精品解析：陕西省西安市创新港中学2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题

2023～2024学年第二学期 期末考试初一年级数学试题 注意事项： 本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共3页，总分100分．考试时间100分钟． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每题只有一个符合要求的选项） 1. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在科幻小说《三体》中，有一种高强度的纳米材料“飞刃”．根据描述，纳米材料“飞刃”的直径约为，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度（单位：cm）的三根小木棒，能搭成为三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 5，6，10 D. 8，8，16 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一副三角板如图放置，使点在上，，，，则的度数为( ) A. B. C. D. 6. 不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，下列事件中是必然事件的是（ ） A. 3个球都是白球 B. 至少有1个黑球 C. 3个球都是黑球 D. 有1个白球2个黑球 7. 如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（　　） A. AB = CD B. ∠B = ∠D C. AD = CB D. ∠BAC = ∠DCA 8. 游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时，摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示．摆锤从A点出发再次回到A点需要（ ）秒． A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 如图，是的平分线，是中线，、相交于点E，于F，若，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在中，，平分，将连续翻折两次，C点的对应点E点落在边上，B点的对应点F点恰好落在边上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），则击中白色区域的概率是________． 12. 等腰三角形的两边长满足．则这个等腰三角形的周长为__________． 13. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长等于____________． 14. 如图，是的高，，，，则的度数是_______． 15. 如图，等腰中，为底边上的中点，，的面积为，分别是线段上的动点，且，则最小值是____________． 三、解答题（共8小题，共55分） 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，在△ABC中，AB=AC，过顶点A作AD⊥BC交BC于点D．请用尺规作图法在AD边上求作一点P，使得点P到AB的距离等于PD的长．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，已知点，，，在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点处？ 21. 如图，在长为，宽为的长方形四个角上，分别剪去四个全等的等腰直角三角形，当三角形的直角边的长度变化时，阴影部分的面积也随之发生变化． 设剪去的每个三角形的直角边长为，阴影部分的面积为．如下表： 三角形的直角边长 1 2 3.2 4.5 … 阴影部分的面积 318 299.52 279.5 … （1）表中的数据 ； （2）当等腰直角三角形的直角边长由4.5增加到7时，阴影部分的面积 （填增大或减少） ． （3）写出与的关系式： ． （4）阴影部分面积可以达到吗？请说明理由． 22. 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出之间的等量关系是 ； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题： 若，，求的值； 类似的，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （3）根据图③，写出一个代数恒等式： ； （4）已知，，利用上面的规律求的值． 23. 小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题． （1）如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ． （2）如图（2），在中，点在上，且，过作，且．求证：平分． （3）如图（3），在中，，为中点，，交于点，交于点，连接．若，，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年第二学期 期末考试初一年级数学试题 注意事项： 本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共3页，总分100分．考试时间100分钟． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每题只有一个符合要求的选项） 1. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 在科幻小说《三体》中，有一种高强度的纳米材料“飞刃”．根据描述，纳米材料“飞刃”的直径约为，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3. 下列长度（单位：cm）的三根小木棒，能搭成为三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 5，6，10 D. 8，8，16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，不能构成三角形，故B不符合题意； C、，能构成三角形，故C符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】解：A. ，原计算错误； B. ，计算正确； C. ，原计算错误； D. 不能合并，原计算错误； 故选B． 5. 将一副三角板如图放置，使点在上，，，，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理以及平行线的性质，即可得到∠ABC=45°，∠DBC=30°，据此可得∠ABD的度数． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=45°， ∴∠ABC=45°， ∵BC∥DE，∠D=30°， ∴∠DBC=30°， ∴∠ABD=45°-30°=15°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 6. 