第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式-2025届高三数学一轮复习

新高考数学一轮复习 第四章　三角函数 第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式 一、考情探究 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新I卷，第4题,5分 三角函数的化简、求值 同角三角函数基本关系 用和、差角的余弦公式化简、求值 2024年新I卷，第13题,5分 同角三角函数基本关系 用和、差角的正切公式化简、求值 2023年新I卷，第6题,5分 三角函数求值 余弦定理解三角形、已知点到直线距离求参数、切线长问题 2023年新Ⅱ卷，第16题,5分 特殊角的三角函数值 由图象确定正(余)弦型函数解析式 2021年新I卷，第6题,5分 正、余弦齐次式的计算 三角函数求值 二倍角的正弦公式 二、课标要求 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式． 三、 命题规律及备考策略 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合，可起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力． 四、知识梳理 1. 两角互余的三角函数关系 互余，， 已知，则： 2. 两角互补的三角函数关系 互补，，， 已知，则：， 3. 常见三角不等式 若，则； 若，则. . 4. 同角三角函数的基本关系 平方关系： 商数关系： 推导公式： 5. 诱导公式 （1） 诱导类型 或，， 或，， 或，， （2） 诱导方法：奇变偶不变，符号看象限 奇偶指的是或中的奇偶， 若为奇数，变函数名；， 若为偶数，不变函数名；，， 象限指的是原函数名的象限，再判断符号 规定：无论角多大，看作第一象限角（锐角） 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 常用结论 同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α. 五、课堂考点突破 考点一　同角三角函数基本关系式的直接应用 [例1]　（1）已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝（　　） A.24 B.－24 C.0 D.1 （2）已知tan α＝2，π＜α＜，则sin α＋cos α＝（　　） A.－ B.－ C.－ D. [变式训练] 1.若α∈，sin（π－α）＝，则tan α＝（　　） A.－ B. C.－ D. 2.（2024·辽宁鞍山模拟）已知α是第四象限角，且满足sin α＋cos α＝，则tan α＝    . 考点二　sin α与cos α的齐次式问题 [例2]　若tan θ＝－2，则＝（　　） A.－ B.－ C. D. [变式训练] 3.已知tan α＝2，则＝      ； sin2α＋cos2α＝    . 答案： 考点三　sin α±cos α，sin αcos α之间的关系问题 [例3]　（多选）已知θ∈（0，π），sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是（　　） A.sin θ＝ B.cos θ＝－ C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝ [变式训练] 4.（2024·湖北宜昌模拟）若θ是△ABC的一个内角，且sin θcos θ＝－，则sin θ－cos θ的值为（　　） A. B.－ C.± D.± 5.如果角θ满足sin θ＋cos θ＝，那么tan θ＋的值是（　　） A.－1 B.－2 C.1 D.2 考点四　诱导公式的应用 [例4]　（1）若sin（π＋α）＝－，则sin（4π－α）的值是（　　） A. B.－ C.－ D. （2）（2024·山西太原模拟）记cos（－80°）＝k，那么tan 280°＝（　　） A. B.－ C. D.－ （3）的值为（　　） A.1 B.－1 C.sin α D.tan α [变式训练] 6.（2024·辽宁大连模拟）已知α为钝角，且sin α＝，则sin的值为（　　） A. B.－ C. D.－ 7.（2024·上海模拟）已知sin＝，θ∈，则tan的值为（　　） A. B.－ C. D.－ 考点五　同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用 [例5]　（1）已知＝2，则sin（α－5π）·sin＝（　　） A. B. C.± D.－ （2）化简＝（　　） A.±（cos 2－sin 2） B.sin 2－cos 2 C.cos 2－sin 2 D.sin 2＋cos 2 [变式训练] 8.