2024-2025学年浙教版数学九年级上册—圆专题

2024浙教版数学九年级—圆专题 一、选择题 1．已知的半径是，点在圆内，则的长（    ） A．小于 B．等于 C．大于 D．等于 2．如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面宽，则水深是（    ） A． B． C． D． 3.如图，已知是的直径，C、D两点在上，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，是线段上的动点，以为直径作，分别交于点，连接，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．在下列四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 7．已知的半径为3，点P在外，则的长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，是的直径，点C在圆上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 9．如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，点重合），与交于点，设，，则以下关系式成立的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，已知⊙O的周长等于8πcm，则圆内接正六边形ABCDEF的边心距OM的长为（   ） A．1 B． C． D． 11．如图，AB是O的直径，AB＝4，OC⊥AB交O于点C，点P是O上一个动点，连结AP，点D为AP的中点，则线段CD的最大值为（    ）    A．2 B． C． D． 12．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（　　） A．34° B．36° C．38° D．40° 13．如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB⊥CD，垂足为M，CM＝2，则AB的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 14．如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为（　　） A．2 B．4 C．8 D．10 2、 填空题 15． 若圆的半径为18cm，则40°圆心角对的弧长为 cm． 16．如图，在矩形中，以点D为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若，则该点取自阴影部分的概率为 ．    17．如图，已知四边形内接于⊙O，直径，对角线，交与E点，且，，则的长为 ． 18．如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则的长为 ． 19．如图，将一块含角的直角三角板的锐角顶点A放在上，边，分别与交于点D，E．则弧的度数为 ．    20．如图，已知半圆．点在半圆上，，在 取点，连接，作于点，连接，则的最小值等于 ．    21．如图，A点的坐标为，B点的坐标为，C点的坐标为，D点的坐标为．小明发现线段可以由线段绕某个定点按顺时针方向旋转90都得到.则该定点的坐标为 ． 22．小苏在学习了九上课本第90页例1后，发现书本图3~39中当等腰三角形ABC的顶角∠BAC是锐角时，以腰AB为直径的圆一定与另两条边有交点D和E（如图所示)．若BC＝4，点A在射线DA上运动，则当∠BAC的度数从50°减小到10°的过程中，点E所经过的路径长为 ． 23． 在Rt△ABC中，，，，如果以点C为圆心作圆，使点A在圆C内，点B在圆C外，那么圆C半径r的取值范围为 24．如图，BC是圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果∠A＝65°，那么∠DOE的度数为 ． 25．如图，正方形ABCD中，AB=4，E,F分别是边AB，AD上的动点，AE=DF,连接DE,CD交于点G,作点G关于直线CD的对称点H.在运动过程中，∠CGD的大小 ；（填“变化”或“不变”），线段AH的最大值为 ． 3、 解答题 26．如图，中，弦AB，CD相交于点E，且，连结AC，BD，求证：． 27．如图，内接于，，，点为上一点，点为的中点，连接并延长与交于点，连接，． (1)求证：． (2)当经过圆心时，求的长． 28．如图，在中，弦的延长线交于点P，且．求证：．    29．如图，A，B，C是上三点，且，过点B作于点D． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 30．如图，是的直径，弦与点E，已知，，点P为上任意一点，（点P不与A、B重合），连接并延长与交于点Q，连． (1)求的长． (2)若，直接写出的长． (3)①若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：． ②若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求与满足的关系． 31.如图，在一张圆形纸片中，直径AB=8，折叠该圆形纸片，使点B与圆心O重合，折痕为CD，连结AC，AD． （1） 求CD的长； （2） 求图中阴影部分的面积． 32．根据以下素材，探索完成任务． 如何截取最大面积的矩形 问题背景 某节数学拓展课上，老师给每个小组准备了如下四种形状的纸片，用来探究比为1：2的直角三角形，图丙是半圆，图丁是弓形，AC=EF=2DE=GH=MN=6,弓形高PQ=2. 图丁 图丙 图乙 图甲 素材 各小组把上述纸片拼成了以下三个新图形： 问题解决 任务1 如图1，图中两点间的最大距离是线段 的长。最大距离为 ． 任务2 如图2，点K为弧EF上一动点，求点K,D之间的最大距离． 任务3 如图3，R为弧EF上一动点，小明认为点D,R之间的最大距离就是点D，Q之间的距离，小聪认为点D，R之间的最大距离就是点D,F之间的距离，你认为他们的说法对吗？请说明理由，并求出点D,R之间的最大距离。 33.在平面直角坐标系中，圆心O的半径为2.对于线段AB和点C（点C不在直线AB上），给出如下定义：如果圆心O的弦A’B’与线段AB是以点C为位似中心的位似图形．且位似比为，那么称线段AB为圆心O的“点C位似弦”. （1） 如图，D（-4，3），E(4,3),F(4,-1),G(2,-4),P(0,1),在线段DE，FG中圆心O的“点P位似弦”是 ． （2） 等边▲ABC的边长为2，且AB∥x轴，点C（0，t)在y轴正半轴上，若线段AB是圆心O的“点C位似弦”，求t的值； （3） 已知线段MN在直线上，且MN=4，若线段MN是圆心O的“点O位似弦”，求m的值. 34．如图，由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点，经过A，B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中画出圆心； (2)在图2中画出的中点E． 35．如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，满足，则称是的“幸运角”． (1)如图2，是的直径，弦，D是上一点，连接交于点P，连接，是的“幸运角”吗？请说明理由． (2)设的度数为n，请用含n的式子表示的“幸运角”度数． (3)在（1）的条件下，直径，的“幸运角”为． ①如图3，连接，求弦的长； ②当时，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024浙教版数学九年级—圆专题（解析） 一、选择题 1．已知的半径是，点在圆内，则的长（    ） A．小于 B．等于 C．大于 D．等于 【答案】A 【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：的半径是cm，点在圆内， 的长cm． 故选：A． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 2．如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面宽，则水深是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，根据C是的中点，D是的中点，垂径定理推出，，，推出O、C、D三点共线，得到，设，，根据勾股定理推出，得到． 【详解】解：连接，， ∵是横放圆柱形的玻璃水杯内水最深处， ∴C是的中点，D是的中点， ∴，，， ∴O、C、D三点共线， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得，，（不合题意，舍去）， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，一元二次方程等，解题的关键是熟练掌握垂径定理的推论，勾股定理解直角三角形，解一元二次方程． 3.如图，已知是的直径，C、D两点在上，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用圆周角与圆心角的关系求出，然后利用邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵与是所对的圆周角及圆心角， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆中的角度计算，熟练掌握圆周角定理和邻补角的性质是解决问题的关键． 4．如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，可得，，即可求出的度数，再根据直角三角形两个锐角互余，得出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转是一种全等的变化，旋转前后对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心的两线所成的夹角等于旋转角． 5．如图，在中，是线段上的动点，以为直径作，分别交于点，连接，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短，此时线段，当半径最短时，最短，连接，，过点作，垂足为，在中，解直角三角形求直径，由圆周角定理可知，在中，解直角三角形求，由垂径定理可知． 【详解】解：由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短， 如图，连接，，过点作，垂足为， 在中，，， ，即此时圆的直径为2， 由圆周角定理可知， 在中，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形． 6．在下列四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是考查运用旋转设计图案，根据旋转图形的特点解答即可． 【详解】解：A、不能旋转得到，错误； B、可以旋转得到，正确； C、不能旋转得到，错误； D、不能旋转得到，错误； 故选：B． 