第三节三角函数的图象与性质讲义-2025届高三数学一轮专题复习

第三节 三角函数的图象与性质 【课标要求】1.能画出三角函数的图象. 2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值. 3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质及正切函数在上的性质。 ]上的性质及正切函数在上的性质。 教学目标：掌握“五点法”画正弦函数、余弦函数在一个周期的简图、掌握正切函数的图象，借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质，会解决简单的与三角函数有关的性质。 教学重点：三角函数的图象与性质及其应用 教学难点：三角函数的图象与性质的理解及应用 教学过程： 环节1：知识检测 请画出正弦函数、余弦函数、正切函数在一个周期的简图，并完成以下表格 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调递增区间 单调递减区间 对称中心 对称轴 方程 环节2：考点强化 考点1：三角函数的定义域与值域（最值） 例1.(1)函数y＝的定义域为__________; 方法总结：1..求三角函数的定义域其实质是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数的图象求解. 2.求解三角函数的值域(最值)常见三种类型： (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)； (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值). 考点2：三角函数的周期性与单调性 例2. (1)(多选)下列函数中，最小正周期为π的是(　　) A．y＝cos|2x| B．y＝|cos x| C．y＝sin D．y＝tan （2） 已知函数，则（ ） A. f(x)在上单调递减B. f(x)在上单调递增 C. f(x)在上单调递减 D. f(x)在上单调递增 （3）已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（ ） 方法总结:1.函数化为或，则可用公式求周期,函数化为，则可用公式求周期.或利用图象或周期函数的定义； 2.求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 考点3：三角函数的奇偶性与对称性 例3.（1）已知函数f(x)＝cos是奇函数，且φ，则φ的值为________． （2）.(多选)已知函数f(x)＝sin x(sin x－cos x)，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为π B．点是y＝f(x)图象的对称中心 C．点是y＝f(x)图象的对称中心 D．直线x＝是y＝f(x)图象的对称轴 方法总结：1.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx的形式．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z). 2，对称轴、对称中心的求法：对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求x即可． 环节3.课后巩固 1.(多选)关于函数f(x)＝sin x＋，下列命题是真命题的为(　　) A.f(x)的图象关于y轴对称 B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的图象关于直线x＝对称 D.f(x)的最小值为2 2.函数在区间的最小值、最大值分别为（ ） A. B. C. D. 3.（24新课标2第9题）对于函数和，下列正确的有　　 A．与有相同零点 B．与有相同最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图像有相同的对称轴 4.（24年北京第6题）．设函数．已知，，且的最小值为，则　　 A．1 B．2 C．3 D．4 5.（24年天津第7题）．已知函数的最小正周期为．则函数在的最小值是　　 A． B． C．0 D． 6.若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________． 学科网（北京）股份有限公司 $$