ▲代表18 D. ◎代表 CN 如图，点 C 在线段 MN 上，且 MC ∶ CN ＝5∶4， MN ＝36， P 是 MN 的中点，求 PC 的长. 解：因为 MN ＝36， MC ∶ CN ＝5∶4，所以 MC ＝ ※＝20. 因为 P 是 MN 的中点，所以 MP ＝☆ MN ＝▲， 所以 PC ＝ MC －◎＝2. 【点拨】 因为 MN ＝36， MC ∶ CN ＝5∶4，所以 MC ＝ MN ＝ ×36＝20.因为 P 是 MN 的中点，所以 MP ＝ MN ＝ ×36＝18，所以 PC ＝ MC － MP ＝2，故D不正确. D 【答案】 6. [母题教材P75例2]如图，线段 AB ＝6， BC ＝4，点 D 是 AB 的中点，则线段 CD 的长为(　C　) A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 C 7. 如图①，已知线段 a ， b ，则图②中的线段 AB 表示的是 (　D　) A. a － b B. a ＋ b C. a －2 b D. 2 a － b 【点拨】 由题图可知， AB ＝ AC － BC ＝ a ＋ a － b ＝2 a － b . 故选D. D 8. [2024·保定清苑区模拟]如图所示，已知线段 a ， b ， c ( a ＞ b ＞ c )，请你利用刻度尺等画图工具画一条线段 MN ，使 MN ＝ a ＋ b － c ，写出画法. 【解】画法如下： ①利用刻度尺度量，得 a ＝3 cm， b ＝2 cm， c ＝1 cm； ②计算： a ＋ b － c ＝3＋2－1＝4(cm)； ③画射线 MP ，在射线上取点 N ，使得 MN ＝4 cm，则线 段 MN 即为所作，如图所示. 易错点 考虑问题不全面导致漏解 9. [新考法·分类讨论法]已知线段 AB ＝4，在直线 AB 上作线 段 BC ，使得 BC ＝2，若 D 是线段 AC 的中点，则线段 AD 的长为(　C　) A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或3 ①如图①， 因为 AB ＝4， BC ＝2，所以 AC ＝ AB － BC ＝2. 因为 D 是线段 AC 的中点， 所以 AD ＝ AC ＝ ×2＝1. 【点拨】 根据题意分两种情况. ②如图②， 因为 AB ＝4， BC ＝2，所以 AC ＝ AB ＋ BC ＝6. 因为 D 是线段 AC 的中点， 所以 AD ＝ AC ＝ ×6＝3. 所以线段 AD 的长为1或3. C 【答案】 分层练习-巩固 利用线段关系求线段的长 10. 线段 AB ＝2 cm，延长 AB 至点 C ，使 AC ＝2 AB ，反向 延长 AB 至点 E ，使 AE ＝ CE . (1)求线段 CE 的长. 【解】因为 AE ＝ CE ，所以 AC ＝2 AE . 因为 AB ＝2 cm， AC ＝2 AB ，所以 AC ＝4 cm. 所以 AE ＝2 cm.所以 CE ＝6 cm， 即线段 CE 的长为6 cm. (2)线段 AC 是线段 CE 的几分之几？ 【解】因为 AC ＝4 cm， CE ＝6 cm， 所以 ＝ ＝ ，所以 AC ＝ CE . 即线段 AC 是线段 CE 的 . (3)线段 CE 是线段 BC 的几倍？ 【解】因为 BC ＝ AC － AB ＝4－2＝2(cm)， CE ＝6 cm， 所以 CE ＝3 BC ，即线段 CE 是线段 BC 的3倍. 利用线段的中点求线段长 11. 如图，已知点 A ， B ， C ， D ， E 在同一直线上，且 AC ＝ BD ，点 E 是线段 BC 的中点. (1)点 E 是线段 AD 的中点吗？说明理由. 【解】点 E 是线段 AD 的中点. 理由：因为 AC ＝ BD ，所以 AB ＋ BC ＝ BC ＋ CD . 所以 AB ＝ CD . 因为点 E 是线段 BC 的中点，所以 BE ＝ EC . 所以 AB ＋ BE ＝ CD ＋ EC ，即 AE ＝ ED . 所以点 E 是线段 AD 的中点. (2)当 AD ＝10， AB ＝3时，求线段 BE 的长度. 【解】因为 AD ＝10，点 E 是线段 AD 的中点， 所以 AE ＝ AD ＝ ×10＝5. 所以 BE ＝ AE － AB ＝5－3＝2. 即线段 BE 的长度为2. 利用线段的中点说理 12. [新考法·整体求值法](1)如图，线段 AB ＝4，点 O 是线段 AB 上一点， C ， D 分别是线段 OA ， OB 的中点，小明据此很轻松地求得 CD ＝2.你知道小明是怎样求出来的吗？ 【解】因为 C ， D 分别是线段 OA ， OB 的中点， 所以 OC ＝ OA ， OD ＝ OB ， 所以 CD ＝ OC ＋ OD ＝ OA ＋ OB ＝ ( OA ＋ OB ). 因为 OA ＋ OB ＝ AB ＝4，所以 CD ＝ ×4＝2. (2)小明在思考过程中突发奇想：当点 O 在线段 AB 的延长线上时，原有的结论“ CD ＝2”是否仍然成立？请帮小明画出图形并说明理由. 【解】当点 O 在线段 AB 的延 长线上时，原有的结论 “ CD ＝2”仍然成立. 理由如下：如图所示. 因为 C ， D 分别是线段 OA ， OB 的中点， 所以 OC ＝ OA ， OD ＝ OB . 因为 CD ＝ OC － OD ， 所以 CD ＝ OA － OB ＝ ( OA － OB ). 因为 OA － OB ＝ AB ＝4，所以 CD ＝ ×4＝2. 分层练习-拓展 利用线段的和差探求动点线段 13. 如图， C 是线段 AB 上一动点，点 C 沿着 A → B 以2 cm/s 的速度运动， D 是线段 BC 的中点，线段 AB 的长度为10 cm，设点 C 的运动时间为 t s. (1)当 t ＝2时，求线段 AC ， BD 的长度. 【解】当 t ＝2时， AC ＝2×2＝4(cm). 因为 D 是线段 BC 的中点， AB ＝10 cm，所以 BD ＝ BC ＝ ( AB － AC )＝ ×(10－4)＝3(cm). (2)在点 C 运动过程中，若线段 AC 的中点为 E ，则线段 DE 的长度是否发生变化？若不变，求出线段 DE 的长度；若发生变化，请说明理由. 【解】线段 DE 的长度不发生变化. 因为线段 AC 的中点为 E ， D 是线段 BC 的中点， 所以 AE ＝ CE ＝ AC ， CD ＝ DB ＝ BC ， 所以 DE ＝ CE ＋ CD ＝ AC ＋ BC ＝ ( AC ＋ BC )＝ AB ＝ ×10＝5(cm). 课堂小结 线段的和与差 线段的中点 如图，点C在线段AB上，则AB＝AC＋BC，AC＝AB－BC. 如图，线段AB上的一点M，把线段 AB分成两条线段AM与MB.如果AM=MB，那么点M就叫作线段AB的中点. A M B 线段的和与差 $$