已知α为锐角，且2tan（π－α）－3cos＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin（π＋β）－1＝0，则sin α的值是（　　） A. B. C. D. 9.已知sin α＋cos α＝－，且＜α＜π，则＋的值为    . 六、课后作业 一、单项选择题 1．若角α的终边在第三象限，则＋等于(　　) A．3 B．－3 C．1 D．－1 2．以下四个数中，与sin 2 024°的值最接近的是(　　) A．－ B. C．－ D. 3．(2023·安康模拟)已知sin＝，－<θ<，则sin等于(　　) A．－ B．－ C. D. 4．(2023·天津模拟)在计算机尚未普及的年代，人们在计算三角函数时常常需要查表得到正弦值和余弦值，三角函数表的制作最早可追溯到古希腊数学家托勒密．下面给出了正弦表的一部分，例如，通过查表可知2°12′的正弦值为0.038 4,30°54′的正弦值为0.513 5，等等．则根据该表，416.5°的余弦值为(　　) 0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ 0° 0.000 0 0017 0035 0052 0070 0087 0105 0122 0140 0157 0175 1° 0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349 2° 0349 0366 0384 0401 0419 0436 0454 0471 0488 0506 0523 30° 5000 5015 5030 5045 5060 5075 5090 5105 5120 5135 5150 31° 5150 5165 5180 5195 5210 5225 5240 5255 5270 5284 5299 32° 5299 5314 5329 5344 5358 5373 5388 5402 5417 5432 5446 33° 5446 5461 5476 5490 5505 5519 5534 5548 5563 5577 5592 34° 5592 5606 5621 5635 5650 5664 5678 5693 5707 5721 5736 …… A.0.546 1 B．0.551 9 C．0.550 5 D．0.573 6 5．(2024·北京模拟)已知cos α＝，α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，则tan β等于(　　) A. B．－ C. D．－ 6．已知α，β∈，且满足sin αcos β－2cos αsin β＝0，则tan(2π＋α)＋tan的最小值为(　　) A．2 B. C．1 D．2 二、多项选择题 7．在△ABC中，下列结论正确的是(　　) A．sin(A＋B)＝sin C B．sin ＝cos C．tan(A＋B)＝－tan C D．cos(A＋B)＝cos C 8．已知sin θ＋cos θ＝t，θ∈，t∈(－1，]，函数f(θ)＝sin θ＋cos θ－sin θcos θ，则下列选项正确的是(　　) A．当t＝时，sin θcos θ的值为 B．当t＝时，sin3θ－cos3θ的值为－ C．函数f(θ)的值域为(－1，] D．函数f(θ)的值域为(－1,1] 三、填空题 9．(2023·重庆模拟)若sin α＝2cos α，则cos2α＋sin αcos α－sin2α＝ . 10．已知tan α＝cos α，则－＝ . 11．已知cos＝，则cos＝ ，sin＝ . 12．已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－，则sin θ＋cos θ＝ . 四、解答题 13．(1)若α是第二象限角，且cos＝－，求tan α的值； (2)已知f(α)＝，化简f(α)，在(1)的条件下，求f(α)的值． 14．在①4sin(2 022π＋α)＝－3cos(2 024π＋α)；②sin α＋cos α＝；③α，β的终边关于x轴对称，并且4sin β＝3cos β这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答问题． 已知第四象限角α满足 ，求下列各式的值． (1)； (2)sin2α＋3sin αcos α. 15．(多选)(2024·大连模拟)在△ABC中，若tan ＝sin C，则下列结论正确的是(　　) A.＝1 B．1<sin A＋sin B≤ C．sin2A＋cos2B＝1 D．cos2A＋cos2B＝sin2C 16．已知＝sin2x＋sin2y，则sin x·sin y的值为 ． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第四章　三角函数 第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式 一、考情探究 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新I卷，第4题,5分 三角函数的化简、求值 同角三角函数基本关系 用和、差角的余弦公式化简、求值 2024年新I卷，第13题,5分 同角三角函数基本关系 用和、差角的正切公式化简、求值 2023年新I卷，第6题,5分 三角函数求值 余弦定理解三角形、已知点到直线距离求参数、切线长问题 2023年新Ⅱ卷，第16题,5分 特殊角的三角函数值 由图象确定正(余)弦型函数解析式 2021年新I卷，第6题,5分 正、余弦齐次式的计算 三角函数求值 二倍角的正弦公式 二、课标要求 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式． 三、 命题规律及备考策略 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合，可起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力． 四、知识梳理 1. 两角互余的三角函数关系 互余，， 已知，则： 2. 两角互补的三角函数关系 互补，，， 已知，则：， 3. 常见三角不等式 若，则； 若，则. . 4. 同角三角函数的基本关系 平方关系： 商数关系： 推导公式： 5. 诱导公式 （1） 诱导类型 或，， 或，， 或，， （2） 诱导方法：奇变偶不变，符号看象限 奇偶指的是或中的奇偶， 若为奇数，变函数名；， 若为偶数，不变函数名；，， 象限指的是原函数名的象限，再判断符号 规定：无论角多大，看作第一象限角（锐角） 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 常用结论 同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α. 五、课堂考点突破 考点一　同角三角函数基本关系式的直接应用 [例1]　（1）已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝（　　） A.24 B.－24 C.0 D.1 （2）已知tan α＝2，π＜α＜，则sin α＋cos α＝（　　） A.－ B.－ C.－ D. [答案]　（1）C　（2）A [解析]　（1）∵cos α＝－＜0，且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角. ①若α是第二象限角， 则sin α＝＝＝， ∴tan α＝＝＝－. 此时13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0. ②若α是第三象限角， 则sin α＝－＝－＝－， ∴tan α＝＝＝， 此时，13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0. 综上，13sin α＋5tan α＝0. （2）由tan α＝＝2，得sin α＝2cos α. 代入sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝. 又π＜α＜，∴cos α＝－，sin α＝tan αcos α＝－， ∴sin α＋cos α＝－. [变式训练] 1.若α∈，sin（π－α）＝，则tan α＝（　　） A.－ B. C.－ D. 答案：C 解析：因为α∈，sin（π－α）＝sin α＝， 所以cos α＝－，所以tan α＝－. 2.（2024·辽宁鞍山模拟）已知α是第四象限角，且满足sin α＋cos α＝，则tan α＝    . 答案：－ 解析：由α是第四象限角，可得sin α＜0，cos α＞0，则sin α－cos α＜0， 因为sin α＋cos α＝，可得＝1＋2sin αcos α＝， 可得2sin αcos α＝－， 又由＝1－2sin αcos α＝， 因为sin α－cos α＜0，可得sin α－cos α＝－， 联立方程组，可得sin α＝－，cos α＝，所以tan α＝＝－. 考点二　sin α与cos α的齐次式问题 [例2]　若tan θ＝－2，则＝（　　） A.－ B.－ C. D. [答案]　C [解析]　法一（求值代入法）：因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限， 所以或所以＝＝sin θ（sin θ＋cos θ）＝sin2θ＋sin θcos θ＝－＝. 法二（弦化切法）：因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ（sin θ＋cos θ） ＝＝＝＝. [变式训练] 3.已知tan α＝2，则＝      ； sin2α＋cos2α＝    . 答案： 解析：因为tan α＝2， 所以＝＝＝. sin2 α＋cos2 α＝·＋· ＝·＋·＝×＋×＝. 考点三　sin α±cos α，sin αcos α之间的关系问题 [例3]　（多选）已知θ∈（0，π），sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是（　　） A.sin θ＝ B.cos θ＝－ C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝ [答案]　ABD [解析]　由题意知sin θ＋cos θ＝， ∴（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝， ∴2sin θcos θ＝－＜0. 又∵θ∈（0，π），∴＜θ＜π， ∴sin θ－cos θ＞0， ∴sin θ－cos θ＝＝＝＝， ∴sin θ＝，cos θ＝－， ∴tan θ＝－，∴A，B，D正确. [变式训练] 4.（2024·湖北宜昌模拟）若θ是△ABC的一个内角，且sin θcos θ＝－，则sin θ－cos θ的值为（　　） A. B.－ C.± D.± 答案：A 解析：∵θ是△ABC的一个内角，且sin θcos θ＝－， ∴sin θ＞0，cos θ＜0，∴sin θ－cos θ＞0. ∵（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝1＋＝， ∴sin θ－cos θ＝. 5.如果角θ满足sin θ＋cos θ＝，那么tan θ＋的值是（　　） A.－1 B.－2 C.1 D.2 答案：D 解析：∵sin θ＋cos θ＝，∴1＋2sin θcos θ＝2，即sin θcos θ＝，那么tan θ＋＝＋＝＝2. 考点四　诱导公式的应用 [例4]　（1）若sin（π＋α）＝－，则sin（4π－α）的值是（　　） A. B.－ C.－ D. （2）（2024·山西太原模拟）记cos（－80°）＝k，那么tan 280°＝（　　） A. B.－ C. D.－ （3）的值为（　　） A.1 B.－1 C.sin α D.tan α [答案]　（1）B　（2）B　（3）B [解析]　（1）由题知，sin α＝，∴sin（4π－α）＝－sin α＝－. （2）∵cos（－80°）＝k，∴sin（－80°）＝－， 那么tan 280°＝tan（－80°）＝＝－. （3）原式＝＝＝－＝－1. [变式训练] 6.（2024·辽宁大连模拟）已知α为钝角，且sin α＝，则sin的值为（　　） A. B.－ C. D.－ 答案：D 解析：因为α为钝角，所以cos α＜0， 由sin2 α＋cos2 α＝1得，cos α＝－＝－，则sin＝cos α＝－. 7.（2024·上海模拟）已知sin＝，θ∈，则tan的值为（　　） A. B.－ C. D.－ 答案：C 解析：sin＝－sin＝－cos θ＝，则cos θ＝－，因为θ∈， 所以sin θ＝＝，所以tan θ＝＝－， 所以tan＝－tan θ＝. 考点五　同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用 [例5]　（1）已知＝2，则sin（α－5π）·sin＝（　　） A. B. C.± D.－ （2）化简＝（　　） A.±（cos 2－sin 2） B.sin 2－cos 2 C.cos 2－sin 2 D.sin 2＋cos 2 [答案]　（1）B　（2）D [解析]　（1）＝＝2，解得tan α＝3. ∴sin（α－5π）·sin＝－sin α（－cos α）＝＝＝. （2）∵sin（π－2）＝sin 2，cos（π－2）＝－cos 2， ∴ ＝ ＝ ＝｜sin 2＋cos 2｜. ∵sin 2＞0，cos 2＜0，且｜sin 2｜＞｜cos 2｜， ∴＝sin 2＋cos 2. [变式训练] 8.已知α为锐角，且2tan（π－α）－3cos＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin（π＋β）－1＝0，则sin α的值是（　　） A. B. C. D. 答案：C 解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0， tan α－6sin β－1＝0， 解得tan α＝3. 又α为锐角，故sin α＝. 9.已知sin α＋cos α＝－，且＜α＜π，则＋的值为    . 答案： 解析：由sin α＋cos α＝－， 两边平方得sin αcos α＝－. ∵＜α＜π， ∴sin α－cos α＝＝， ∴＋＝－＝＝＝. 六、课后作业 一、单项选择题 1．若角α的终边在第三象限，则＋等于(　　) A．3 B．－3 C．1 D．－1 答案　B 解析　由角α的终边在第三象限， 得sin α<0，cos α<0， 故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3. 2．以下四个数中，与sin 2 024°的值最接近的是(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　sin 2 024°＝sin(360°×5＋224°)＝sin 224°＝sin(180°＋44°)＝－sin 44°， ∵sin 45°＝，∴sin 2 024°的值最接近－. 3．(2023·安康模拟)已知sin＝，－<θ<，则sin等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　sin＝sin＝cos， ∵－<θ<， ∴－<＋θ<，又sin＝>0， ∴cos＝＝， 即sin＝. 4．(2023·天津模拟)在计算机尚未普及的年代，人们在计算三角函数时常常需要查表得到正弦值和余弦值，三角函数表的制作最早可追溯到古希腊数学家托勒密．下面给出了正弦表的一部分，例如，通过查表可知2°12′的正弦值为0.038 4,30°54′的正弦值为0.513 5，等等．则根据该表，416.5°的余弦值为(　　) 0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ 0° 0.000 0 0017 0035 0052 0070 0087 0105 0122 0140 0157 0175 1° 0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349 2° 0349 0366 0384 0401 0419 0436 0454 0471 0488 0506 0523 30° 5000 5015 5030 5045 5060 5075 5090 5105 5120 5135 5150 31° 5150 5165 5180 5195 5210 5225 5240 5255 5270 5284 5299 32° 5299 5314 5329 5344 5358 5373 5388 5402 5417 5432 5446 33° 5446 5461 5476 5490 5505 5519 5534 5548 5563 5577 5592 34° 5592 5606 5621 5635 5650 5664 5678 5693 5707 5721 5736 …… A.0.546 1 B．0.551 9 C．0.550 5 D．0.573 6 答案　B 解析　由题意查表可得sin 33.5°＝sin 33°30′＝0.551 9， 可得cos 416.5°＝cos(360°＋56.5°)＝cos 56.5°＝sin(90°－56.5°)＝sin 33.5°＝0.551 9. 5．(2024·北京模拟)已知cos α＝，α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，则tan β等于(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　∵α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称， ∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z， ∴tan β＝tan(π－α＋2kπ) ＝tan(π－α)＝－tan α＝－＝－＝－. 6．已知α，β∈，且满足sin αcos β－2cos αsin β＝0，则tan(2π＋α)＋tan的最小值为(　　) A．2 B. C．1 D．2 答案　D 解析　因为sin αcos β－2cos αsin β＝0，α，β∈，所以tan α>0，tan β>0，tan α＝2tan β， 所以tan(2π＋α)＋tan＝tan α＋＝2tan β＋≥2，当且仅当tan β＝时，等号成立． 二、多项选择题 7．在△ABC中，下列结论正确的是(　　) A．sin(A＋B)＝sin C B．sin ＝cos C．tan(A＋B)＝－tan C D．cos(A＋B)＝cos C 答案　ABC 解析　在△ABC中，有A＋B＋C＝π， 则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确； sin ＝sin＝cos ，B正确； tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，C正确； cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，D错误． 8．已知sin θ＋cos θ＝t，θ∈，t∈(－1，]，函数f(θ)＝sin θ＋cos θ－sin θcos θ，则下列选项正确的是(　　) A．当t＝时，sin θcos θ的值为 B．当t＝时，sin3θ－cos3θ的值为－ C．函数f(θ)的值域为(－1，] D．函数f(θ)的值域为(－1,1] 答案　BD 解析　当t＝时，sin θ＋cos θ＝， 两边平方，可得1＋2sin θcos θ＝， 可得sin θcos θ＝－<0，故A错误； 所以θ∈，所以sin θ－cos θ＝－＝－＝－， 可得sin3θ－cos3θ＝(sin θ－cos θ)(sin2θ＋cos θsin θ＋cos2θ)＝×＝－，故B正确； 因为sin θ＋cos θ＝t，t∈(－1，]， 两边平方，可得1＋2sin θcos θ＝t2， 可得sin θcos θ＝，所以sin θ＋cos θ－sin θcos θ＝t－＝1－(t－1)2， 因为t∈(－1，]， 所以f(θ)＝sin θ＋cos θ－sin θcos θ∈(－1,1]，故C错误，D正确． 三、填空题 9．(2023·重庆模拟)若sin α＝2cos α，则cos2α＋sin αcos α－sin2α＝ . 答案　－ 解析　由sin α＝2cos α，得tan α＝2， 则cos2α＋sin αcos α－sin2α＝＝＝＝－. 10．已知tan α＝cos α，则－＝ . 答案　1 解析　因为tan α＝＝cos α， 故sin α＝cos2α， 则－＝＝＝＝＝1. 11．已知cos＝，则cos＝ ，sin＝ . 答案　－　 解析　cos＝cos＝－cos＝－. sin＝sin＝cos＝. 12．已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－，则sin θ＋cos θ＝ . 答案　 解析　因为sin θ－2cos θ＝－， 则2＋cos2θ＝1， 所以5cos2θ－cos θ－＝0， 即＝0， 又因为θ为第一象限角， 所以cos θ＝，所以sin θ＝， 从而sin θ＋cos θ＝. 四、解答题 13．(1)若α是第二象限角，且cos＝－，求tan α的值； (2)已知f(α)＝，化简f(α)，在(1)的条件下，求f(α)的值． 解　(1)∵cos＝－sin α＝－， ∴sin α＝，又α是第二象限角， ∴cos α＝－＝－， 则tan α＝＝－. (2)f(α)＝ ＝＝cos α， 由(1)知，cos α＝－， 则f(α)＝cos α＝－. 14．在①4sin(2 022π＋α)＝－3cos(2 024π＋α)；②sin α＋cos α＝；③α，β的终边关于x轴对称，并且4sin β＝3cos β这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答问题． 已知第四象限角α满足 ，求下列各式的值． (1)； (2)sin2α＋3sin αcos α. 解　若选择条件①： ∵4sin(2 022π＋α)＝－3cos(2 024π＋α)， ∴4sin α＝－3cos α， ∴tan α＝－. 若选择条件②： ∵α是第四象限角， ∴sin α<0，cos α>0， 又sin α＋cos α＝， ∴2＋cos2α＝1， ∴cos α＝，sin α＝－， ∴tan α＝－. 若选择条件③： ∵α是第四象限角， ∴sin α<0，cos α>0， 又∵α，β的终边关于x轴对称， ∴sin α＝－sin β，cos α＝cos β. 又∵4sin β＝3cos β， ∴－4sin α＝3cos α， 即tan α＝－. (1)＝ ＝＝1. (2)sin2α＋3sin αcos α＝ ＝＝＝－. 15．(多选)(2024·大连模拟)在△ABC中，若tan ＝sin C，则下列结论正确的是(　　) A.＝1 B．1<sin A＋sin B≤ C．sin2A＋cos2B＝1 D．cos2A＋cos2B＝sin2C 答案　BD 解析　由tan ＝sin C ⇒tan＝＝＝2sin cos ， 因为0<<，所以cos ≠0， 所以1＝2sin2⇒1－2sin2＝0 ⇒cos C＝0⇒C＝， 所以tan B＝tan＝，＝tan2A不一定为1，A错误； 因为sin A＋sin B＝sin A＋cos A＝sin，0<A<⇒<A＋<， 所以<sin≤1⇒1<sin≤， 从而有1<sin A＋sin B≤，B正确； 因为cos B＝cos＝sin A，所以sin2A＋cos2B＝2sin2A不一定等于1，C错误； cos2A＋cos2B＝cos2A＋sin2A＝1＝sin2C，D正确． 16．已知＝sin2x＋sin2y，则sin x·sin y的值为 ． 答案　0 解析　 记sin2x＝m，sin2y＝n， 则tan2x＝，tan2y＝， 于是题中等式即＝m＋n， 也即＝m＋n， 整理得mn(m＋n－2)＝0， 于是m＝0或n＝0或m＋n＝2. 若m＋n＝2，则sin2x＝sin2y＝1，不符合题意． 因此sin x＝0或sin y＝0， 于是sin x·sin y＝0. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$