7．已知的半径为3，点P在外，则的长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了点和圆的位置关系； 根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径可得答案． 【详解】解：∵的半径为3，点P在外， ∴， ∴的长可能是4， 故选：D． 8．如图，是的直径，点C在圆上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，由圆周角定理推出，，由直角三角形的性质即可求出． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ． 故选：D． 9．如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，点重合），与交于点，设，，则以下关系式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的两个锐角互余的关系，根据直角三角形两锐角互余性质，用表示，进而由圆心角与圆周角关系，用表示，最后由角的和差关系得结果，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10．如图，已知⊙O的周长等于8πcm，则圆内接正六边形ABCDEF的边心距OM的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】连接OA，OF， ∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形， ∴∠AOF=60°， ∵OF=OA，OM⊥AF， ∴∠AOM=30°， ∴OM=， 故选B． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键． 11．如图，AB是O的直径，AB＝4，OC⊥AB交O于点C，点P是O上一个动点，连结AP，点D为AP的中点，则线段CD的最大值为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】取OA的中点Q，连接DQ，OD，CQ，根据条件可求得CQ长，再由垂径定理得出OD⊥AP，由直角三角形斜边中线等于斜边一半求得QD长，根据当C,Q,D三点共线时，CD长最大求解. 【详解】解：如图，取AO的中点Q,连接CQ，QD，OD， ∵OC⊥AB，AB是O的直径， ∴的度数为90°， ∴∠AOC=90°, ∵OA=OC, ∴△AOC为等腰直角三角形， ∵Q为OA的中点， ∴OQ= , 由勾股定理可得，CQ= , ∵D为AP的中点, ∴OD⊥AP， ∵Q为OA的中点， ∴DQ= , ∴当D点CQ的延长线上时，即点C,Q,D三点共线时，CD长最大，最大值为 . 故选B 【点睛】本题考查利用弧与圆心角的关系及垂径定理求相关线段的长度，并且考查线段最大值问题，利用圆的综合性质是解答此题的关键. 12．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（　　） A．34° B．36° C．38° D．40° 【答案】C 【分析】根据旋转的性质求出和的度数，计算出的度数． 【详解】解：由题意得，，，又， ． 故选：C． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，掌握旋转角、旋转方向和旋转中心的概念是解题的关键． 13．如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB⊥CD，垂足为M，CM＝2，则AB的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】如图，连接OA， ∵⊙O的直径CD＝10，弦AB⊥CD，垂足为M， ∴AB=2AM，OA=OC=5， 又∵CM=2， ∴OM=OC-CM=5-2=3， ∴在Rt△OAM中，AM=， ∴AB=2AM=8. 故选D. 14．如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为（　　） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】B 【分析】观察图形延长CO交AB于E点，由OC与AB垂直，根据垂径定理得到E为AB的中点，连接OB，构造直角三角形OBE，然后由PB，OE的长，根据勾股定理求出AE的长，进而得出AB的长． 【详解】延长CO交AB于E点，连接OB， ∵CE⊥AB， ∴E为AB的中点， 由题意可得CD＝4，OD＝4，OB＝8， DE＝（8×2﹣4）＝×12＝6， OE＝6﹣4＝2， 在Rt△OEB中，根据勾股定理可得：OE2+BE2＝OB2， 代入可求得BE＝2， ∴AB＝4． 故选：B． 【点睛】此题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，在遇到直径与弦垂直时，常常利用垂径定理得出直径平分弦，进而由圆的半径，弦心距及弦的一半构造直角三角形来解决问题，故延长CO并连接OB作出辅助线是本题的突破点． 2、 填空题 15．若圆的半径为18cm，则40°圆心角对的弧长为 cm． 【答案】 【分析】利用弧长公式求解即可． 【详解】解：由题意，扇形的弧长为(cm)， 故答案为：． 【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式． 16．如图，在矩形中，以点D为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若，则该点取自阴影部分的概率为 ．    【答案】/ 【分析】连接，根据勾股定理，得，根据阴影部分的面积为：扇形的面积减去，根据的等于扇形的面积减去，据此求解即可． 【详解】解：连接，如下图： ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴，， ∴扇形的面积为：， ∵的面积为：， ∴阴影部分的面积为：． 矩形的面积为， 该点取自阴影部分的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查几何概率，矩形的性质，扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式，矩形的性质． 17．如图，已知四边形内接于⊙O，直径，对角线，交与E点，且，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接并延长交于点F，连接，可证得，可得，可证明，可求得，在中由勾股定理可求得． 【详解】解：如图，连接并延长交于点F，连接， ∵，， ∴为的垂直平分线， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，由条件得出根据相似三角形的性质求得的长是解题的关键． 18. 如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接OC，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案． 【详解】解：连接OC， ∵BC⊥OA， ∴∠ODC=90°，BD=CD， ∵OD=AD， ∴OD=OA=×4=2， ∴CD=， ∴BC=2CD=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 19．如图，将一块含角的直角三角板的锐角顶点A放在上，边，分别与交于点D，E．则弧的度数为 ．    【答案】/60度 【分析】根据圆周角定理解答即可． 本题主要考查了圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的圆心角的一半．注意：弧的度数就是弧所对的圆心角的度数，这是解题的关键． 【详解】   如图，连接， 和是弧所对的圆周角和圆心角， ， ∴弧的度数为． 故答案为： 20．如图，已知半圆．点在半圆上，，在 取点，连接，作于点，连接，则的最小值等于 ．    【答案】 【分析】如图，取的中点，连接，．由题意点在以为圆心，为半径的上，推出当、、共线时，的值最小． 【详解】解：连接，取的中点，连接，    ∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴， ∵， ∴， 当、、三点共线时，最小， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理、圆周角定理推论“半（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径”，直角三角形斜边中线等于斜边一半，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 21．如图，A点的坐标为，B点的坐标为，C点的坐标为，D点的坐标为．小明发现线段可以由线段绕某个定点按顺时针方向旋转90都得到.则该定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】）根据点A的坐标为，建立如图所示的平面直角坐标系， 当点A和C，点B和D为对应点时， 如图点O为旋转中心，坐标为， 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的变化-旋转，点坐标间的距离，解题的关键是理解题意，运用分类讨论来解决问题，属于中考常考题型． 22．小苏在学习了九上课本第90页例1后，发现书本图3~39中当等腰三角形ABC的顶角∠BAC是锐角时，以腰AB为直径的圆一定与另两条边有交点D和E（如图所示)．若BC＝4，点A在射线DA上运动，则当∠BAC的度数从50°减小到10°的过程中，点E所经过的路径长为 ． 【答案】1， 23．在Rt△ABC中，，，，如果以点C为圆心作圆，使点A在圆C内，点B在圆C外，那么圆C半径r的取值范围为 【答案】 【分析】根据点A在圆C内，则r>AC，点B在圆C外，则r<BC，即可得出答案. 【详解】∵以点C为圆心作圆，使点A在圆C内， ∴r>AC， 即r>5， ∵以点C为圆心作圆，使点B在圆C外， ∴r<BC， 即r<8， ∴. 故答案为. 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系.熟记“设点到圆心的距离为d，则当d<r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d>r时，点在圆外”是解题的关键． 24．如图，BC是圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果∠A＝65°，那么∠DOE的度数为 ． 【答案】50°． 【分析】利用三角形内角和定理求出∠B+∠C＝115°，再利用等腰三角形的性质求出∠BOD+∠EOC即可解决问题． 【详解】解：∵∠A＝65°， ∴∠B+∠C＝115°， ∵OB＝OD，OC＝OE， ∴∠B＝∠ODB，∠C＝∠OEC， ∴∠BOD+∠EOC＝180°﹣2∠B+180°﹣2∠C＝130°， ∴∠DOE＝180°﹣（∠BOD+∠EOC）＝180°﹣130°＝50°， 故答案为：50°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆的性质和三角形内角和，掌握知识点是解题关键． 25．如图，正方形ABCD中，AB=4，E,F分别是边AB，AD上的动点，AE=DF,连接DE,CD交于点G,作点G关于直线CD的对称点H.在运动过程中，∠CGD的大小 ；（填“变化”或“不变”），线段AH的最大值为 ． 【答案】不变；4 【详解】解：当E,F分别位于A,D处时，即AE=0,DF=0, ∴AH=0 当E,F分别位于B,C处时，即AE=4,DF=4, ∴AH=4 3、 解答题 26．如图，中，弦AB，CD相交于点E，且，连结AC，BD，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】由AB＝CD，根据弧与弦的关系，可得，继而证得，则可证得AC＝BD． 【详解】证明：∵， ∴． ∴． 即． ∴． 【点睛】此题考查了弦与弧的关系，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 27．如图，内接于，，，点为上一点，点为的中点，连接并延长与交于点，连接，． (1)求证：． (2)当经过圆心时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，再根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质得到，然后利用等角的补角相等得到结论； （2）连接并延长交于点，如图，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，设，则，则，解得，接着利用是的中位线得到，然后证明，从而得到． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ； （2）解：连接并延长交于点，如图， ， ， ，， ， 设，则， 在中，， 解得， ，， 是的中位线， ； 点为的中点， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了垂径定理、圆周角定理、三角形中位线定理以及勾股定理． 28．如图，在中，弦的延长线交于点P，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质．由等腰的性质判定；根据圆周角定理可以推知，则，由“等角对等边”证得结论． 【详解】证明： ， ， ， ， ， ． 29．如图，A，B，C是上三点，且，过点B作于点D． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，勾股定理； （1）如图，延长交于，根据垂径定理得到，，求得，则，于是得到结论； （2）如图，连接，设的半径为，在中根据勾股定理列方程得到． 【详解】（1）证明：如图，延长交于，    ， ，， ， ， ， ； （2）如图，连接， 设的半径为， ，， ，， 在中，， 解得：． 即的半径为2． 30．如图，是的直径，弦与点E，已知，，点P为上任意一点，（点P不与A、B重合），连接并延长与交于点Q，连． (1)求的长． (2)若，直接写出的长． (3)①若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：． ②若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求与满足的关系． 【答案】(1)8 (2)5或8 (3)①证明见解析；② 【分析】（1）如图1，连接，由是的直径，弦，可得，勾股定理得，然后求解即可； （2）由题意知，分是直径，则重合；是不为直径的弦，则重合；两种情况求解即可； （3）①如图2，连接，由题意知，垂直平分，证明，则，由，可得，进而结论得证；②如图3，连接，同理①可得，，，由圆内接四边形可得，，进而可得． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵是的直径，弦， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得， ∴； （2）解：∵， ∴平分， 由题意知，分是直径，是不为直径的弦两种情况求解： ①当是直径，则重合， ∴； ②当是不为直径的弦，则重合， ∴， ∴的长为5或8； （3）①证明：如图2，连接， 由题意知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：； 如图3，连接， 由题意知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆内接四边形可得，， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补等知识．熟练掌握垂径定理，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补是解题的关键． 30.如图，在一张圆形纸片中，直径AB=8，折叠该圆形纸片，使点B与圆心O重合，折痕为CD，连结AC，AD． （1） 求CD的长； （2） 求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)4 (2)12－4π 【详解】（1）解：由题可知，OE=2,连结OC， ∵OC为圆的半径， ∴CE＝2， ∴CD＝4， (2)解：， S椭圆＝4π， 得阴影部分面积＝12－4π， 31．根据以下素材，探索完成任务． 