3.1.1椭圆及其标准方程同步检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册

3.1.1　椭圆及其标准方程（同步检测） 一、选择题 1.下列说法中正确的是(　　) A.到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 B.到点M(0，－3)，N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 D.到点M(0，－3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆 2.设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为(　　) A.24 B.12 C.8 D.6 3.已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋x2＝1 4.“2<m<6”是“方程＋＝1为椭圆”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|等于(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 6.P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为(　　) A.60° B.30° C.120° D.150° 7.(多选)已知P是椭圆E：＋＝1上一点，F1，F2是椭圆E的左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是(　　) A.点P的纵坐标为3 B.∠F1PF2> C.△F1PF2的周长为4(＋1) D.△F1PF2的内切圆半径为 8.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是(　　) A.当a＝2时，点P的轨迹不存在 B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 二、填空题 9.已知椭圆C：＋＝1的左焦点为F，A，B是C上关于原点对称的两点，且∠AFB＝90°，则△ABF的周长为________ 10.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若在椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积是2，则a＝________ 11.在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________ 12.已知点P(6,8)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若·＝0．则椭圆的标准方程是________，sin∠PF1F2＝________ 三、解答题 13.已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 14.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－)，； (2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点． 15.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，∠F1PF2＝120°，|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－. (1)求椭圆C的方程；(2)求△F1PF2的面积． 参考答案及解析： 一、选择题 1.C 解析：由椭圆定义知，C正确． 2.C 解析：∵P为椭圆C：＋＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，∴|PF1|＝6，|PF2|＝8.又|F1F2|＝2c＝2＝10，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴△PF1F2是直角三角形，＝|PF1|·|PF2|＝24.∵△PF1F2的重心为点G，∴＝3，∴△GPF1的面积为8. 3.A 解析：由已知得c＝1，又由点P(2,0)在椭圆上，可得a＝2，则b2＝3，∴椭圆的方程为＋＝1. 4.B 解析：若方程＋＝1表示椭圆，则解得2<m<6且m≠4， 所以“2<m<6”是“方程＋＝1为椭圆”的必要不充分条件． 5.C 解析：根据椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，所以|AF1|＋|BF1|＝16－|AB|＝11. 6.A 解析：由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64， ∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40，在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝， ∵0°＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝60°. 7.CD 解析：由已知得a＝2，b＝2，c＝2.F1(－2,0)，F2(2,0) 不妨设P(m，n)，m>0，n>0，则＝·2c·n＝3，解得n＝，∴＋＝1，解得m＝， ∴P，∴|PF1|2＝2＋＝＋2，|PF2|2＝2＋＝－2， ∴|PF1|2＋|PF2|2－(2c)2＝×2－16＝>0，∴cos∠F1PF2＝>0， ∴∠F1PF2<，故A，B错误；△F1PF2的周长＝2a＋2c＝4＋4，故C正确；设△F1PF2的内切圆半径为r，则(4＋4)r＝3，∴r＝，故D正确． 8.AC 解析：当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确； 当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确； 当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误． 二、填空题 9.答案：14 解析：设椭圆的右焦点为F1，连接AF1，BF1，AB， 根据椭圆的对称性可得∠AF1B＝90°， 即四边形AFBF1为矩形，所以|BF|＝|AF1|，|AB|＝|FF1|＝2c＝2＝6，由椭圆的定义可得|AF|＋|AF1|＝2a＝8，所以|AF|＋|BF|＝8， 所以△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝8＋6＝14. 10.答案： 解析：根据椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，由PF1⊥PF2，得△PF1F2为直角三角形，∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，又∵△PF1F2的面积为2，∴·|PF1|·|PF2|＝2，则|PF1|·|PF2|＝4， ∴(2a)2＝(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2＋8，可得a2－c2＝2＝b2， 由＋＝1可得b2＝a2－4，所以a2－4＝2，解得a＝. 11.答案： 解析：由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3. 则△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)分别为椭圆的左、右焦点，顶点B在椭圆＋＝1上， ∴|BC|＋|AB|＝2a＝10， ∴由正弦定理可知＝＝＝. 12.答案：＋＝1，　 解析：因为·＝0，所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10， 所以F1(－10,0)，F2(10,0)， 所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝12， 所以a＝6，b2＝80．所以椭圆方程为＋＝1． 如图所示， 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则|PM|＝8，|F1M|＝10＋6＝16， 所以|PF1|＝＝＝8，所以sin∠PF1F2＝＝＝． 三、解答题 13.解：由已知得a＝2，b＝，所以c＝＝＝3，从而|F1F2|＝2c＝6， 在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.① 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4，即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.② 由①②得|PF1|·|PF2|＝4. 所以＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝. 14.解：(1)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)． 将两点(2，－)，代入， 得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，所以a2－b2＝16.① 又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1， 即＋＝1.② 由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 15.解：(1)由椭圆的定义得，2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，∴a＝2， 在△PF1F2中，由余弦定理可得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 120°， ∴4c2＝15，∴c＝，b2＝a2－c2＝4－＝，故椭圆C的方程为＋4y2＝1. (2)＝|PF1||PF2|sin 120°＝×(2＋)×(2－)×＝. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$