精品解析：天津市海河中学2024--2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷

海河中学初三年级数学学科综合练习 一、选择题：（每小题3分，共36分） 1. 若函数是关于的二次函数，且抛物线的开口向上，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由定义可求，再由抛物线的开口向上，可得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的开口向上， ， 解得：， ； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的定义及性质，理解定义，掌握性质是解题的关键． 2. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据二次函数的定义，逐项判断可得答案． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、，当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式的应用，解题的关键是同时满足一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式大于0的条件． 先根据一元二次方程的定义确定二次项系数；再由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式计算的取值范围，最后结合两者得到的最终范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴； ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得； 综上，且． 故选：D． 4. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案． 【详解】解：， 移项得， 二次项系数化1的， 配方得， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 5. 若方程5x2+x﹣5＝0的两个实数根分别为x1，x2．则x1+x2等于（　　） A. B. C. ﹣1 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】若是一元二次方程的两个根，则 根据原理可得答案. 【详解】解： 方程5x2+x﹣5＝0的两个实数根分别为x1，x2． 故选A 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，易错点是不注意这个条件. 6. 如图，在宽为、长为的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为，求小路的宽．若设小路的宽为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用平移把不规则的图形变为规则图形是解题关键． 设路宽为，利用平移把不规则的图形变为规则图形，表示出长和宽，即可列出答案． 【详解】解：利用平移，原图可转化为： 设道路宽为，则种草部分的宽为，长为， 根据题意得：， 故选：A． 7. 某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是设每个枝干长出x个小分支，则x满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设每个枝干长出x个小分支，则主干上长出了x个枝干，根据主干、枝干和小分支的总数是91，即可得: x2+x+1=91． 故选C． 8. 下列二次函数中，其图象的对称轴为x＝﹣2的是（　　） A. y＝2x2﹣2 B. y＝﹣2x2﹣2 C. y＝2 （x﹣2）2 D. y＝（x+2）2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a≠0）的性质逐项分析即可. 【详解】A. y=2x2﹣2的对称轴是x=0，故该选项不正确，不符合题意；； B. y=﹣2x2﹣2的对称轴是x=0，故该选项不正确，不符合题意；； C. y=2（x﹣2）2的对称轴是x=2，故该选项不正确，不符合题意；； D. y=（x+2）2的对称轴是x=-2，故该选项正确，符合题意；； 故选D 【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a≠0）的性质， y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，其顶点是（h，k），对称轴是x=h．熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键． 9. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方， 且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 故选：． 10. 抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 所以该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，，且点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 11. 函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　） A. 0 B. 0或2 C. 0或2或﹣2 D. 2或﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】解：∵函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点， ∴当m＝0时，y＝2x+1，此时y＝0时，x＝﹣0.5，该函数与x轴有一个交点， 当m≠0时，函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点， 则△＝（m+2）2﹣4m（m+1）＝0，解得，m1＝2，m2＝﹣2， 由上可得，m的值为0或2或﹣2， 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答． 12. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 二、填空题：（每小题3分，共18分）． 13. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 14. 若是一元二次方程的一个根，则_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查已知一元二次方程的根求参数的值，将代入方程即可求出m的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：2． 15. 二次函数y＝2x2+bx+3的图象的对称轴是直线x＝1，则常数b的值为_____． 【答案】-4 【解析】 【分析】根据对称轴方程，列出关于b的方程即可解答． 【详解】∵二次函数y=2x2﹣+bx+3的对称轴是直线x=1， ∴x=﹣=1， ∴b=﹣4． 故答案为﹣4． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟悉对称轴公式是解答本题的关键． 16. 如图所示，在同一坐标系中，作出①y=3x2②y=x2③y=x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）________ 【答案】(1)(3)(2) 【解析】 【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄． 【详解】①y=3x2，②y=x2，③y=x2中，二次项系数a分别为3、、1， ∵3＞1＞， ∴抛物线②y=x2的开口最宽，抛物线①y=3x2的开口最窄． 故依次填：①③②． 【考点】二次函数的图象． 17. 把抛物线向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线顶点坐标为（0,0）向右平移1个单位，然后向上平移3个单位后，顶点坐标为（1,3），根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式. 【详解】原抛物线顶点坐标为(0,0),平移后抛物线顶点坐标为(1,3)， ∴平移后抛物线解析式为：y=−(x-1) +3= 故答案为：y 18. 若二次函数在时的最大值为3，那么的值是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】求出二次函数的对称轴是，由于对称轴是变化的，我们分：①时；②当上时；③当时，三种情况结合增减性讨论即可． 【详解】解：二次函数的对称轴是， ，二次函数开口向下， ①当对称轴，即，即， ∴当时，图象位于对称轴右侧，随的增大而减小， 即当时，二次函数有最大值为， 解得； ②当时，即， ∴当时，二次函数有最大值为， 解得或， 由于，故； ③当时，，即， 当时，图象位于对称轴左侧，随的增大而增大， 即当时，二次函数有最大值为， 解得； ∵，故此种情况无解； 综上①②③所述，得，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查根据二次函数最值求参数值，属于典型题型“动轴定范围最值问题”，根据自变量范围分三种情况讨论是解决问题的关键． 三、解答题： 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键． （1）移项后，利用直接开平方法计算即可； （2）利用公式发求解即可； （3）移项整理后，利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 ， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问3详解】 ， ， ， ∴，； 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得； （2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得，再结合（1）的结论即可得． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式， 解得． 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得或， 由（1）已得：， 则的值为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键． 21. 已知二次函数． （1）用配方法将化成的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象（写出顶点，与x轴y轴交点坐标） （3）根据图象回答：当自变量满足什么条件时，随增大而增大？ 【答案】（1） （2） 二次函数的图象如图所示；顶点；与x轴交点坐标；与y轴交点坐标 （3）当时，随增大而增大 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的顶点式解析式、二次函数的图象及其增减性，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据完全平方公式来解答； （2）根据（1）中所求的二次函数的顶点式解析式作图； （3）根据（2）中的函数图象很直观的得出答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：根据（1）中的二次函数的顶点式关系式可知，该函数的顶点是； 当时，； 当时，即，解得或， ∴该函数图象经过点； 【小问3详解】 解：由（2）中的图象可知，当时，随增大而增大． 22. 一个二次函数的图象经过三点．求这个二次函数的解析式． 【答案】y＝4x2＋5x 【解析】 【分析】根据待定系数法求二次函数解析式，根据题意将已知点的坐标点代入，列出方程组求解即可． 【详解】解：设这个二次函数的解析式为， 分别把（0，0），（－1，－1），（1，9）代入， 得 解得a＝4， b＝5，c＝0， 所以这个二次函数的解析式为y＝4x2＋5x． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 23. 用总长为的篱笆围成矩形场地． （1）根据题意，填写下表： 矩形一边长/m 5 10 15 20 矩形面积/ 125 __________ __________ __________ （2）当矩形的长为__________m，宽为__________m时，矩形场地的面积为； （3）设矩形一边长为，矩形面积为，当l是多少时，矩形场地的面积最大？并求出矩形场地的最大面积． 【答案】（1） 完成表格如下： 矩形一边长 矩形面积 （2）18，12 （3）当l是时，矩形场地的面积S最大，最大面积为 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，根据题意表示出另一边长，将长乘以宽得出面积并配方找最大值是解题的关键． （1）根据一边长及周长求出另一边长，再根据矩形面积公式计算可得； （2）先表示出矩形的另一边长，再根据矩形面积公式列方程即可求解； （3）先表示出矩形的另一边长，再根据矩形面积公式，可得面积S关于x的函数解析式，配方成顶点式可得其最值情况； 【小问1详解】 解：若矩形一边长为，则另一边长为，此时矩形面积为：， 若矩形一边长为，则另一边长为，此时矩形面积为：， 若矩形一边长为，则另一边长为，此时矩形面积为：， 【小问2详解】 解：设矩形一边长为，则另一边长为，依题意，得： ， 解得：或， ∴当矩形的长为，宽为时，矩形场地的面积为， 故答案为：18，12． 【小问3详解】 解：设矩形一边长为，则另一边长为， ∴矩形场地的面积， 当时，S取得最大值，最大值为， 答：当l是时，矩形场地的面积S最大，最大面积为； 24. 