21.2.2 一元二次方程的解法——公式法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第2课时　一元二次方程的解法 ——公式法 第二十一章 一元二次方程 ❶理解一元二次方程求根公式的推导过程. ❷熟练应用公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方程化为一般形式. ❸ (2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程. 复习引入 解：方程整理得 配方得 开平方得 解得 ± 想一想 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) 能否也用配方法得出它的解呢？ 求根公式的推导 一 合作探究 用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0). 二次项系数化为1，得 解： 移项，得 配方，得 即 ① 问题：对于方程①接下来能用直接开平方解吗？ ∵a ≠0，∴4a2>0. 式子b2－4ac 的值有一下三种情况： （1）b2－4ac ＞0 这时 ＞0，由①得 方程有两个不等的实数根 ± （2）b2－4ac =0 这时 =0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1=x2= - . （3）b2－4ac ＜0 这时 ＜0，由①可知 ＜0 ，而x取任何实数都不能使 ＜0 ，因此方程无实数根. 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 我们把b2−4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“Δ”表示，即 Δ= b2−4ac. Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Δ ≥ 0 一元二次方程根的判别式 二 1．用公式法解下列一元二次方程： (1)x2－x－2＝0． 解：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．  b2－4ac＝　 　＝　 　＞0．  x＝＝ 　＝ 　，  即x1＝　 　，x2＝　 　．  　－1　 　2　   　   　 　9　 　 (-1)2 －4×1×(－2)　 　－2　 　－1　 　1　 (2)2x2－4x＋2＝0． 解：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．  b2－4ac＝　 　＝　 　．  x＝＝  　，  即x1＝x2＝　 　．  　1　   　0　 　(－4) 2 －4×2×2　 　2　 　－4　 　2　 要点归纳 公式法解方程的步骤 1.变形：化已知方程为一般形式； 2.确定系数：用a，b，c写出各项系数； 3.计算：b2−4ac的值;(△) 4.判断：若b2−4ac ≥0，则利用求根公式求出； 若b2−4ac<0，则方程没有实数根. 2．用公式法解下列一元二次方程： (1)(2024重庆模拟)x2－5x＋1＝0； 解：(1)a＝1，b＝－5，c＝1， b2－4ac＝(－5)2－4×1×1＝21＞0， x＝， 即x1＝，x2＝． (2)x2－3x＋4＝0． 解：(2)a＝1，b＝－3，c＝4， b2－4ac＝(－3)2－4×1×4＝2＞0， x＝， 即x1＝2，x2＝． 小结：用公式法解方程时，先确定出a，b，c和b2-4ac的值. 3．【例1】用公式法解方程：x2＋3x＋1＝0． 解：a＝1，b＝3，c＝1，b2－4ac＝5＞0， x＝， 所以x1＝，x2＝． 小结：确定各项系数a，b，c的值时，不要漏掉前面的符号. 4．用公式法解方程：2x2－4x－1＝0． 解：a＝2，b＝－4，c＝－1，b2－4ac＝24＞0， x＝， 所以x1＝，x2＝． 小结：用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值；（2）求出b2-4ac的值；（3）若b2-4ac≥0，用求根公式求解. 5．用公式法解方程：(x－2)2＝x－3． 解：整理，得　 　．  a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．  b2－4ac＝　 　＝　 　＜0．  故方程　 　实数根．  　无　 　－3　 　(－5)2－4×1×7　 　7　 　－5　 　1　 　x2－5x＋7＝0　 7．用公式法解方程：x2－x－＝0． x＝ 8．用公式法解方程：2x2＋3x＝3． x＝ 9．用公式法解方程：x2－5＝2(x＋1)． x＝1±2 小结：注意一元二次方程的二次项系数不能为0. 6．某数学小组对关于x的方程(m＋1)＋(m－2)x－1＝0提出了问题：若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程． 解：存在．若使方程为一元二次方程，则m＋1≠0，即m≠－1，且m2＋2＝2，即m2＝0，m＝0，∴m＝0，当m＝0时，方程变为x2－2x－1＝0， ∵a＝1，b＝－2，c＝－1，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0， ∴x＝＝1±，∴x1＝1＋，x2＝1－． 因此，该方程是一元二次方程时，m＝0，两根为x1＝1＋，x2＝1－． ★10．若a2＋5ab－b2＝0(ab≠0)，求的值． 解：∵a2＋5ab－b2＝0，∴－1＝0， 令t＝，∴方程可化为t2＋5t－1＝0， ∴52－4×1×(－1)＝29＞0， 根据公式法得t＝， ∴的值为． 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）. 根的判别式b2−4ac 务必将方程化为一般形式 课堂小结 $$