专题05 直线与圆、圆与圆的位置关系10考点复习指南（讲+练）-【题海探秘】2024-2025学年高二上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025高二上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019选择性必修第一册） 专题05 直线与圆、圆与圆的位置关系 10考点复习指南 知识点1：直线与圆的位置关系:几何法 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 知识点2：直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点3：直线与圆相切 （1）圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 （2）过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） （3）切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 切线长公式 知识点4：圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 知识点5：圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 考点1 直线与圆位置关系的判断 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 2．（23-24高二下·浙江·期中）已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a有关 3．（22-23高二上·北京·期中）轴与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 4．（23-24高二下·安徽宿州·期中）已知圆C：，直线：，则直线与圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 5．（2024·河南·一模）已知圆，则下列说法错误的是（    ） A．点在圆外 B．直线平分圆 C．圆的周长为 D．直线与圆相离 考点2 由直线与圆的位置关系求参数 6．（23-24高三上·上海虹口·期中）设，已知直线与圆，则“”是“直线l与圆C相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·四川达州·期中）“”是直线和圆相交的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（23-24高二下·云南大理·期中）已知曲线关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 10．（23-24高二下·广东湛江·期中）若直线与单位圆交于A，B两个不同的点，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 11．（23-24高二下·湖北孝感·期中）已知直线：和圆：，圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 考点3 求直线与圆的交点 12．（21-22高二下·上海徐汇·期中）已知直线(、为非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（    ）条 A．66 B．60 C．52 D．50 13．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 14．（18-19高二下·吉林长春·期中）若直线与圆相交于两点，则线段中点的坐标为 A． B． C． D． 15．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点4 圆过定点 16．（21-22高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 17．（21-22高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 18．（19-20高二上·江西吉安·期中）已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则 A．1 B．2 C．3 D．4 考点5 圆中弦长问题 19．（22-23高二上·江西景德镇·期中）直线截圆所得的弦长等于（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二下·四川达州·期中）已知直线与圆交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 21．（2024·湖北·二模）过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 22．（22-23高二下·北京延庆·期中）已知点，圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 23．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 考点6 圆的切线问题 24．（23-24高二下·北京·期中）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆，直线的过点且与圆相切，则满足条件的直线有几条（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．（22-23高二上·福建宁德·期中）设是直线：上的动点，过作圆：的切线，则切线长的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 27．（22-23高三上·河北沧州·阶段练习）已知圆：，为圆上位于第一象限的一点，过点M作圆的切线.当的横纵截距相等时，的方程为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知圆与轴正半轴的交点为，从直线上任一动点向圆作切线，切点分别为，，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 29．（23-24高三上·辽宁大连·期中）已知圆：和直线：，点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高二上·浙江台州·期中）已知点P，Q是圆O：上的两个动点，点A在直线l：上，若的最大值为，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 31．（2023·湖南永州·一模）在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 考点7 圆与圆位置关系的判断及应用 32．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．外离 D．内含 33．（22-23高二上·浙江·期中）已知圆与圆，则“”是“圆与圆外切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 34．（23-24高二上·福建南平·期末）若圆与圆外切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．（2023高三·全国·专题练习）已知圆与圆相外切，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 36．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 考点8 相交圆的公共弦问题 37．（22-23高二上·浙江宁波·期中）圆：与圆：的公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 38．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知圆C：，P为直线l：上的动点，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B，当四边形APBC的面积最小时，直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高三上·山东青岛·期末）圆与圆相交于A、B两点，则（    ） A．2 B． C． D．6 40．（23-24高二上·四川成都·期中）圆与圆的公共弦的长为（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高二上·山东泰安·期中）若圆和圆的交点为A，B，则下列结论正确的是（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段的垂直平分线的方程为 C．公共弦的长为 D．P为圆上一动点，则点P到直线的距离的最大值为 考点9 两圆的公切线问题 42．（22-23高二上·四川内江·期中）已知圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 43．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高二上·湖北黄石·期中）若圆与圆恰有一条公切线，则（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．8 45．（22-23高二上·广东云浮·期中）已知圆A的方程为，圆的方程为. (1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由. (2)求两圆的公切线长. 46．（23-24高二上·广西玉林·期中）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆公共弦所在直线的方程为 B．圆与圆有两条公切线 C．是圆与圆的一条公切线 D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2 考点10 直线与圆的定点定值问题 47．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆与直线交于、两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. (1)求的值； (2)求的面积； (3)若圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，直线、分别交于两点.当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 48．（15-16高三上·江西吉安·期中）已知圆，点P为直线上的动点． (1)若从P到圆O的切线长为，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长； (2)若点，直线与圆O的另一个交点分别为，求证：直线经过定点． 49．（23-24高二上·福建三明·期中）已知圆C：与圆的相交弦长为 (1)求圆C的半径R的值； (2)若对于的圆，已知点，点，在圆C上，直线不经过点，且直线，的斜率之和为2，求证：直线MN经过一定点，并求出该定点的坐标. 50．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知点，圆.直线与圆相交于A、B两点，. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值. 51．（22-23高二上·四川内江·期中）在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得的弦长为．经过坐标原点的直线与圆交于两点． (1)求圆的方程； (2)求当满足时对应的直线的方程； (3)若点，直线与圆的另一个交点为，直线与圆的另一个交点为，分别记直线、直线的斜率为，，求证：为定值． 52．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知圆O的方程为，与x轴的正半轴交于点N，过点作直线与圆O交于A、B两点． (1)若坐标原点O到直线AB的距离为1，求直线AB的方程； (2)如图所示，作一条斜率为－1的直线交圆于R，S两点，连接PS，PR，试问是否存在锐角，，使得为定值?若存在，求出该定值，若不存在，说明理由． 一、单选题 1．（22-23高二上·河北保定·期末）直线与圆交于两点，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·河南周口·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知，，圆：上有且只有一个点满足.则的取值可以是（    ） A．1 B．5 C．1或5 D．4 4．（23-24高二下·北京·期中）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·重庆·期末）冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋，由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂串成的冰糖葫芦在平面直角坐标系中的正投影（如图2所示）看成大小相同的圆，竹签看成一条经过所有圆心的线段，且山楂的半径为1，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山东济宁·期末）圆与圆的公共弦的长度为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·河南漯河·期末）直线与圆交于两点，则弦的长（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·辽宁·二模）已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 11．（19-20高二上·河北衡水·开学考试）已知点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆，直线的过点且与圆相切，则满足条件的直线有几条（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（23-24高二上·河北承德·阶段练习）过点引圆的切线，其方程是（    ） A． B． C．或 D．或 14．（23-24高一下·重庆·期末）已知直线：与圆：交于，两点，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知点在圆上，点，，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 16．（23-24高二下·甘肃·期末）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（    ） A．32 B． C．16 D． 17．（23-24高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 18．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知直线：与圆：相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为2 D． 19．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）对于直线与圆，下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．的半径为9 C．与可能相切 D．被截得的弦长最小值为 20．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知圆，圆，则下列结论正确的是（    ） A．若和外离，则或 B．若和外切，则 C．当时，有且仅有一条直线与和均相切 D．当时，和内含 21．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知直线，圆，则下列结论正确的有（    ） A．直线过定点 B．直线与圆恒相交 C．直线被圆截得的弦长最短为4 D．若直线被圆截得的弦长为，则 22．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知实数x，y满足方程，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 23．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点在圆上，直线与轴､轴分别交于两点，则（    ） A．直线与圆相离 B．点到直线的距离小于7 C．当最大时， D．以为直径的圆与圆的公共弦所在直线的方程为 24．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）点在圆上，点在圆上，则（   ） A．的最小值为0 B．两圆公切线有三条 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 三、填空题 25．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）圆：在点处的切线方程为 ； 26．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设为正实数，若直线被圆所截得的弦长为，则 . 27．（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）圆上的点到直线的距离的最大值 . 28．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点在圆上运动，则的最小值是 . 29．（22-23高二下·安徽·期末）已知圆，，，若以线段为直径的圆与圆有公共点，则的值可能为 .（写出一个即可） 30．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则的取值范围是 . 31．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，当的面积取得最大值时，直线的斜率为，则 . 32．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知圆：，圆：，点，分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值为 . 33．（23-24高二下·河北张家口·期中）已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 四、解答题 34．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆，圆，若动圆M与圆F1外切，与圆F2内切． (1)求动圆圆心M的轨迹C的方程； (2)直线l与（1）中轨迹C相交于A，B两点，若Q为线段AB的中点，求直线l的方程． 35．（2023高二上·全国·专题练习）已知关于的方程：． (1)当为何值时，方程表示圆； (2)若圆C与直线相交于两点，且，求的值． 36．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知圆，过点的直线与圆交于两点，点满足，其中为坐标原点． (1)求点的轨迹方程； (2)若的面积为2，求． 37．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知直线过点且与圆相切. (1)求直线的方程； (2)若圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程. 38．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知，满足的点形成的曲线记为E. (1)求曲线E的方程； (2)Q是直线上的动点，过点Q作曲线E的切线，切点分别为B，C.求切线长的最小值，并求出此时直线的方程. 39．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知圆心为C的圆经过点，，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程： (2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． (3)已知点，，且P为圆C上一动点，求的最小值． 40．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆过点，圆心在直线上，且直线与圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线交圆于两点.若为线段的中点，求直线的方程. 41．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差：在平面上任给两个不同心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴.已知圆与圆 (1)求圆C与圆M的根轴l； (2)已知点P为根轴l上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为A，B，当最小时，求直线的方程； (3)给出定点，设N，Q分别为根轴和圆M上的动点，求的最小值及此时点N的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高二上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019选择性必修第一册） 专题05 直线与圆、圆与圆的位置关系 10考点复习指南 知识点1：直线与圆的位置关系:几何法 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 知识点2：直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点3：直线与圆相切 （1）圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 （2）过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） （3）切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 切线长公式 知识点4：圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 知识点5：圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 考点1 直线与圆位置关系的判断 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 【答案】C 【分析】求出圆的圆心和半径，直线所过的定点，再由该定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置即可. 【详解】圆的圆心，半径， 直线恒过定点， 显然， 因此点在圆内，直线与圆相交，ABD错误，C正确. 故选：C 2．（23-24高二下·浙江·期中）已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a有关 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离与半径的比较即可判断位置关系. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与圆的位置关系是相交. 故选：A 3．（22-23高二上·北京·期中）轴与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】C 【分析】是以为圆心为半径的圆，根据圆心到轴的距离可判断. 【详解】因为是以为圆心为半径的圆， 圆心到轴为， 所以与轴关系是相离. 故选：C 4．（23-24高二下·安徽宿州·期中）已知圆C：，直线：，则直线与圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】求出直线过的定点坐标，然后判断定点与圆的位置关系，进而可得直线与圆的位置关系. 【详解】由直线，可得，所以直线过定点， 又，所以点在圆内部，所以直线与圆相交. 故选：A. 5．（2024·河南·一模）已知圆，则下列说法错误的是（    ） A．点在圆外 B．直线平分圆 C．圆的周长为 D．直线与圆相离 【答案】D 【分析】根据方程可知圆心和半径，结合圆的性质和周长公式逐项分析判断. 【详解】由可知圆心坐标为，圆的半径为1． 对于选项A：由点到圆心的距离 所以点在圆外，故A正确； 对于选项B：因为圆心在直线上， 所以圆关于直线对称，故B正确； 对于选项C，圆的周长为，故C正确； 对于选项D，因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切，故D错误． 故选：D． 考点2 由直线与圆的位置关系求参数 6．（23-24高三上·上海虹口·期中）设，已知直线与圆，则“”是“直线l与圆C相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，应用点到直线距离求圆心到直线的距离，再由充分、必要性定义及直线与圆的位置关系判定确定条件间的关系. 【详解】由题设，圆心，半径为1，圆心到直线的距离， 若时，，故，则直线l与圆C相交； 若直线l与圆C相交时，，则或； 所以“”是“直线l与圆C相交”的充分不必要条件. 故选：A 7．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知直线恒过点，曲线表示圆心，半径为2的半圆，画出图形，由图可知，从而可求出结果. 【详解】直线恒过点， 由，得， 所以曲线表示圆心，半径为2的半圆，如图所示， 由图可知，当时，曲线与直线有两个相异的交点， 因为，，所以， 因为直线与半圆相切，所以，解得， 所以， 故选：B 8．（23-24高二下·四川达州·期中）“”是直线和圆相交的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出直线与圆相交时的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】圆的圆心，半径为， 若直线和圆相交， 则，解得， 所以“”是直线和圆相交的必要不充分条件. 故选：B. 9．（23-24高二下·云南大理·期中）已知曲线关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】根据已知条件有直线过圆心，则有，方法1：化为，利用基本不等式即可求解；方法2：化为利用权和不等式即可求解. 【详解】方法1：由曲线关于直线对称， 故直线经过圆心， 即有，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为； 方法2：由曲线关于直线对称， 故直线经过圆心， 即有，即， 由权方和得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D． 10．（23-24高二下·广东湛江·期中）若直线与单位圆交于A，B两个不同的点，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系与解三角形相关知识，对两个条件进行正反推理论证，即可得结果. 【详解】若，则圆心到直线得距离， 又半径，， 则，，故，即充分性成立； 若，则是等腰直角三角形，， 则圆心到直线得距离，即， 得，则，即必要性不成立； 综上所述：是的充分不必要条件． 故选：A． 11．（23-24高二下·湖北孝感·期中）已知直线：和圆：，圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线和圆的位置关系知，与直线距离为1的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切，从而得到圆心与直线之间的距离，进而得到的值. 【详解】因为圆：上恰有三个点到直线：的距离为1， 所以与直线距离为1的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切， 又因为圆的半径为3，所以圆心到直线距离为2，即，解得. 故选：B. 考点3 求直线与圆的交点 12．（21-22高二下·上海徐汇·期中）已知直线(、为非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（    ）条 A．66 B．60 C．52 D．50 【答案】B 【分析】由已知求出圆上的整数点，然后分别分析直线与圆相切以及直线与圆相交两种情况，求出满足条件的直线条数，即可得出答案. 【详解】由已知可得，直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点. 而圆上的整数点共有12个，分别为，，， ，，. 当直线与圆相切时，显然切点为或时，不满足题意，此时满足条件的有8条； 当直线与相交时，则可知过任意两点，构成条直线，其中垂直于轴直线的有4条，垂直于轴直线的有4条，根据圆上点的对称性，知过原点的直线有6条. 故满足题设的直线有条． 综上，满足题设的直线共有条. 故选:B． 13．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合描述的几何意义，应用数形结合法判断与圆的交点即可知. 【详解】根据题意，函数与圆有个交点为，， ∴， 故选：. 14．（18-19高二下·吉林长春·期中）若直线与圆相交于两点，则线段中点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设AB的中点为M，由垂径定理可得直线OM与直线AB垂直，进而可得直线OM的方程为yx，据此可得M为直线AB与直线OM的交点，则有，解可得x、y的值，即可得答案． 【详解】根据题意，设AB的中点为M， 圆C：x2+y2＝4的圆心为O，（0，0）， 直线与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，则直线OM与直线AB垂直， 则直线OM的方程为yx， M为直线AB与直线OM的交点，则有，解可得：，则M的坐标为（，）； 故选A． 【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题． 15．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】联立方程后考虑方程组的解，从而可得交点的个数. 【详解】联立直线方程和曲线方程可得可得， 即，解得或，故方程组的解为或. 故选：C 考点4 圆过定点 16．（21-22高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 17．（21-22高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【答案】A 【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆． 【详解】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 18．（19-20高二上·江西吉安·期中）已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】把方程化为，解方程组，即得定点的坐标.把点的坐标代入直线的方程，即得答案. 【详解】方程可化为. 曲线恒过定点，，解得或. 点在第三象限，，代入直线的方程， 可得. 故选：. 【点睛】本题主要考查曲线过定点，属于中档题. 考点5 圆中弦长问题 19．（22-23高二上·江西景德镇·期中）直线截圆所得的弦长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程求圆心和半径，再由点线距离求弦心距，最后应用几何法求直线被圆截得弦长. 【详解】由圆的方程知：圆心为，半径， 所以圆心为到直线距离为， 所以直线被圆截得弦长为. 故选：C 20．（23-24高二下·四川达州·期中）已知直线与圆交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用弦长公式得圆心到直线的距离为1，再利用点到直线的距离公式得到方程，解出即可. 【详解】圆的圆心， 所以圆心到直线的距离为，则， 而，所以，解得：. 故选：A. 21．（2024·湖北·二模）过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】结合图形可知，当时取得最小值，然后可解. 【详解】将圆化为， 圆心，半径， 因为，所以点在圆C内， 记圆心C到直线l的距离为d，则， 由图可知，当，即时，取得最小值， 因为， 所以的最小值为. 故选：A    22．（22-23高二下·北京延庆·期中）已知点，圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得过点且弦长最短的弦应是垂直于直线的弦，再由直线的点斜式方程，即可得到结果． 【详解】设经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意得，， 因为，所以， 所以圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为，即， 故选：B． 23．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用点线距离、弦长的几何求法求，确定面积最大点P的位置，即可求面积最大值. 【详解】由圆心为，半径为，则圆心到直线距离， 所以， 要使面积最大，只需圆上一动点P到直线距离最远，为， 所以面积的最大值是. 故选：A 考点6 圆的切线问题 24．（23-24高二下·北京·期中）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点斜式设出方程，利用相切可求答案. 【详解】显然斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设方程为， 圆心到直线的距离为，因为与圆相切，所以， 即，解得，即的方程为. 故选：A 25．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆，直线的过点且与圆相切，则满足条件的直线有几条（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先判断与圆的位置关系，然后可判断出切线条数. 【详解】因为圆心为，半径， 所以到的距离为， 所以在圆外， 过圆外一点作圆的切线有条， 故选：B. 26．（22-23高二上·福建宁德·期中）设是直线：上的动点，过作圆：的切线，则切线长的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得当最小时，CP连线与直线垂直，由点到直线的距离公式和勾股定理可求得答案. 【详解】圆的圆心为，半径为，切点为 由题意得当最小时，CP连线与直线垂直， 所以， 由勾股定理得， 所以的最小值为， 故选：D. 27．（22-23高三上·河北沧州·阶段练习）已知圆：，为圆上位于第一象限的一点，过点M作圆的切线.当的横纵截距相等时，的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，直线经过一、二、四象限，所以，再依据直线与圆相切，且在坐标轴上的截距相等，即可求得直线方程. 【详解】由题意可知，直线的斜率存在，所以设过点的切线方程为，因为的横纵截距相等， 所以，，又因为直线与圆相切，所以，所以， 所以直线方程为. 故选：D 28．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知圆与轴正半轴的交点为，从直线上任一动点向圆作切线，切点分别为，，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】将直线转化为两个圆的公共弦方程，利用垂足确定的轨迹为一个圆,然后结合点到圆心的距离求最小值即可. 【详解】      易得，设， 因为是圆的两条切线，所以 所以在以为直径的圆上, 又因为,且的中点为， 所以以为直径的圆的方程为：. 所以为以为直径的圆和圆的的公共弦， 两个圆的方程相减得： 所以直线, 直线恒过定点， 过点作直线的垂线，垂足为, 则在以为直径的圆上，设圆的圆心为，半径为， 所以， 所以的最小值为:． 故选：B 29．（23-24高三上·辽宁大连·期中）已知圆：和直线：，点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，利用等面积法表示出，通过分析转化为圆心到直线的距离最小，再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹，联立两个圆的方程就可以得到直线的方程. 【详解】由题意可得: , 所以, 要使得最小，只需直线上的动点到点的距离最小，其最小值是圆心到直线的距离，此时，且满足. 所以此时直线的方程为：，即， 联立，解得：，即， 由于四点共圆，以为直径的圆的方程：， 即：，联立两个圆的方程， 得到直线的方程为：. 故选：A. 30．（23-24高二上·浙江台州·期中）已知点P，Q是圆O：上的两个动点，点A在直线l：上，若的最大值为，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断直线与圆为相离，再由题设得为圆的切线，根据已知确定，设应用两点距离公式求坐标. 【详解】由到的距离， 故直线任意一点与圆上两点所成角最大， 则为圆的切线，    要使的最大值为，即为边长为的正方形，则， 此时，令，有，， 所以，即. 故选：A 31．（2023·湖南永州·一模）在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意圆的标准方程为，如图，又，所以，又由圆心到直线的距离可求出的最小值，进而求解. 【详解】如下图所示：    由题意圆的标准方程为，， 又因为，所以， 所以， 又圆心到直线的距离为， 所以，所以不妨设， 则， 又因为在单调递增，所以当且仅当即，即当且仅当直线垂直已知直线时， 有最大值. 故选：A. 考点7 圆与圆位置关系的判断及应用 32．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．外离 D．内含 【答案】B 【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系. 【详解】由，即， 则圆心，半径为， ，即， 则圆心，半径为， 所以两圆圆心距为， 则，即两圆相交. 故选：B. 33．（22-23高二上·浙江·期中）已知圆与圆，则“”是“圆与圆外切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用两圆相切圆心距与两半径之和相等，分别证明充分性和必要性是否成立即可得出答案. 【详解】根据题意将圆化成标准方程为； 易知， 所以可得圆心，半径为，圆心，半径为， 可得，两半径之和； 若，圆心距，两半径之和，此时， 所以圆与圆外切，即充分性成立； 若圆与圆外切，则，解得或（舍）， 所以必要性成立； 即“”是“圆与圆外切”的充分必要条件. 故选：C 34．（23-24高二上·福建南平·期末）若圆与圆外切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意外切条件等价于，进一步求圆弧上一点到定点的距离的范围即可求解. 【详解】两圆的方程分别为和，故外切条件等价于和之间的距离为，即. 记，，则点在轨迹上，所求的即为的取值范围. 由于，故， 且 ， 同时，上面的上界和下界分别在和时取到. 而是在一个连续的圆弧上，故上的值都可以取到，所以取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是将原问题转换为求圆弧上的点到定点的距离，由此即可顺利得解. 35．（2023高三·全国·专题练习）已知圆与圆相外切，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由两圆外切可得，要使取得最大值，则，同号，不妨取，，然后利用基本不等式求得的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 由圆与圆相外切，得， 即， ∴， 要使取得最大值，则，同号，不妨取，， 由基本不等式，得 ，当且仅当时等号成立， ∴的最大值为2． 故选：A. 36．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆与圆相外切，可得，再根据圆的对称性不妨令，再分，和三种情况讨论即可. 【详解】圆D：的圆心，半径为， 圆C：的圆心，半径为， 因为圆与圆相外切，所以，所以， 且圆与轴交于，不妨记， 因为圆关于轴对称，点与点关于轴对称，点在轴上， 由对称性不妨令， 当时，则，解得， 故 ， 当时，则，解得， 此时， 故， 当时，则，解得， 故 ， 综上所述，的最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：将表示的坐标重新表示为线段长度从而方便正切公式的计算，是解决本题的关键. 考点8 相交圆的公共弦问题 37．（22-23高二上·浙江宁波·期中）圆：与圆：的公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两圆方程相减即可得解. 【详解】联立，相减可得， 故选:C 38．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知圆C：，P为直线l：上的动点，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B，当四边形APBC的面积最小时，直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的几何性质判断出直线时，四边形APBC的面积最小，利用圆与圆相交弦所在直线方程的求法求得正确答案. 【详解】点C到直线l的距离为， 所以直线l与圆C相离， 由圆的知识可知， 四点A，P，B，C四点共圆，且， 所以四边形APBC的面积， 而，当直线时， ，此时四边形APBC的面积最小， 所以CP：，即，由， 解得，即. 所以以CP为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线AB的方程. 故选：C 39．（23-24高三上·山东青岛·期末）圆与圆相交于A、B两点，则（    ） A．2 B． C． D．6 【答案】D 【分析】两圆方程相减得直线的方程，由点到直线的距离求得C到直线的距离，由圆的弦长公式求出，再由三角形的面积公式计算即可求得. 【详解】两圆方程相减得直线的方程为， 圆化为标准方程， 所以圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 弦长， 所以. 故选：D 40．（23-24高二上·四川成都·期中）圆与圆的公共弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆的公共弦所在直线，利用圆中半径、半弦长、圆心距之间的关系求弦长. 【详解】两圆方程作差可得：， 即两圆公共弦所在直线方程为， 因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到公共弦所在直线距离， 故弦长为. 故选：B 41．（23-24高二上·山东泰安·期中）若圆和圆的交点为A，B，则下列结论正确的是（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段的垂直平分线的方程为 C．公共弦的长为 D．P为圆上一动点，则点P到直线的距离的最大值为 【答案】D 【分析】对于，两圆方程作差可得公共弦所在直线方程，判断出错误；对于，线段的垂直平分线过圆心，且斜率可求得为，即可求出其方程，判断出错误；对于，求得圆心到直线的距离，利用弦长公式求解即可；对于，根据圆心到直线的距离及圆的半径即可求得，做出判断. 【详解】对于,依题意知，两圆相交于， 故两圆方程作差可得即， 即为两圆公共弦所在直线方程，故错误； 对于，圆，则其圆心为，, 则线段的垂直平分线的斜率为， 故线段的垂直平分线方程为， 即，故错误； 对于,圆心到直线的距离， 圆半径，所以,故错误； 对于,圆心到直线的距离,圆半径, 则点P到直线的距离的最大值为，故正确， 故选：. 考点9 两圆的公切线问题 42．（22-23高二上·四川内江·期中）已知圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，判断两圆位置关系即可得解. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条. 故选：C 43．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 44．（23-24高二上·湖北黄石·期中）若圆与圆恰有一条公切线，则（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．8 【答案】B 【详解】根据圆与圆的位置关系即可求解. 【解答】圆，，， ，又圆与圆只有一条公切线， 所以圆与圆内切，则， 故选：B. 45．（22-23高二上·广东云浮·期中）已知圆A的方程为，圆的方程为. (1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由. (2)求两圆的公切线长. 【答案】(1)两圆相交，，； (2). 【分析】（1）根据圆心距判断圆的位置关系，再由两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，由几何法求出弦长； （2）根据公切线的性质，利用圆心距、半径差、公切线构成的直角三角形求解. 【详解】（1）圆A：，圆：， 两圆心距， ∵， ∴两圆相交， 将两圆方程左、右两边分别对应相减得：， 此即为过两圆交点的直线方程. 设两交点分别为、，则垂直平分线段， ∵A到的距离， ∴. （2）设公切线切圆A、圆的切点分别为，，则四边形是直角梯形. ∴， ∴. 46．（23-24高二上·广西玉林·期中）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆公共弦所在直线的方程为 B．圆与圆有两条公切线 C．是圆与圆的一条公切线 D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2 【答案】C 【分析】根据两圆圆心距离等于半径和即可得两圆外切判断AB，根据直线与两圆都相切判断C，根据圆心到直线距离等于半径判断D. 【详解】由条件可得：圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 因为，所以圆与圆外切，选项A，B错误； 对于选项C，圆心到直线的距离； 圆心为到直线的距离， 所以是圆与圆的一条公切线，选项C正确； 对于选项D，圆心到直线的距离， 所以圆：上有且仅有一点到直线的距离为2，选项D错误.    故选：C 考点10 直线与圆的定点定值问题 47．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆与直线交于、两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. (1)求的值； (2)求的面积； (3)若圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，直线、分别交于两点.当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)过定点， 【分析】（1）先确定直线的方程，联立直线方程求得点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得； （2）根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可； （3）设方程，含参表示方程，求出坐标，从而求出以为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可. 【详解】（1） 由题知：直线方程为，则由，得到，即， 点为线段的中点，，即， . （2） 由，则圆心； 到直线距离为， ， 又到直线的距离为，边上的高为.. （3）    由圆与轴交于两点，得， 不妨设直线的方程为，其中， 在直线的方程中，令，可得， 因为，则直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 则线段的中点为，圆的半径平方为， 所以，以线段为直径的圆的方程为， 即， 由，解得， 因此，当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是（3）设直线的方程为，则直线的方程为，由表示的中点为，圆的半径平方为，得以线段为直径的圆的方程，可得以线段为直径的圆过圆内的一定点. 48．（15-16高三上·江西吉安·期中）已知圆，点P为直线上的动点． (1)若从P到圆O的切线长为，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长； (2)若点，直线与圆O的另一个交点分别为，求证：直线经过定点． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）设出P点的坐标，根据切线长与几何关系即可求出P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长. （2）根据题意求出坐标，证明直线与点三点共线即可. 【详解】（1） 根据题意，设， 设两切点为，则，， 由题意可知，即， 解得，所以点P坐标为． 在中，易得， 所以， 所以两条切线所夹劣弧长为. （2） 设， 依题意，直线经过点， 可以设， 和圆联立，得到， 代入消元得到，， 因为直线经过点，所以是方程的两个根， 所以有， 代入直线方程得，． 同理，设，联立方程有， 代入消元得到， 因为直线经过点，所以是方程的两个根， ， 代入得到． 若，则，此时， 显然三点在直线上，即直线经过定点， 若则， 所以有， 所以，所以三点共线， 即直线经过定点． 综上所述，直线经过定点． 49．（23-24高二上·福建三明·期中）已知圆C：与圆的相交弦长为 (1)求圆C的半径R的值； (2)若对于的圆，已知点，点，在圆C上，直线不经过点，且直线，的斜率之和为2，求证：直线MN经过一定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)或 (2)证明见解析，. 【分析】（1）根据题意，联立两圆的方程，结合勾股定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分直线斜率存在与不存在讨论，联立直线与圆的方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）∵依题意可知两圆的相交弦与x轴垂直 联立方程组 得故有 化简得 故得或 故圆的半径为或 （2）由（1）及可知，则圆的方程为， 设，， 当直线的斜率存在，则可设直线的方程为， 代入圆方程可得：，则， 得， 且，， 所以 . 又∵直线，斜率之和为2，∴ 化简得 代入，得， ∴直线恒过定点. 当直线的斜率不存在时，，，， ∵直线，斜率之和为2， ∴，解得， 但，且，故不合题意，舍去. 综上，直线恒过定点. 50．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知点，圆.直线与圆相交于A、B两点，. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】(1)或 (2)①；②证明见详解 【分析】（1）根据题意分析可知：圆心到直线的距离，分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）①分析可知，即可得方程；②设直线的方程为，设、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理可计算出的值，即可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. （2）①若线段AB的中点为，可得，即， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； ②由（1）可知：直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，点、， 联立方程，消去y可得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 则 . 所有为定值． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 51．（22-23高二上·四川内江·期中）在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得的弦长为．经过坐标原点的直线与圆交于两点． (1)求圆的方程； (2)求当满足时对应的直线的方程； (3)若点，直线与圆的另一个交点为，直线与圆的另一个交点为，分别记直线、直线的斜率为，，求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 （1）由题意设圆方程为，然后由已知点坐标和轴上的弦长列方程组，得方程； （2）过点C作于D，由是中点，由平面向量的性质得，从而利用勾股定理求得，再设出直线方程，由点到直线距离公式求得参数值得直线方程； （3）设，，，，写出直线方程，与圆方程联立求得点坐标（用表示），同理得点坐标，然后计算斜率进行证明． 【详解】（1） 由已知圆的圆心在轴上，经过点， 且被轴截得的弦长为．设圆， 所以，解得， 所以圆的方程为； （2） 过点C作CD⊥MN于D，由是中点， 由得到，， 所以， 即， 所以 设直线l的方程为（直线l与x轴重合时不符题意） 由圆心到直线距离公式得，， 所以直线l的方程为． （3） 设，，，， 直线的方程为，其中． 与联立得， 由韦达定理得， 所以，， 所以，同理， 所以 ， 所以． 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设点法，再得到直线方程与圆方程联立求出的坐标，最后得到斜率表达式并化简即可. 52．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知圆O的方程为，与x轴的正半轴交于点N，过点作直线与圆O交于A、B两点． (1)若坐标原点O到直线AB的距离为1，求直线AB的方程； (2)如图所示，作一条斜率为－1的直线交圆于R，S两点，连接PS，PR，试问是否存在锐角，，使得为定值?若存在，求出该定值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在， 【分析】（1）当斜率不存在时，易知不合题意；当斜率存在时，设直线方程为，后由点到直线距离公式可得答案； （2）设直线RS：，，，注意到，. 后将直线RS方程与圆方程联立，结合韦达定理及两角和的正切公式可得答案. 【详解】（1）若直线AB的斜率不存在，距离为3，不符合 若直线AB的斜率存在，设直线AB：，由，得 ∴直线AB的方程为或 （2）设直线RS：，， 记，， 联立方程，得. 由题，. 由韦达定理， ，， ∴， ∴ ∵，都是锐角   ∴为定值． 一、单选题 1．（22-23高二上·河北保定·期末）直线与圆交于两点，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】依题意，作出图形，求出圆心坐标和半径，过圆心作于，分别计算和，即可求得的面积. 【详解】 如图，由圆配方得，，知圆心为,半径为， 过点作于，由到直线的距离为, 则, 故的面积为. 故选：B. 2．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 3．（22-23高二上·河南周口·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知，，圆：上有且只有一个点满足.则的取值可以是（    ） A．1 B．5 C．1或5 D．4 【答案】C 【分析】设，由两点间的距离公式得，又圆上有且仅有一点P满足，分两圆外切和内切，即可得到答案. 【详解】设，由， 得， 整理得， 又圆：上有且仅有一点满足， 所以两圆相切，圆的圆心坐标为，半径为2，圆：的圆心坐标为，半径为，两圆的圆心距为3， 当两圆外切时，，得， 当两圆内切时，，得. 故选：C. 4．（23-24高二下·北京·期中）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点斜式设出方程，利用相切可求答案. 【详解】显然斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设方程为， 圆心到直线的距离为，因为与圆相切，所以， 即，解得，即的方程为. 故选：A 5．（23-24高二上·重庆·期末）冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋，由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂串成的冰糖葫芦在平面直角坐标系中的正投影（如图2所示）看成大小相同的圆，竹签看成一条经过所有圆心的线段，且山楂的半径为1，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线间的距离公式列式计算即可. 【详解】设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为， 则由平行线间的距离公式得，得 故选：B. 6．（23-24高二上·山东济宁·期末）圆与圆的公共弦的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定两圆相交，再将两圆做差可得公共弦所在直线方程，然后利用垂径定理求弦长. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则圆心距离为，故两圆相交， 则两圆的公共弦所在直线方程为，即， 所以公共弦的长度为. 故选：D. 7．（23-24高二下·河南漯河·期末）直线与圆交于两点，则弦的长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求圆的圆心和半径，再用点到直线的距离公式求点到直线的距离，再利用弦长公式求. 【详解】设圆的圆心为，半径， 因为到直线的距离， 所以. 故选：B. 8．（23-24高二上·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆心距离与半径和与差的关系列不等式求解. 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 若圆与圆有公共点， 则，又，所以. 故选：D 9．（2024·辽宁·二模）已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称可知是圆和圆圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，由点斜式方程即可． 【详解】圆，圆心，半径， ，圆心，半径， 由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线， ，，的中点， 圆心连线的斜率为，则直线的斜率为， 故的方程：，即,故C正确． 故选：C． 10．（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【分析】求出两圆的圆心距，则有，即可判断两圆位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为；， 则圆的圆心为，半径为. 两圆心之间的距离， 且满足，可知两圆相交. 故选：A. 11．（19-20高二上·河北衡水·开学考试）已知点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角换元法即可结合三角函数的性质求解. 【详解】设,则， 故选：A 12．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆，直线的过点且与圆相切，则满足条件的直线有几条（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先判断与圆的位置关系，然后可判断出切线条数. 【详解】因为圆心为，半径， 所以到的距离为， 所以在圆外， 过圆外一点作圆的切线有条， 故选：B. 13．（23-24高二上·河北承德·阶段练习）过点引圆的切线，其方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，考虑切线的斜率不存在和存在两种情况，结合圆心到直线距离等于半径，得到方程，求出答案. 【详解】根据题意，圆，即， 其圆心为，半径；过点引圆的切线， 若切线的斜率不存在，切线的方程为，符合题意； 若切线的斜率存在，设其斜率为，则有，即， 则有，解得，此时切线的方程为，即． 综上：切线的方程为和． 故选：C． 14．（23-24高一下·重庆·期末）已知直线：与圆：交于，两点，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出的取值范围. 【详解】圆C：可化为， 则圆心，半径为， 由可得， 联立，解得， 直线l：恒过定点， 点在圆C内， 的最大值为， 当直线时，取得最小值，此时， ， 故线段AB长度的取值范围是. 故选：A. 15．（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知点在圆上，点，，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】由可得点P的轨迹方程，再判断点P的轨迹与圆O的交点个数即可. 【详解】解：设点，则， 由，得， 即， 故点的轨迹为一个圆心为、半径为的圆， 又点在圆上， 两圆的圆心距为，半径和为，半径差为， 有，所以两圆相交，满足这样的点有2个． 故选：． 16．（23-24高二下·甘肃·期末）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（    ） A．32 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】分析可知，计算出，即可求得四边形的面积. 【详解】由，则圆心坐标是，半径是3．因为圆心到点的距离为， 所以点在圆内，最长弦为圆的直径， 由垂径定理，得最短弦和最长弦（即圆的直径）垂直， 故最短弦的长为，最长弦即直径， 所以四边形的面积为． 故选：D 17．（23-24高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解. 【详解】圆， 即圆的圆心坐标，半径分别为， 显然过点且斜率不存在的直线为，与圆相切，满足题意； 设然过点且斜率存在的直线为，与圆相切， 所以，所以解得， 所以满足题意的直线方程为或. 故选：D. 二、多选题 18．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知直线：与圆：相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为2 D． 【答案】ACD 【分析】化圆的方程为 标准形式判断AB；求出圆心到直线距离判断C；利用圆的弦长公式计算判断D. 【详解】对于AB，圆：的圆心，半径，A正确，B错误； 对于C，点到直线：的距离，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 19．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）对于直线与圆，下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．的半径为9 C．与可能相切 D．被截得的弦长最小值为 【答案】AD 【分析】根据含参直线方程求定点坐标判断项；根据圆的一般方程与标准方程的互化判断项；根据直线所过定点在圆内，知直线与圆必相交判断项；当直线与过定点和圆心的直线垂直时，被截得的弦长最小，从而计算弦长最小值可判断项. 【详解】对于，可变形为， 由得所以直线过定点，故正确； 对于，圆，化为标准方程为，所以圆的半径为，故错误； 对于，因为，所以点在圆内部，所以直线与不可能相切，故错误； 对于，设直线所过定点为，则当直线时，直线被截得的弦长最小. 因为圆心，所以，所以直线的斜率，解得， 此时直线. 因为圆心到直线的距离，所以弦长，故正确. 故选：. 20．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知圆，圆，则下列结论正确的是（    ） A．若和外离，则或 B．若和外切，则 C．当时，有且仅有一条直线与和均相切 D．当时，和内含 【答案】ABC 【分析】首先得到两圆圆心坐标与半径，从而求出圆心距，再根据两圆的位置关系由圆心距与半径的和差关系得到不等式（方程），即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以， 若和外离，则，解得或，故A正确； 若和外切，则，解得，故B正确； 当时，，则和内切，故仅有一条公切线，故C正确； 当时，，则和相交，故D错误. 故选：ABC． 21．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知直线，圆，则下列结论正确的有（    ） A．直线过定点 B．直线与圆恒相交 C．直线被圆截得的弦长最短为4 D．若直线被圆截得的弦长为，则 【答案】ABD 【分析】利用直线的点斜式方程可判断A；利用定点与圆的位置关系可判断B；根据定点为弦的中点时，直线被圆截得的弦长最短可判断C；利用弦长公式可判断D. 【详解】对于A，直线，即，则直线恒过定点，故A正确； 对于B，因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆恒相交，故B正确； 对于C，直线与轴垂直时，直线被圆截得的弦长最短，此时， 直线被圆截得的弦长为，故C错误； 对于D，直线，圆心到直线的距离， 得，故D正确. 故选：ABD 22．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知实数x，y满足方程，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】AB 【分析】A选项，表示的几何图形为单位圆位于轴右侧的部分（包括轴上两点），几何意义为上的点到的距离的平方，数形结合得到最值，得到取值范围；B选项，几何意义为上的点与的连线的斜率，数形结合得到最值，得到取值范围；C选项，设，则，为直线与轴的交点的纵坐标，画出图形，数形结合得到最值，得到答案；D选项，的几何意义为上的点到的距离，画出，数形结合得到最值，得到答案. 【详解】A选项，，两边平方得， 故方程表示的几何图形为单位圆位于轴右侧的部分（包括轴上两点）， 其中，， 几何意义为上的点到的距离的平方， 故为最小值，最小值为1， 或取得最大值，最大值为， 所以的取值范围为，A正确； B选项，几何意义为上的点与的连线的斜率， 设过点的直线为， 则，解得，此时为最小斜率， 直线的斜率为最大值，即， 的取值范围是，B正确； C选项，设，则，为直线与轴的交点的纵坐标， 当与的图形相切于时，取得最小值，取得最大值， 由，解得（负值舍去）， 当过点时，取得最大值，取得最小值， ，解得， 的取值范围是，C错误； D选项，的几何意义为上的点到的距离， 过点作⊥直线于点，与的图形交于点， 则即为上的点到的距离最小值， 其中，故， 过点作⊥直线于点， 则即为上的点到的距离最大值， 最大值为， 故的取值范围是， 的取值范围为，D错误. 故选：AB 23．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点在圆上，直线与轴､轴分别交于两点，则（    ） A．直线与圆相离 B．点到直线的距离小于7 C．当最大时， D．以为直径的圆与圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BCD 【分析】利用圆心到直线的距离确定圆上的点到直线距离的最大值和最小值可判断AB；求出切线长可判断C；由两圆方程相减得公共弦所在直线方程判断D. 【详解】对于A，因为，圆的半径为4，圆心到直线的距离 ，所以直线与圆相交，故A错误； 对于B，因为圆心到直线的距离， 所以点到直线的最大距离为，故B正确； 对于C，，当与圆相切时最大，为过点的切线长， ，故C正确； 对于D，以为直径的圆的方程为， 即，圆的方程与此方程相减得，故D正确. 故选：BCD. 24．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）点在圆上，点在圆上，则（   ） A．的最小值为0 B．两圆公切线有三条 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 【答案】ABC 【分析】判断两圆位置关系，可判断A、B、D是否正确；由两圆心坐标可求出两圆心所在直线的斜率. 【详解】圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径 因为，所以圆与圆相外切, 所以点与点为切点时，最小且值为0，故A正确； 此时两圆公切线有三条，故B正确； 两个圆心所在的直线斜率为，故C正确； 由两圆的方程相减，化简整理得公切线方程为，两圆外切无相交弦，故D错误. 故选：ABC.    三、填空题 25．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）圆：在点处的切线方程为 ； 【答案】 【分析】由切线与圆心和切点连线的垂直关系得切线斜率，再由点斜式方程可得答案. 【详解】由题意知圆心， ，，又过点， 所以切线方程为，即， 故答案为：. 26．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设为正实数，若直线被圆所截得的弦长为，则 . 【答案】 【分析】借助圆心到直线的距离、半径及弦长的关系计算即可得. 【详解】的圆心为，半径为， 圆心到的距离为， 所以，因为， 解得. 故答案为： 27．（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）圆上的点到直线的距离的最大值 . 【答案】/ 【分析】求出圆心和半径，利用圆心到直线的距离和半径即可得解. 【详解】将圆的标准方程为，圆心为，半径为3， 因为圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最大距离为. 故答案为：. 28．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点在圆上运动，则的最小值是 . 【答案】 【分析】确定圆心和圆的半径，再根据的几何意义数形结合即可得到的最小值的情况进而求解即可. 【详解】由得， 故圆的圆心为，半径为1，当时，， 当时，， 如图可知，故此时的最小值是直线斜率的最大值的倒数， 令，即，则圆心到该直线的距离满足， 两边平方整理得，解得，故此时的最小值是， 又，故的最小值为. 故答案为：. 29．（22-23高二下·安徽·期末）已知圆，，，若以线段为直径的圆与圆有公共点，则的值可能为 .（写出一个即可） 【答案】1（2,3均可）答案不唯一 【分析】根据题意，由已知利用圆与圆的位置关系即可求解. 【详解】由题意得，圆与圆有公共点， ∴，∴，且， 解得；故，2，3均可. 故答案为：1（2,3均可） 30．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据中点关系可得，即可由数量积的坐标运算得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，即可根据求解. 【详解】由于直线恒过定点，圆心， 设，则，故， 即，化简可得， 故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 由于在圆外，, 故，即， 故答案为：    31．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，当的面积取得最大值时，直线的斜率为，则 . 【答案】/ 【分析】设圆的半径为且，根据三角形的面积公式，得到时，的最大值为，结合圆的性质和点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】由，可化为，则圆心， 设圆的半径为且，则， 当时，的最大值为， 不妨取直线的方程为，因为， 所以点到直线的距离为，所以，解得， 又由，可得，解得. 故答案为：. 32．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知圆：，圆：，点，分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值为 . 【答案】7 【分析】将求的最大值转化为求的最大值问题，利用对称性，结合图形求解即可. 【详解】解析：由点，分别是圆，圆上的动点， 可知：， 所以，， 设关于轴的对称点为，则， 当，，三点共线时，取最大，最大值为， 所以. 故答案为：7    33．（23-24高二下·河北张家口·期中）已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 【答案】或 【分析】先确定点在圆外，再分切线斜率存在与否，利用圆心到切线的距离等于半径求解即可. 【详解】由圆的方程可得圆心，半径， 由题意可得圆心到切线的距离等于半径， 由点代入圆的方程可得，所以点在圆外， 所以当切线的斜率不存在时，满足题意的直线方程为； 当斜率存在时，设为， 则过点的切线方程为，即 所以，解得， 此时，切线方程为， 综上，过点的的所有切线方程为或. 故答案为：或. 四、解答题 34．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆，圆，若动圆M与圆F1外切，与圆F2内切． (1)求动圆圆心M的轨迹C的方程； (2)直线l与（1）中轨迹C相交于A，B两点，若Q为线段AB的中点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用两圆内外切的充要条件可求出动点到两定点的距离，再运用椭圆的定义判断动点的轨迹，最后对轨迹上的特殊点进行检测，去除不符题意的点即得； （2）利用椭圆的中点弦问题运用“点差法”即可求出弦的斜率即得直线方程. 【详解】（1）设动圆M的半径为r，动圆M与圆F1外切，与圆F2内切， ，且，于是，                             动圆圆心M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆， 故，，椭圆方程为                                 又因当M点为椭圆左顶点时，动圆M不存在，故不合题意舍去， 故动圆圆心M的轨迹C的方程为； （2）设，由题意，显然， 则有，，两式作差可得， 即有，又Q为线段AB的中点， 则有，代入即得直线l的斜率为，     直线l的方程为，整理可得直线l的方程为. 35．（2023高二上·全国·专题练习）已知关于的方程：． (1)当为何值时，方程表示圆； (2)若圆C与直线相交于两点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用圆的一般式的条件求解即可； （2）利用弦长公式计算参数即可. 【详解】（1）由圆的一般方程性质可知： 解得， 所以当时，方程表示圆. （2）由，得， 所以该圆圆心为，半径 所以圆心到直线的距离 根据弦长公式可知： 解得. 36．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知圆，过点的直线与圆交于两点，点满足，其中为坐标原点． (1)求点的轨迹方程； (2)若的面积为2，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，求出圆心坐标，利用的数量积为零求出轨迹方程即可； （2）设圆心到直线的距离为，由三角形面积公式求出，再利用弦长公式求解即可； 【详解】（1）    由可得点为线段的中点，设， 圆方程化为标准方程为，所以圆心，半径， 所以， 因为，所以， 整理可得， 所以点的轨迹方程为， （2）设圆心到直线的距离为， 因为为的中点，且，的面积为2，， 所以，即，解得， 由弦长公式可得. 37．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知直线过点且与圆相切. (1)求直线的方程； (2)若圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）判断出点为切点，根据切线的性质，即可求得答案； （2）设所求圆的圆心坐标为，结合圆心到直线的距离，根据弦长列式求出t的值，即可得答案. 【详解】（1）可化为，即圆心为，半径为 将点的坐标代入圆的方程，成立，则点在圆上， 点与点连线的斜率为， 所以直线的斜率为1， 故直线的方程为，即. （2）设所求圆的圆心坐标为，由于该圆与轴相切，因此该圆的半径为， 所以该圆的方程是. 因为该圆被直线截得的弦长为， 所以该圆圆心到直线的距离， 由，解得. 故圆的标准方程为或. 38．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知，满足的点形成的曲线记为E. (1)求曲线E的方程； (2)Q是直线上的动点，过点Q作曲线E的切线，切点分别为B，C.求切线长的最小值，并求出此时直线的方程. 【答案】(1) (2)的最小值为，此时直线的方程为 【分析】（1）由可解得曲线E的方程， （2）当直线与直线垂直时，取最小值，由可知，此时也取最小值，进而解得的最小值，然后利用垂直关系求出直线的方程，联立直线和直线的方程解得点的坐标，所以可得以点为圆心，半径长为的圆的方程，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程． 【详解】（1）由题意得：，， 因为，所以， 所以， 化简得：． （2） 由（1）可知圆E的方程为：， 所以，所以圆心E的坐标为，半径, 所以， 所以当取最小值时，有最小值， 因为Q是直线上的动点，所以与直线垂直时，有最小值， 此时的最小值为圆心到直线的距离，， 有最小值， 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率， 所以直线的方程为：，化简得：， 联立，解得，所以， 所以以点为圆心，为半径的圆的方程为， 因为直线BC为圆与圆的公共弦所在直线， 所以两方程相减可得直线BC的方程为：． 39．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知圆心为C的圆经过点，，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程： (2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． (3)已知点，，且P为圆C上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)24 【分析】（1）先求的垂直平分线方程为,，联立直线方程求得，利用两点距求出半径，即可求解圆的标准方程； （2）设圆心到直线的距离为d，由几何法求弦长公式可得，易知直线的斜率不存在时符合题意，若斜率存在，设直线方程，利用点线距建立方程，解之即可求解. （3）根据两点间距离公式再结合三角换元把原式化简为，应用三角恒等变换化简结合正弦函数的值域得出最小值即可. 【详解】（1）,的中点为 的垂直平分线方程为，即, 将联立可得,即圆的圆心坐标为. 圆的半径为， 所以圆的标准方程为. （2）设圆心到直线的距离为d，由弦长公式得，故. 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为3，符合题意. 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以，解得，则直线的方程为. 故直线的方程为或. （3）在圆的标准方程上， 设, 又因为点，， 所以 ， 当时，取最小值为. 40．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆过点，圆心在直线上，且直线与圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线交圆于两点.若为线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设，从而得到，由在圆上，代入方程求解即可解决问题. 【详解】（1）设圆M的方程为， 因为圆过点，所以， 又因为圆心在直线上，所以②， 直线与圆M相切，得到③， 由①②③解得：因此圆的方程为 （2）设，因为A为线段BD的中点，所以， 因为在圆上，所以，解得或 当时，由可知直线的方程为； 当时，由可得斜率， 故直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 41．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差：在平面上任给两个不同心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴.已知圆与圆 (1)求圆C与圆M的根轴l； (2)已知点P为根轴l上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为A，B，当最小时，求直线的方程； (3)给出定点，设N，Q分别为根轴和圆M上的动点，求的最小值及此时点N的坐标. 【答案】(1)； (2)； (3)的最小值为，此时. 【分析】（1）先求出圆C和圆M的圆心C和M以及半径和，接着由列式化简即可得解. （2）先由题意求得，进而结合求得取得最小值时亦即取得最小值时，接着求出此时的点P坐标，再求出以线段为直径的圆的方程，从而求出该圆与圆C的公共弦所在直线方程即可得解. （3）先求出关于根轴对称的点，接着得，从而得与圆M和根轴l相交的点和使得最小，进而求得的最小值，再由联立根轴的方程即可求出. 【详解】（1）由题圆的圆心为，半径为；圆圆心为，半径为， 设点为圆C与圆M的根轴l上的任意一点， 则由题可得，即， 整理得，即圆C与圆M的根轴l为直线. （2）由题意可知且，， 设与相交于点H， 则， 又， 所以，所以取得最小值时即为取得最小值时， 又，所以取得最小值时亦即取得最小值时， 而取得最小值时，且该最小值为圆心C到根轴l的距离为， 此时即， 联立，故此时， 所以此时中点坐标为， 所以以线段为直径的圆的方程为，即， 则是该圆与圆C的公共弦，所以两圆方程相减即为直线的方程为：即. （3）设关于根轴对称的点为， 则，故， 则由三角形两边之和大于第三边可得， 连接，则此时与圆M和根轴l相交的点和使得最小为， 且此时即， 联立，即此时， 所以的最小值为，此时. 【点睛】关键点睛：求解直线的方程的关键点1是将转化为，从而求得取得最小值时亦即取得最小值时，进而求出此时的点P坐标，关键点2是求出以线段为直径的圆的方程，从而将直线的方程转化为该圆与圆C的公共弦所在直线方程而得解. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$