不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，下列事件中是必然事件的是（ ） A. 3个球都是白球 B. 至少有1个黑球 C. 3个球都是黑球 D. 有1个白球2个黑球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查必然事件，涉及事件的分类与概念，熟记事件分类及相应概念是解决问题的关键． 【详解】解：不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，则 A、“3个球都是白球”是不可能事件，不符合题意； B、“至少有1个黑球”是必然事件，符合题意； C、“3个球都是黑球”是随机事件，不符合题意； D、“有1个白球2个黑球”是随机事件，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（　　） A. AB = CD B. ∠B = ∠D C. AD = CB D. ∠BAC = ∠DCA 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质可知，再由AC为公共边，即要想利用“边角边”证明△ABC≌△CDA，可添加AD=CB即可． 【详解】∵AD∥BC， ∴． ∵AC为公共边， ∴只需AD=CB，即可利用“边角边”证明△ABC≌△CDA． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定．理解“边角边”即为两边及其夹角是解答本题的关键． 8. 游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时，摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示．摆锤从A点出发再次回到A点需要（ ）秒． A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象即可解答． 【详解】由函数图象发现当摆锤第一次到达左侧最高点到第一次到达右侧最高点一共用了4秒，从右侧最高点回到左侧最高点也是4秒， ∴摆锤从A点出发再次回到A点需要秒， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，正确从图象中获取信息是解题的关键． 9. 如图，是的平分线，是中线，、相交于点E，于F，若，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先过点E作，设，根据，得出的面积的面积，即，进而求得x的值即可． 【详解】解：过点E作， ∵是的平分线，于F， ∴， 设， ∵是中线，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形的角平分线、中线以及三角形的面积的计算，解决问题的关键是根据的面积，列出方程求解．解题时注意方程思想的运用． 10. 如图，在中，，平分，将连续翻折两次，C点的对应点E点落在边上，B点的对应点F点恰好落在边上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设∠ABC=∠C=2x，根据折叠的性质得到∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°BD=DF，BC=BE=EF，在△BDC中利用内角和定理列出方程，求出x值，可得∠A，再证明AF=EF，从而可得AD =BC+BD． 【详解】解：∵AB=AC，BD平分∠ABC， 设∠ABC=∠C=2x，则∠A=180°-4x， ∴∠ABD=∠CBD=x， 第一次折叠，可得： ∠BED=∠C=2x，∠BDE=∠BDC， 第二次折叠，可得： ∠BDE=∠FDE，∠EFD=∠ABD=x，∠BED=∠FED=∠C=2x， ∵∠BDE+∠BDC+∠FDE=180°， ∴∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°， ∴x+2x+60°=180°， ∴x=40°，即∠ABC=∠ACB=80°， ∴∠A=20°， ∴∠EFD=∠EDB=40°， ∴∠AEF=∠EFD-∠A=20°， ∴AF=EF=BE=BC， ∴AD=AF+FD=BC+BD， 故选D． 【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），则击中白色区域的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在白色区域的概率就是白色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：∵总面积为9个小三角形的面积，其中白色区域面积为6个小三角形的面积， ∴飞镖落在白色区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用白色区域表示所求事件A；然后计算白色区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件A发生的概率． 12. 等腰三角形的两边长满足．则这个等腰三角形的周长为__________． 【答案】22 【解析】 【分析】先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系判断出等腰三角形的腰与底边长，进而可得出结论．本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的知识，解题的关键是分类讨论，此题难度不大． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9， ， 不能组成三角形， ②4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9， 能组成三角形， 周长． 综上所述，这个等腰三角形的周长为22． 故答案为：22． 13. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长等于____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，根据垂直平分线的性质可得，进而在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的垂直平分线， ∴ 在中，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，是的高，，，，则的度数是_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】先由三角形高的定义得到，再根据等边对等角得到，则，进一步证明得到，则． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，证明从而求出的度数是解题的关键． 15. 