已知抛物线y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，﹣2），顶点为B． （1）试确定a的值，并写出B点的坐标； （2）若一次函数的图象经过A、B两点，试写出一次函数的解析式； （3）试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值． 【答案】（1）a=1，B（1，﹣3）；（2）：y=﹣x﹣2；（3）P（，0） 【解析】 【详解】试题分析：（1）将点A的坐标代入抛物线的解析式即可求出a的值，根据抛物线的解析式即可求出点B的坐标． （2）设直线AB的解析式为y=kx+b，然后将点A与B的坐标代入即可求出k与b的值． （3）由于AB的长度是可求出的，所以△PAB的周长取最小值时，只需要PA+PB最小即可． 解：（1）将A（0，﹣2）代入y=a（x﹣1）2﹣3， ∴﹣2=a﹣3， ∴a=1， ∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2﹣3， ∴顶点B（1，﹣3）； （2）设直线AB的解析式为：y=kx+b， 将点A（0，﹣2）和B（1，﹣3）代入y=kx+b， ∴ ， 解得：， ∴直线AB的解析式为：y=﹣x﹣2； （3）设点A关于x轴对称的点为C， ∴C（0，2）， 设直线CB的解析式为：y=mx+n， 直线CB与x轴点P，此时△PAB的周长取最小值， 把C（0，2）和B（1，﹣3）代入y=mx+n， ∴， 解得：， ∴直线CB的解析式为：y=﹣5x+2， 令y=0代入y=﹣5x+2， ∴x=， ∴点P的坐标为（，0）. 点睛：本题涉及的知识有待定系数法求函数的解析式、最短路径问题.本题的难点在于第（3）问上，解题的关键是利用轴对称找出A关于x轴对称的点为C，连接CB从而确定点P的位置. 25. 如图，二次函数图象交坐标轴于点，，点P为线段上一动点． （1）求二次函数的解析式及顶点坐标； （2）过点作轴分别交线段、抛物线于点和点，求线段的最大值及此时的面积． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）线段的最大值为；此时的面积 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，坐标与图形，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设，则，表示出，根据二次函数的性质求得的最大值，进而根据三角形的面积公式，即可求解； 【小问1详解】 解：∵二次函数图象交坐标轴于点． ， 解得：， ， ， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， 设直线的解析式为，代入，则， ， ∴直线的解析式为， 设， 则， ∴， ∵， 当时，有最大值，最大值为， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海河中学初三年级数学学科综合练习 一、选择题：（每小题3分，共36分） 1. 若函数是关于的二次函数，且抛物线的开口向上，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 2. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 4. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 若方程5x2+x﹣5＝0的两个实数根分别为x1，x2．则x1+x2等于（　　） A. B. C. ﹣1 D. 1 6. 如图，在宽为、长为的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为，求小路的宽．若设小路的宽为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是设每个枝干长出x个小分支，则x满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 下列二次函数中，其图象的对称轴为x＝﹣2的是（　　） A. y＝2x2﹣2 B. y＝﹣2x2﹣2 C. y＝2 （x﹣2）2 D. y＝（x+2）2 9. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 或 10. 抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　） A. 0 B. 0或2 C. 0或2或﹣2 D. 2或﹣2 12. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（每小题3分，共18分）． 13. 抛物线的顶点坐标是______． 14. 若是一元二次方程的一个根，则_____________． 15. 二次函数y＝2x2+bx+3的图象的对称轴是直线x＝1，则常数b的值为_____． 16. 如图所示，在同一坐标系中，作出①y=3x2②y=x2③y=x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）________ 17. 把抛物线向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为_____． 18. 若二次函数在时的最大值为3，那么的值是_________． 三、解答题： 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 21. 已知二次函数． （1）用配方法将化成的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象（写出顶点，与x轴y轴交点坐标） （3）根据图象回答：当自变量满足什么条件时，随增大而增大？ 22. 一个二次函数的图象经过三点．求这个二次函数的解析式． 23. 用总长为的篱笆围成矩形场地． （1）根据题意，填写下表： 矩形一边长/m 5 10 15 20 矩形面积/ 125 __________ __________ __________ （2）当矩形的长为__________m，宽为__________m时，矩形场地的面积为； （3）设矩形一边长为，矩形面积为，当l是多少时，矩形场地的面积最大？并求出矩形场地的最大面积． 24. 已知抛物线y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，﹣2），顶点为B． （1）试确定a的值，并写出B点的坐标； （2）若一次函数的图象经过A、B两点，试写出一次函数的解析式； （3）试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值． 25. 如图，二次函数图象交坐标轴于点，，点P为线段上一动点． （1）求二次函数的解析式及顶点坐标； （2）过点作轴分别交线段、抛物线于点和点，求线段的最大值及此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $