3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质同步练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册

3.1.2 第1课时　椭圆的简单几何性质（同步练习） 一、选择题 1.椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为(　　) A. B.2 C. D.4 2.曲线＋＝1与＋＝1(0<k<9)的关系是(　　) A.有相等的焦距，相同的焦点 B.有相等的焦距，不同的焦点 C.有不等的焦距，不同的焦点 D.以上都不对 3.椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN的长为，若△MF2N的周长为20，则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 4.设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是(　　) A.(0,3) B. C.(0,3)∪ D.(0,2) 5.已知椭圆＋＝1(a>b>0)有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是(　　) A.(±，0) B.(0，±) C.(±，0) D.(0，±) 6.某地的旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 7.(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　) A.长轴长为 B.焦距为 C.焦点坐标为 D.离心率为 8.(多选)为使椭圆＋＝1的离心率为，正数m的值可以是(　　) A.1 B. C. D. 二、填空题 9.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为______________ 10.设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则椭圆C的离心率为________ 11.若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则C的长轴长为________ 12.在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________ 三、解答题 13.设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标． 14.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； (2)过点(3,0)，离心率e＝. 15.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的标准方程． 参考答案及解析： 一、选择题 1.C 解析：椭圆x2＋my2＝1的标准形式为x2＋＝1. 因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，所以＝2，所以m＝. 2.B 解析：曲线＋＝1的焦距为2c＝8，而曲线＋＝1(0<k<9)表示的椭圆的焦距也是8，但焦点所在的坐标轴不同． 3.C 解析：设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则由椭圆的定义，可得|MF1|＋|MF2|＝|NF1|＋|NF2|＝2a.由△MF2N的周长为20，可得4a＝20，即a＝5.过点F1作直线与椭圆相交，当直线垂直于x轴时，弦长最短，令x＝－c，代入椭圆的方程，可得y＝±， 即＝，解得b2＝9，所以c＝＝4，所以椭圆的离心率e＝＝. 4.C 解析：当k>4时，c2＝k－4，由条件知<<1，解得k>；当0<k<4时，c2＝4－k，由条件知<<1，解得0<k<3，综上知C正确． 5.A 解析：在x＋2y＝2中，由y＝0得x＝2，由x＝0得y＝1，则该直线交x轴于点(2,0)，交y轴于点(0,1)，依题意得a＝2，b＝1，则c＝＝，显然，椭圆焦点在x轴上， 所以椭圆的焦点坐标是(±，0)． 6.B　解析：由题意可知2a＝25.5,2b＝20.4，则c＝＝＝， 所以椭圆的离心率e＝＝＝，故选B． 7.CD 解析：由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝ ，所以长轴长2a＝1，焦距2c＝，焦点坐标为，离心率e＝＝. 8.CD 解析：当0<m<2时，焦点在x轴上，此时a2＝2，b2＝m，所以c2＝a2－b2＝2－m， 所以e2＝＝＝，解得m＝，符合题意；当m>2时，焦点在y轴上，此时a2＝m，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝m－2，所以e2＝＝＝，解得m＝，符合题意． 故正数m的值可以是或. 二、填空题 9.答案：＋＝1 解析：可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得解得 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 10.答案： 解析：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝. 11.答案：2 解析：∵椭圆的一个焦点坐标为(0,1)，∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1，由于＋＝1表示的是椭圆，则m>1，∴m＝2，则椭圆方程为＋＝1， ∴a＝，2a＝2. 12.答案： 解析：如图，切线PA，PB互相垂直， 又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，＝a，解得＝，则离心率e＝. 三、解答题 13.解：椭圆方程可化为＋＝1. ①当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝， ∴e＝＝＝，解得m＝3，∴b＝，c＝1， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)． ②当m＞4时，a＝，b＝2，∴c＝， ∴e＝＝＝，解得m＝，∴a＝，c＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)． 14.解：(1)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)． 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， 所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得a＝3， 因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1； 当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得b＝3， 因为e＝，所以＝， 把b＝3代入，得a2＝27，所以椭圆的标准方程为＋＝1. 综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 15.解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形， 所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝c，e＝＝. (2)由题意知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，由＝2，解得x＝，y＝－. 代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3， 又c2＝1，所以b2＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$