2024--2025学年浙教版九年级数学上册微专题突破《专题11 圆中的相似三角形》课件

让天下学子共享优质教育！ 专题11 圆中的相似三角形 微专题突破 浙教版 九年级上册 【教材母题】 (教材P133作业题第4题) 已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点P. (1)求证：△ADP∽△CBP. (2)判断AP·BP＝DP·CP是否成立，并给出证明． 题型探究 解：(1)∵∠A＝∠C，∠D＝∠B， ∴△ADP∽△CBP. (2)成立．证明如下： ∵△ADP∽△CBP， 题型探究 解：∵∠DPA＝∠BPC，∠PDA＝∠PBC， ∴△PAD∽△PCB. ∵∠CPA＝∠BPD， ∠PCA＝180°－∠ACD＝∠PBD， ∴△PAC∽△PDB. 【变式1】1. 如图，已知BC是⊙O的直径，写出图中所有的相似三角形． 题型探究 ∵∠CDE＝∠ABE，∠CED＝∠AEB， ∴△CED∽△AEB. 同理可得△AEC∽△BED. 综上所述，图中的相似三角形有：△PAD∽△PCB，△PAC∽△PDB，△CED∽△AEB，△AEC∽△BED. 题型探究 【变式2】2．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AC于点E，延长ED，交⊙O于点F，连结AD，AF. (1)求证：∠BAF＝∠DAC. (2)当AF＝8，AD＝6，CD＝3时，求⊙O的直径． 题型探究 解：(1)∵AB是⊙O的直径， ∴∠BDA＝90°， ∴∠BAD＋∠ABD＝90°. ∵EF⊥AC，∴∠FAE＋∠AFE＝90°. 又∵∠ABD＝∠AFE， ∴∠BAD＝∠FAE， ∴∠BAD－∠DAF＝∠FAE－∠DAF， 即∠BAF＝∠DAC. 题型探究 (2)如答图，连结BF. ∵AB是⊙O的直径，∴∠BFA＝90°. ∵∠BDA＝90°， ∴∠CDA＝180°－∠BDA＝90°， ∠BFA＝∠CDA＝90°. 题型探究 又∵∠BAF＝∠CAD， ∴△ABF∽△ACD， 题型探究 D 学以致用 学以致用 设AE＝x，则BE＝5x， ∴CE＝5DE＝28－25x. 又∵AC＝4，∴x＋28－25x＝4， 解得x＝1，即AE＝1. 学以致用 2. 如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连结AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G(不与点O，B重合)，连结OF. (1)若BE＝1，求GE的长． (2)求证：BC2＝BG·BO. (3)若FO＝FG，猜想∠CAD的度数， 并证明你的结论． 学以致用 解：(1)由题意知，∠D＝∠AGF＝90°－∠BAD，∠B＝∠D. 又∵∠AGF＝∠CGB，∴∠B＝∠CGB，∴CB＝CG. 又∵AB⊥CD，∴GE＝BE＝1. (2)如答图，连结OC. ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B＝∠CGB. 又∵∠OBC＝∠CBG， ∴△OCB∽△CGB， 学以致用 (3)∠CAD＝45°.证明如下： 如答图，延长FO，交AC于点H. ∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO＝∠CGB ＝∠B， ∴FO∥BC. ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°， ∴FH⊥AC，∴AH＝CH，∴FA＝FC， ∴△FAC是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°. 学以致用 (1)求证：AC＝BD. (2)若BD平分∠ABC，BC＝1，求BD的长． (3)已知圆心O在△ABC内部(不包括边上)， ⊙O的半径为5.若AB＝8，求△ABC的面积． 学以致用 学以致用 又∵∠BEC＝∠ABD＋∠BAC， ∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE＝AE＝1. ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC ＝∠ABD＝∠BAC， ∴△CBE∽△CAB，∴BC2＝CE·AC. 学以致用 设AC＝BD＝x，则CE＝x－1， ∴12＝(x－1)x， 学以致用 (3)如答图，连结OA，OB，过点O作OF⊥AB于点F，过点B作BG⊥AC于点G. ∴∠AFO＝∠BGC＝90°. ∵OA＝OB＝5， ∴∠AOF＝∠C，∴△AFO∽△BGC， 易知CG∶BG∶BC＝3∶4∶5. 学以致用 设CG＝3x，BG＝4x，BC＝5x， 由(2)可知BE＝AE＝BC＝5x， ∴EG＝CG＝3x， ∴AG＝8x. 在Rt△AGB中，AB2＝BG2＋AG2， ∴64＝16x2＋64x2， 学以致用 学以致用 1. 如图，已知⊙O是等腰直角三角形ABC的外接圆，D是上一点，BD交AC于点E.若BC＝4，AD＝，则AE的长为(　　) ∴AF＝BF＝AB＝4，∠AOF＝∠AOB. 又∵∠C＝∠AOB， $$