如何截取最大面积的矩形 问题背景 某节数学拓展课上，老师给每个小组准备了如下四种形状的纸片，用来探究比为1：2的直角三角形，图丙是半圆，图丁是弓形，AC=EF=2DE=GH=MN=6,弓形高PQ=2. 图丁 图丙 图乙 图甲 素材 各小组把上述纸片拼成了以下三个新图形： 问题解决 任务1 如图1，图中两点间的最大距离是线段 的长。最大距离为 ． 任务2 如图2，点K为弧EF上一动点，求点K,D之间的最大距离． 任务3 如图3，R为弧EF上一动点，小明认为点D,R之间的最大距离就是点D，Q之间的距离，小聪认为点D，R之间的最大距离就是点D,F之间的距离，你认为他们的说法对吗？请说明理由，并求出点D,R之间的最大距离。 【答案】任务一：DB，；任务二：；任务三：错，+3。 32.在平面直角坐标系中，圆心O的半径为2.对于线段AB和点C（点C不在直线AB上），给出如下定义：如果圆心O的弦A’B’与线段AB是以点C为位似中心的位似图形．且位似比为，那么称线段AB为圆心O的“点C位似弦”. （1） 如图，D（-4，3），E(4,3),F(4,-1),G(2,-4),P(0,1),在线段DE，FG中圆心O的“点P位似弦”是 ． （2） 等边▲ABC的边长为2，且AB∥x轴，点C（0，t)在y轴正半轴上，若线段AB是圆心O的“点C位似弦”，求t的值； （3） 已知线段MN在直线上，且MN=4，若线段MN是圆心O的“点O位似弦”，求m的值. 【答案】（1）（0，1） （2) , （3) 33．如图，由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点，经过A，B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中画出圆心； (2)在图2中画出的中点E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、垂径定理以及弦、弧、圆周角间的关系等知识点，灵活运用垂径定理是解题的关键． （1）由图1可知是直径，连接，作的垂直平分线，其与的交点即为所求； （2）根据垂径定理以及弦、弧、圆周角间的关系作图即可． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求． （2）解：如图2，点E即为所求． 34．如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E． (1)如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数； (2)如图2，若AE＝DE，求证：AB＝CD． 【答案】(1)∠E＝35° (2)见解析 【分析】（1）先求出∠ACD，∠BAC的度数，再根据三角形外角的性质得出答案； （2）先根据“ASA”证明△ACE≌△DBE，得出BE=CE，再结合已知条件得出答案即可. 【详解】（1）连接AC， ∵为120°，为50°， ∴，， ∴∠E＝∠ACD-∠BAC＝60°-25°＝35°； （2）证明：连接AC、BD， ∵， ∴∠A＝∠D， 在△ACE和△DBE中， ， ∴△ACE≌△DBE（ASA）， ∴BE＝CE， ∵AE＝DE， ∴AE-BE＝DE-CE， 即AB＝CD． 【点睛】本题考查了圆的相关计算与证明，三角形全等的判定和性质，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键． 35．如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，满足，则称是的“幸运角”． (1)如图2，是的直径，弦，D是上一点，连接交于点P，连接，是的“幸运角”吗？请说明理由． (2)设的度数为n，请用含n的式子表示的“幸运角”度数． (3)在（1）的条件下，直径，的“幸运角”为． ①如图3，连接，求弦的长； ②当时，求的长． 【答案】(1)是的“幸运角”，理由见解析 (2)n (3)6或8 【分析】（1）利用“幸运角”的定义，说明即可； （2）利用圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半即可解答； （3）①连接，利用“幸运角”的定义和等腰直角三角形的性质解答即可；②利用“幸运角”的定义和等腰直角三角形的性质，设，利用勾股定理列出方程，解方程求得x值，再利用等腰直角三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：是的“幸运角”，理由如下： ∵是的直径，弦， ∴平分，即为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的“幸运角”． （2）解：∵的度数为n， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴∠． ∴的“幸运角”度数=． ∴的“幸运角”度数为n． （3）解：①连接，如图， ∵的“幸运角”度数为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵直径， ∴， ∴； ②∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 设，则， 在中， ∵， ∴，解得：或， ∴或， ∴6或8． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质、圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识点，理解并熟练运用新定义解答是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$