如图，等腰中，为底边上的中点，，的面积为，分别是线段上的动点，且，则最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题综合考查全等三角形，勾股定理，过作且使得，接、、，证明，得出，，则的最小值时线段的长，进而勾股定理，即可求解． 【详解】过作且使得，接、、， 等腰中，为底边上的中点， ，的面积为， ，， 在中， ， ， 又， ， ， ， ， 当点、、三点共线时，最小， 的最小值时线段的长， ，，， ∴ 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共55分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，整式的乘法运算； （1）根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，进行计算即可求解； （2）根据积的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂的乘法进行计算，然后合并同类项，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，根据完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式进行化简，然后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解： 当，时， 原式 18. 如图，在△ABC中，AB=AC，过顶点A作AD⊥BC交BC于点D．请用尺规作图法在AD边上求作一点P，使得点P到AB的距离等于PD的长．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，点P即为所求． ． 【解析】 【分析】作∠ABC的角平分线交AD于点P，点P即为所求，根据角平分线的性质定理可得到点P到AB的距离等于PD的长． 【详解】略 【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 如图，已知点，，，在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定： （1）先由平行线的性质得到，再利用即可证明； （2）利用全等三角形的性质得到，再根据线段的和差关系求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴． 20. 如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点处？ 【答案】工程车再向教学楼方向行驶5米 【解析】 【分析】本题主要考查了根据勾股定理解决实际问题． 过点作交于点，在根据勾股定理求出的长，设，则，在中根据勾股定理列方程求出x即可． 【详解】过点作交于点， 由题意得， 在中， ， 设，则， 在中， ， ∴， 解得， 工程车再向教学楼方向行驶5米，云梯刚好接触到的顶部点处． 21. 如图，在长为，宽为的长方形四个角上，分别剪去四个全等的等腰直角三角形，当三角形的直角边的长度变化时，阴影部分的面积也随之发生变化． 设剪去的每个三角形的直角边长为，阴影部分的面积为．如下表： 三角形的直角边长 1 2 3.2 4.5 … 阴影部分的面积 318 299.52 279.5 … （1）表中的数据 ； （2）当等腰直角三角形的直角边长由4.5增加到7时，阴影部分的面积 （填增大或减少） ． （3）写出与的关系式： ． （4）阴影部分面积可以达到吗？请说明理由． 【答案】（1）312 （2）减小，； （3） （4）阴影部分面积不可以达到， 【解析】 【分析】本题主要考查了根据题意列代数式，函数关系； （1）根据三角形的面积公式和长方形的面积公式计算即可； （2）根据三角形的面积公式和长方形的面积公式计算即可； （3）根据三角形的面积公式和长方形的面积公式列式即可； （4）根据题意求得阴影部分的最小值，比较大小，即可求解． 【小问1详解】 ∵剪去的四个等腰直角三角形全等， ∴剪去的四个等腰直角三角形的面积相等， 根据题意：可知阴影部分面积等于长方形面积减去四个三角形的面积， 即：三角形的直角边长为2时，； 故答案为：312； 【小问2详解】 三角形的直角边长为4.5时，由表格可得； 三角形的直角边长为7时，； 即： ∴阴影部分的面积减小 故答案为：减小，； 【小问3详解】 阴影部分面积等于长方形面积减去四个三角形的面积， 据此列式可得：， 即所求关系为：． 【小问4详解】 阴影部分面积不可以达到，理由如下， ∵阴影部分面积等于长方形面积减去四个三角形的面积， ∵ 当时，阴影部分面积最小， ∴阴影部分面积不可以达到 22. 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出之间的等量关系是 ； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题： 若，，求的值； 类似的，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （3）根据图③，写出一个代数恒等式： ； （4）已知，，利用上面的规律求的值． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）观察图大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积；（2）灵活利用上题得出的结论，根据完全平方公式变形即可求解． （3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式． （4）利用上题得出的关系式，进行变换，最终求出答案． 【小问1详解】 解：用两种方法表示出个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积，可得：， 【小问2详解】 由题（1）知： ∵，， 【小问3详解】 根据题意得：． 【小问4详解】 由（3）可知， 把，，代入得： ． ． 23. 小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题． （1）如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ． （2）如图（2），在中，点在上，且，过作，且．求证：平分． （3）如图（3），在中，，为中点，，交于点，交于点，连接．若，，求的长度． 【答案】（1） （2） 证明：如图所示，延长至，使得，连接， 在中 ∴ ∴， ∵， ∴ 又∵． ∴ ∴ ∴，即平分 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，勾股定理，垂直平分线的判定和性质； （1）利用证明； （2）证明，得出，，根据已知可得，则，等量代换可得，即可得证； （3）延长至，使得，连接，同理可得，则，进而可得，勾股定理求得，根据是的垂直平分线，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，延长至，使得，连接， 同理可得， ∴， ∵在中，， ∴ ∴ 在中， 又∵，， ∴是的垂直平分线， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $