导数切线问题(方法+题型+归纳总结)讲义-2025届高三数学一轮复习

利用导函数研究函数的切线问题 (典型题型归类训练) 题型一：“在点”型求切线方程 2 题型二：”过点”型求切线方程 6 题型三：已知切线方程求参数 10 题型四：过点切线条数 14 题型五：已知切线条数求参数 17 题型六：公切线问题 24 题型七：存在切线垂直平行重合问题 32 题型八：切线斜率或倾斜角范围问题 34 题型九：奇偶函数切线问题 36 题型一：“在点”型求切线方程 曲线在点处的切线指的是为切点的切线，如下图； 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【例1】函数在处的切线方程为 ．（结果写成一般式） 【变式1-1】曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知曲线在点处的切线方程为，则___________. 【变式1-3】已知函数，函数（且）的图象过定点，若曲线在处的切线经过点，则实数的值为______． 【变式1-4】已知函数（其中）在处的切线为，则直线过定点的坐标为 . 【例2】已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数 . 【变式2-1】设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】函数（、）在点处的切线斜率为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为，则 等于（ ） A. B. C. D.1 【例3】若曲线在点处的切线与直线平行，则___________. 【变式3-1】等比数列中，，函数，则（ ） A. B. 【变式3-2】设函数是两两不等的常数)，则_________. 1.曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2.曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（    ） A． B． C． D． 3.若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的值为（    ） A． B．2或 C．2 D．1或 4.若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D．不存在 5.过曲线上一点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为 A． B． C． D． 6.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B． C．-2 D． 7.若曲线在点处的切线方程是，则（    ） A． B． C． D． 8. 已知函数的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，其中，，则　 　． 9.已知函数，若曲线在处的切线方程为，则 ． 10.已知函数在点处的切线与直线平行，则实数 . 题型二：”过点”型求切线方程 “过点”型求切线方程 过点的切线是指切线过点，点是否切点均可，切线可多条，如下图. 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【例1】已知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程 ． 【变式1-1】函数过原点的切线方程是_______. 【变式1-2】过点作曲线的切线，则该切线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-3】过点作曲线的切线，则切线方程是__________． 1．函数过点的切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 2．已知函数，则曲线过坐标原点的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3.若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．过原点与曲线相切的一条切线的方程为 . 5. 已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为 . 6．过点作曲线的切线，则切线方程为 ． 7.过点与曲线相切的直线方程为 ． 8. 已知函数，求经过点的曲线的切线方程． 9.过点且与曲线相切的直线方程为 10.已知曲线的一条切线经过点，求该切线方程． 11.过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______. 12.已知曲线，曲线过点的切线方程. 题型三：已知切线方程求参数 已知切线或切点求参数问题，核心是切点，根据切点可以把曲线、切线、切点的三个关系联系起来，列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上． 【例1】若直线与曲线相切，则实数a的值为（    ） A． B．0 C． D． 【变式1-1】已知直线与曲线相切，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式1-2】若直线是曲线的切线，则　 　． 【变式1-3】已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 . 【例2】已知直线与曲线相切，则的最小值为 【变式2-1】若直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．－2 C．－1 D．0 【变式2-2】已知直线与曲线相切于点，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知是曲线的一条切线，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】已知直线与函数的图象相切，则的最小值为 ． 1.若直线与曲线相切，则实数（    ） A． B. C． D． 2.已知直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.已知函数，若曲线的一条切线的方程为，则 . 4.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则　 　． 5.已知，直线与曲线相切，则 ． 6.对给定的实数，总存在两个实数，使直线与曲线相切，则的取值范围为 . 7．若直线是曲线的一条切线，则的最小值为（    ） A． B． C．ln 2 D． 8.已知直线:，函数，若存在切线与关于直线对称，则__________． 9．已知直线y＝kx+b为曲线f（x）＝lnx的一条切线，则k⋅b的取值范围为 　　． 题型四：过点切线条数 已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解； ”过点型“切线条数判断： 1. 有几个切点横坐标，就有几条切线。 2.切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断。 【例1】已知曲线，则过点可向引切线，其切线条数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知函数，则过点（0，0）可作曲线的切线的条数为(   ) A．3 B．0 C．1 D．2 【变式1-2】经过点作曲线的切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式1-3】已知函数，过点可作曲线切线的条数为 A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 【变式2-1】函数为上的奇函数，过点作曲线的切线，可作切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 1.已知函数，则曲线过点的切线有（      ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 2.已知过点且与曲线相切的直线的条数有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 3.已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4.过点做曲线的切线，最多有 条. 5．已知函数，过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五：已知切线条数求参数 已知切线条数求参数，其实就是转换成切线方程根的个数问题求参数。 【例1】已知，如果过点可作曲线的三条切线.则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围为__________． 【变式1-4】若函数在处的切线与的图像有三个公共点，则的取值范围 ． 【例2】已知函数，若过点可作两条直线与曲线相切，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C．的最大值为2 D． 【变式2-1】若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2-3】若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（    ） A． B． C． D． 【例3】已知函数，过点作曲线的两条切线，切点分别为和，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-1】过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C．1 D．2 1.已知函数，若过点能作三条直线与的图像相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 3．若经过点可以且仅可以作曲线的一条切线，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．或 4.若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 5.若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．过点作曲线切线有且只有两条，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7.已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数a的取值可能为（    ） A． B． C． D． 8.过点作曲线的切线，若切线有且只有两条，则实数的取值范围是___________. 9.若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是___________ 题型六：公切线问题 公切线问题基本步骤： 1.设两切点，求出两切点对应的斜率,且=。 公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解． 已知和存在（）条公切线问题 第一步 设的切点 设的切点 求公切线的斜率 写出并整理切线 整理得： 整理得： 联立已知条件 消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数； 消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数； 【例1】若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=　　． 【变式1-1】若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．26 B．23 C．15 D．11 【变式1-2】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则　． 【变式1-3】已知直线是函数与函数的公切线，若是直线与函数相切的切点，则____________． 【例2】试写出曲线与曲线的一条公切线方程 . 【变式2-1】已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】写出曲线与的一条公切线方程： . 【例3】若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值范围是 ． 【变式3-2】若曲线 与曲线 存在公共切线，则的取值范围为　 ． 【变式3-3】已知函数 若曲线与曲线存在2 条公切线， 求a的取值范围. 【例4】若存在过点的直线与曲线和都相切，则实数　 　． 【变式4-1】曲线过点的切线也是曲线的切线，则 ； 1.已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（    ） A．0 B． C．0或 D．或 2.若直线是曲线的切线，也是的切线，则（    ） A． B． C． D． 3.曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.若存在直线，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足，则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数，，若和存在唯一的“隔离直线”，则（    ） A． B． C． D． 5.斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 6.若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 7.已知直线y＝kx+b是曲线y＝ln（1+x）与y＝2+lnx的公切线，则k+b＝　　． 8.已知直线l：y＝kx+b是函数f（x）＝ax2（a＞0）与函数g（x）＝ex的公切线，若（1，f（1））是直线l与函数f（x）相切的切点，则b＝　　． 9.已知曲线与的公切线为，则实数 . 10.若曲线与曲线存在2条公共切线，则a的值是_________． 11.若二次函数的图象与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为　 ． 12.若曲线与存在公共切线，则实数的取值范围是　 　． 题型七：存在切线垂直平行重合问题 【例1】函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知函数的图象上存在不同的两点、，使得曲线在这两点处的切线重合，则点的横坐标的取值范围可能是（    ） A．， B． C．， D． 1.已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 2.函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3.若函数的图象上存在互相垂直的切线，则实数的值为　 　． 4.已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围． 题型八：切线斜率或倾斜角范围问题 【例1】过函数图象上一动点作函数图象的切线，则切线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围； 【变式1-2】已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为 ． 1.已知曲线与轴交于点，设经过原点的切线为，设上一点横坐标为，若直线，则所在的区间为（    ） A． B． C． D． 2.过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 3.点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l平行的是（    ） A． B． C． D． 题型九：奇偶函数切线问题 求奇偶函数在某点的切线方程，有两种常见的方法： 1.根据奇偶性求出对称区间的解析式，然后再利用该解析式求导求斜率。 2.根据奇偶函数的性质，奇函数在对称点处的切线斜率相同，偶函数在对称点的切线斜率相反，求出斜率后利用点斜式方程求切线方程 【例1】．已知函数f（x）是偶函数，当x＜0时，f（x）＝x3﹣x+1，则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为（　　） A．2x+y﹣1＝0 B．2x﹣y﹣3＝0 C．2x+y﹣3＝0 D．2x﹣y﹣1＝0 【变式1-1】已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是__y＝2x 【变式1-2】已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．2 D． 【变式1-3】已知函数，为的导函数，则 . 1.已知f（x）＝ln（1+x）﹣ln（a﹣bx）是奇函数，则f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（　　） A．y＝2x B．y＝x C．y＝0 D．y＝﹣2x 2.已知为奇函数，且当时，，其中为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 利用导函数研究函数的切线问题 (典型题型归类训练) 题型一：“在点”型求切线方程 1 题型二：”过点”型求切线方程 8 题型三：已知切线方程求参数 15 题型四：过点切线条数 23 题型五：已知切线条数求参数 28 题型六：公切线问题 40 题型七：存在切线垂直平行重合问题 55 题型八：切线斜率或倾斜角范围问题 59 题型九：奇偶函数切线问题 62 题型一：“在点”型求切线方程 曲线在点处的切线指的是为切点的切线，如下图； 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【例1】函数在处的切线方程为 ．（结果写成一般式） 【答案】 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以在处的切线方程为，整理得， 故答案为：. 【变式1-1】曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【解题思路】应用导数的几何意义求解即可. 【解答过程】因为，所以，即切点坐标为，由，所以，所以在点处的切线方程为，即. 故选：B. 【变式1-2】已知曲线在点处的切线方程为，则___________. 【答案】 【分析】根据导数的几何意义可得，根据切点坐标可得，列方程求解． 【详解】，则 ∵在点处的切线方程为 ∴可得，解得则故答案为：． 【变式1-3】已知函数，函数（且）的图象过定点，若曲线在处的切线经过点，则实数的值为______． 【答案】 【分析】先求出（且）所经过的定点的坐标，然后根据导数的几何意义求出在处的切线方程，最后把点的坐标代入切线方程，即可得值． 【详解】函数（且）的图象恒过点， 因为， 则在处的切线的斜率为，又， 所以切线方程为，因为切线经过点， 所以，解得．故答案为： 【变式1-4】已知函数（其中）在处的切线为，则直线过定点的坐标为 . 【答案】 【详解】根据题意：函数在处有切线，切点为， 又，故切线斜率为， 直线的方程为， 该直线过定点的坐标为. 故答案为： 【例2】已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数 . 【答案】-2 【详解】因为，定义域为，所以， 所以曲线在处的切线斜率为， 因为曲线在处的切线与直线垂直， 所以不符合题意，所以直线的斜率为， 所以，所以. 故答案为：. 【变式2-1】设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 【变式2-2】函数（、）在点处的切线斜率为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域为R，， 又在点处的切线斜率为，∴， ∴， 当且仅当，即，时，“”成立， ∴的最小值为. 故选：C． 【变式2-3】设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为，则 等于（ ） A. B. C. D.1 【答案】 【解析】对求导得，令得在点（1，1）处的切线的斜率1，在点（1，1）处的切线方程为，令，得，则 .故选B. 【例3】若曲线在点处的切线与直线平行，则___________. 【答案】 【分析】令，利用导数的几何意义得出的值. 【详解】令， 则 所以， ，当时， 又该函数在点处的切线与直线平行，所以故答案为： 【变式3-1】等比数列中，，函数，则（ ） A. B. 【答案】C 【解析】令，则，且有意义，于是.故选. 【变式3-2】设函数是两两不等的常数)，则_________. 【答案】0 【解析】因为，所以， 同理：，所以原式 . 1.曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 2.曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，所以，故切线方程为， 故切线的横截距为，纵截距为，故切线与坐标轴围成的面积为 故选：A. 3.若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的值为（    ） A． B．2或 C．2 D．1或 【答案】B 【分析】由两线垂直可知处切线的斜率为5，利用导数的几何意义有，即可求的值. 【详解】由题意知：直线的斜率为，则在处切线的斜率为5， 又∵，即， ∴，解得或，故选：B． 4.若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数， 即 故选：A 5.过曲线上一点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义，可得切线斜率k，进而可得所求直线斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案. 【详解】由题意得，所以在点处切线斜率， 则所求直线斜率， 所以直线方程为，整理得.故选：A 6.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B． C．-2 D． 【答案】B 【详解】由题意知在曲线上，所以. 又，所以曲线在点处的切线的斜率为. 又因为曲线在点处切线的倾斜角为，所以切线的斜率为1. 故而.由解得，所以. 故选：B 7.若曲线在点处的切线方程是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为点在直线上，所以. 由，则求导可得， 所以在点处的切线的斜率为. 故选：AD. 8. 已知函数的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，其中，，则　 　． 【答案】 【解析】∵y=ex，∴y′=ex， ∴y=ex在点(ak，eak)处的切线方程是：y－eak=eak(x－ak)， 整理，得eakx－y－akeak+eak=0， ∵切线与x轴交点的横坐标为ak+1， ∴ak+1=ak－1， ∴{an}是首项为a1=0，公差d=－1的等差数列， ∴a1+a3+a5=0－2－4=－6． 故答案为：－6． 9.已知函数，若曲线在处的切线方程为，则 ． 【答案】 【解析】函数，， 若曲线在处的切线方程为，则切点坐标为，切线斜率， 则有，解得， 所以． 故答案为：. 10.已知函数在点处的切线与直线平行，则实数 . 【答案】 【详解】由题设，则，故. 故答案为： 题型二：”过点”型求切线方程 “过点”型求切线方程 过点的切线是指切线过点，点是否切点均可，切线可多条，如下图. 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【例1】已知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程 ． 【答案】 【分析】设切点坐标为，求出切线方程，代入点求出，从而可得切线方程. 【详解】设切点坐标为，由，得， 所以曲线在点处的切线方程为. 因为切线过点，所以，解得. 所以切线方程为.故答案为:. 【变式1-1】函数过原点的切线方程是_______. 【答案】.【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出函数切点为的切线方程，再根据切线过原点求出，即可得解. 【详解】解：设切点为，，则，故切点为的切线方程为， 又因此切线过原点，所以，解得，所以函数过原点的切线方程是，即.故答案为：. 【变式1-2】过点作曲线的切线，则该切线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点为，然后表示出切线方程，再将代入可求出，然后将代入导函数中可求得结果. 【详解】设切点为，由，得 所以切线方程为，即， 将代入得，解得， 所以切线的斜率为.故选：C 【变式1-3】过点作曲线的切线，则切线方程是__________． 【答案】 【分析】求解导函数，设切点坐标，求解，从而设出切线方程，代入点计算，即可求出答案. 【详解】函数定义域为，， 设切点为，， 所以切线方程为， 代入，得， 解得：，所以切线方程为， 整理得：．故答案为： 1．函数过点的切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由题设，若切点为，则， 所以切线方程为，又切线过， 则，可得或， 当时，切线为；当时，切线为，整理得. 故选：C 2．已知函数，则曲线过坐标原点的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设切点为，，则切线斜率为， 所以，所求切线方程为， 将原点坐标代入所求切线方程可得，即，解得， 因此，所求切线方程为. 故选：C. 3.若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】因为P点在曲线上，所以需要分两种情况讨论，P点为切点和P点不为切点，分别根据导数的几何意义求解切线方程即可. 【解答过程】①易知P点在曲线上，当P点为切点时，. ②当P点不是切点时，设切点为，由定义可求得切线的斜率为. ∵A在曲线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或 (舍去)， ∴，k=3， 此时切线方程为y+1=3(x+1)， 即. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或. 故选：D. 4．过原点与曲线相切的一条切线的方程为 . 【答案】或或(写出其中一条即可) 【详解】解：设曲线表示抛物线的一部分， 设其切线方程为，代入， 得.由，得. 当时，，符合题意， 当时，，均符合题意， 所以切线方程. 设的切线的切点为. 由，得，， 得切线方程为. 将的坐标代入切线方程，得， 所以，所以切线方程为. 故答案为：或或(写出其中一条即可) 5. 已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为 . 【答案】 【解析】设切点坐标为(a，lna)， ∵y=lnx，∴y′，切线的斜率是， 切线的方程为y－lna(x－a)， 将(0，0)代入可得lna=1，∴a=e， ∴切线的斜率是； 6．过点作曲线的切线，则切线方程为 ． 【答案】 【详解】因为点不在曲线上，设切点，且，则，① 又，则切线斜率为，② 由①②解得，，所以，切线的斜率为， 切线方程为，即. 故答案为：. 7.过点与曲线相切的直线方程为 ． 【答案】 【解析】设切点坐标为，，. 则切线方程为，因为在切线上， 所以，即 又，所以， 令，，当时，， 所以在上单调递增， 所以方程只有唯一解为. 即切点坐标为，故所求切线方程为，即. 故答案为： 8. 已知函数，求经过点的曲线的切线方程． 【答案】 或 【解析】设切点坐标为P(a，a3－4a2+5a－4)， ∵f(x)=x3－4x2+5x－4，∴f′(x)=3x2－8x+5， ∴切线的斜率为f′(a)=3a2－8a+5， 由点斜式可得切线方程为y－(a3－4a2+5a－4)=(3a2－8a+5)(x－a)，① 又根据已知，切线方程过点A(2，－2)， ∴－2－(a3－4a2+5a－4)=(3a2－8a+5)(2－a)，即a3－5a2+8a－4=0， ∴(a－1)(a2－4a+4)=0，即(a－1)(a－2)2=0， 解得a=1或a=2， 将a=1和a=2代入①可得，切线方程为y+2=0或x－y－4=0， 故经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为或 9.过点且与曲线相切的直线方程为 【答案】或 【解析】设切点为，因为，所以，故切线方程为， 又因为切线过点，所以，整理得，解得或， 当时，切线方程为，即， 当，切线方程为，即. 10.已知曲线的一条切线经过点，求该切线方程． 【答案】 或 【解析】设切点为(m，n)， y=4x2的导数为y′=8x， 则切线的斜率为k=8m， 切线方程为y－n=8m(x－m)， 代入(0，－1)可得n=8m2－1， 又n=4m2． 则有4m2－1=0， 解得m或， 则切线的斜率为2或－2． 即有过点(0，－1)的切线方程为或． 11.过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______. 【答案】【分析】考虑与时，设出切点坐标，求出相应的切线方程，将代入，得到相应的斜率，相加得到答案. 【详解】时，，设切点，则，切线过， ，，时，，切点， ，切线过，，， 故.故答案为：. 12.已知曲线，曲线过点的切线方程. 【解析】 设切点为，则切线斜率， 切线方程为 切线过点 解得或， 则切线方程为或. 【点拨】 ① 本题点不一定是切点，故可先设切点，利用“在某点处的切线”方法求出含参数的切线方程，再把点代入求出，进而容易得到切线方程; ② 如何求解方程？ 方法一 拆项分组因式分解 或 方法二 待定系数法 先由方程特点猜出有一个解是,则可知是的因式， 设，把右式展开易得， 则 或 题型三：已知切线方程求参数 已知切线或切点求参数问题，核心是切点，根据切点可以把曲线、切线、切点的三个关系联系起来，列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上． 【例1】若直线与曲线相切，则实数a的值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【详解】，则， 设直线l与曲线的切点，则直线l的斜率， 由于直线斜率为，则，解得， 所以，即切点为， 故，解得． 故选：A. 【变式1-1】已知直线与曲线相切，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】设切点为， ，故斜率为， 则切线方程为， 整理得， 所以，解得. 故选：B 【变式1-2】若直线是曲线的切线，则　 　． 【解析】依题意得 设切点 则由导数的几何意义可得 ① 点在切线上 ② 点在曲线上 ③ 由①，②, ③联立得，解得或 的值为或． 【变式1-3】已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 . 【答案】/ 【详解】因为的导数为，则， 所以曲线在处的切线方程为，即， 又切线与曲线相切，设切点为， 因为，所以切线斜率为，解得， 所以，则，解得. 故答案为；. 【例2】已知直线与曲线相切，则的最小值为 【答案】1 或 由，知定义域为， 设切点为，，， 所以，故切点为，代入直线方程， 则， ， 令，， 令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则， 故的最小值为1. 故选：B 【变式2-1】若直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．－2 C．－1 D．0 【答案】C 【解析】设切点坐标为．由已知，得，则， 解得． 又切点在切线与曲线上， 所以，所以． 令，则． 令，解得．当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减． 所以，即，所以，则的最小值为－1． 故选：C． 【变式2-2】已知直线与曲线相切于点，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，∴． 又∵切点在直线上， ∴，解得．∴． 令，则，， 令，解得：；令，解得：； 可得在上单调递增，在上单调递减， 时，，时，， 当趋近负无穷时，趋近，；， 故的取值范围为． 故选：B． 【变式2-3】已知是曲线的一条切线，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 设切点为，则， 所以切线方程为，即， 所以，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 则. 故选：B． 【变式2-4】已知直线与函数的图象相切，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】设切点为，，所以切线的斜率， 则切线方程为，即， 故， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即的最小值为. 故答案为： 1.若直线与曲线相切，则实数（    ） A． B. C． D． 【答案】D 【解析】设切点为，由可得，则， 所以，解得，即. .故选：D. 2.已知直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设切点为，则，解得， 所以．令，所以， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以． 故选：A 3.已知函数，若曲线的一条切线的方程为，则 . 【答案】3 【详解】设切点坐标为，易知， 则，由切线方程为可得， 即，解得，即切点坐标为， 将代入切线方程可得，解得. 故答案为：3 4.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则　 　． 【答案】 【解析】f(x)=x•lnx的导数为y′=lnx+1， 曲线f(x)=x•lnx在x=e处的切线斜率为k=2， 则曲线f(x)=x•lnx在点(e，f(e))处的切线方程为y=2x－e． 由于切线与曲线y=x2+a相切，故y=x2+a可联立y=2x－e，得 x2－2x+a+e=0， 所以由△=4－4(a+e)=0，解得a=1－e， 故答案为：． 5.已知，直线与曲线相切，则 ． 【答案】2 【解析】设切点坐标为，对函数求导得， 则切线斜率，得， 所以，且， 则，即． 故答案为：2. 6.对给定的实数，总存在两个实数，使直线与曲线相切，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由得，设切点坐标为，则， 消去可得，所以， 令，则，当1时，单调递增； 当时，令，则， 所以在区间上单调递减，因为， 所以当时，，即单调递增. 因为当趋近于0时，趋近于负无穷大，当从1左边趋近于1时，趋近于正无穷大， 当从1右边趋近于1时，趋近于负无穷大，当趋近于正无穷大时，趋近于0， 作出的大致图象， 所以若对给定的实数，总存在两个实数，使直线与曲线相切， 则的取值范围为. 故答案为： 7．若直线是曲线的一条切线，则的最小值为（    ） A． B． C．ln 2 D． 【答案】B 【详解】设直线与曲线相切的切点为，由求导得， 于是，则，， 设，求导得， 当时，，函数递减，当时，，函数递增， 因此当时，， 所以的最小值为. 故选：B 8.已知直线:，函数，若存在切线与关于直线对称，则__________． 【答案】【分析】先求与关于直线对称的直线，再利用切点是切线与曲线的公共点以及导数的几何意义即可求解 【详解】在直线：上取两点，点，关于对称的点分别为， 点关于直线对称的点为）设直线关于直线对称的直线为，则过点， 则，直线的方程为，即，由得, 因为函数存在切线与关于直线对称，即存在切线方程为 设切点为，则解得故答案为： 9．已知直线y＝kx+b为曲线f（x）＝lnx的一条切线，则k⋅b的取值范围为 　（﹣∞，]　． 【分析】设切点坐标，由直线y＝kx+b是曲线y＝lnx的一条切线，把k与b用含有t的代数式表示，求得kb＝，令g（t）＝，再由导数求其最大值得答案． 【解答】解：设切点坐标为（t，lnt）， 由f（x）＝lnx，得f′（x）＝，则f′（t）＝， 则过切点的切线方程为y﹣lnt＝，即y＝， ∴k＝，b＝lnt﹣1， 则kb＝，令g（t）＝，则g′（t）＝， 则当t∈（0，e2）时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，当t∈（e2，+∞）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减， ∴． ∴k⋅b的取值范围为（﹣∞，]． 故答案为：（﹣∞，]． 题型四：过点切线条数 已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解； ”过点型“切线条数判断： 1. 有几个切点横坐标，就有几条切线。 2.切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断。 【例1】已知曲线，则过点可向引切线，其切线条数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点为，利用导数求出曲线在切点处的切线方程，再将点的坐标代入切线方程，可得出关于的方程，解出该方程，得出该方程根的个数，即为所求. 【详解】设在曲线上的切点为，，则， 所以，曲线在点处的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得，即，解得，，. 因此，过点可向引切线，有三条.故选：C. 【变式1-1】已知函数，则过点（0，0）可作曲线的切线的条数为(   ) A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D【分析】分析可得不是切点，设切点，根据导数的几何意义，求得切线的斜率k，根据点P和点坐标，可求得切线斜率k，联立即可得答案. 【详解】∵点不在函数的图象上，∴点不是切点，设切点为（）， 由，可得，则切线的斜率， ∴，解得或，故切线有2条.故选:D． 【变式1-2】经过点作曲线的切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【详解】因为， 设切点为，所以曲线在点处的切线方程为. 将代入，得即：或， 所以，此时，切点为； 或 因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0，所以方程共有3个不同的根，即经过点作曲线的切线有3条. 故选：C. 【变式1-3】已知函数，过点可作曲线切线的条数为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义及切线所过点求出切点个数，从而可得答案. 【详解】设切点为 ，所以 ，整理得； 令，由，得，当时，为单调递增函数； 当时，为单调递减函数；所以； 又，， 所以有两个不同的根，即切线的条数为2，故选：C. 【例2】已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出a，再求出函数的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程求解作答. 【详解】因函数是奇函数，则由得恒成立，则， 即有，， 设过点向曲线所作切线与曲线相切的切点为， 而点不在曲线上，则，整理得， 即，解得或，即符合条件的切点有3个， 所以过点向曲线可作的切线条数是3.故选：C 【变式2-1】函数为上的奇函数，过点作曲线的切线，可作切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 【答案】A 【详解】，故，， ，， 设切点为，则，且， 整理得到，解得，， 故切线方程为， 故选：A 1.已知函数，则曲线过点的切线有（      ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【详解】设切点为A，直线AP的斜率为k,则， 又，， ∴   又方程的判别式为，且， ∴  方程有两个不同的解， ∴  曲线过点的切线有两条， 故选：C. 2.已知过点且与曲线相切的直线的条数有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C【分析】设出切点的坐标，然后根据导数的几何意义求出曲线的切线，根据切线过点，结合关于切点横坐标的方程解的个数进行求解即可. 【详解】设曲线的切点的坐标为，由， 因此该曲线切线的斜率为， 所以该曲线切线的方程为：，该切线过点， 所以有，解得或， 因此过点且与曲线相切的直线的条数有2条.故选：C 3.已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】设切点为，根据导数的几何意义求得在切点处的切线方程，再将代入，求得的值，即可得解. 【解答过程】解：因为，所以， 设切点为， 所以在切点处的切线方程为， 又在切线上，所以， 即， 整理得，解得或， 所以过点可作曲线的切线的条数为2. 故选：C． 4.过点做曲线的切线，最多有 条. 【答案】 3 【解析】设切点为P(x0，x03－3x0)，f′(x0)=3x02－3， 则切线方程y－x03+3x0=(3x02－3)(x－x0)， 代入A(2，1)得，2x03－6x02+7=0． 令y=2x03－6x02+7=0，则由y′=0，得x0=0或x0=2， 且当x0=0时，y=7>0，x0=2时，y=－1<0． 所以方程2x03－6x02+7=0有3个解， 则过点A(2，1)作曲线f(x)=x3－3x的切线的条数是3条． 5．已知函数，过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解法一  由，得．设切点坐标为， 则切线方程为， 把代入可得，即， 因为，所以该方程有2个不同的实数解，故切线有2条． 解法二  由，得，令，得． 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，且，则点在曲线的下方， 数形结合可知，过点可作曲线的2条切线． 故选：B 题型五：已知切线条数求参数 已知切线条数求参数，其实就是转换成切线方程根的个数问题求参数。 【例1】已知，如果过点可作曲线的三条切线.则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设切点为，，∴切线斜率为， ∴切线方程为，将代入得方程，即， 由题设该方程有3个不等实根. 令，， 当时,,当时,,当时,, 所以在上递增,在上递减,在上递增, 所以在时取得极大值,在时取得极小值, 由三次函数图象知,解得, 因为可以推出,，所以也正确. 故选：D 【变式1-1】若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设该切线的切点为，则切线的斜率为， 所以切线方程为， 又切线过点，则，整理得. 要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解， 即函数图象与直线在R上有3个交点， 设，则， 令，令或， 所以函数在上单调递增，在和上单调递减， 且极小值、极大值分别为，如图， 由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点， 即过点的切线有3条. 所以实数a的取值范围为. 故选：B. 【变式1-2】若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则， 设切点为，则， 所以切线方程为， 又该切线过原点，所以， 整理得①，因为曲线只有一条过原点的切线， 所以方程①只有一个解，故，解得. 故选：A 【变式1-3】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围为__________． 【答案】或.【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义得到，再根据曲线有两条过坐标原点的切线得到方程有两个解，让，解不等式即可. 【详解】由得，设切点坐标为，则，整理得，因为曲线有两条过坐标原点的切线，所以方程有两个解，故，解得或.故答案为：或. 【变式1-4】若函数在处的切线与的图像有三个公共点，则的取值范围 ． 【答案】 【详解】当时，，所以切点的坐标为， 当时，，，所以切线的斜率， 所以切线的方程为： 而，即过点 当切线过点时，切线与函数的图象有三个公共点， 将代入切线方程得：，得 当切线与相切时，切线与数的图象只有两个公点， 设切线：与在处相切， 由，得， 所以，得，，所以切点坐标为 代入切线：，得， 因此在处的切线与的图像有三个公共点时，的取值范围为：. 故答案为：. 【例2】已知函数，若过点可作两条直线与曲线相切，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C．的最大值为2 D． 【答案】A 【解题思路】由导数几何意义切线斜率可得（），进而将问题转化为方程有两个不等的正实根，即可得范围可判断A项、B项，，，可判断C项、D项. 【解析】由可得，设切点为（），则， 又因为，即， 整理得（）， 因为过点可作两条直线与函数相切， 所以方程有两个不等的正实根， 所以，解得，所以， 故A项正确，B项错误； 对于C项、D项，取，，满足，此时，，故C项、D项错误； 故选：A. 【变式2-1】若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设切点坐标为， ，切线斜率，在点处的切线方程为：； 切线过点，， 过点可以作曲线的两条切线， 令，则与有两个不同交点， ， 当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，若，则；若，则； 在上单调递减，在上单调递增， ，，即， 又，. 故选：C. 【变式2-2】过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】由题意得，过点作曲线的两条切线， 设切点坐标为，则，即， 由于，故，， 由题意可知，为的两个解，则，， 故. 故选：B 【变式2-3】若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】设切点的坐标为，求得切线方程为，把点代入得，根据题意得到有两个不等的实根，结合，得到，根据选项逐项验证，即可求解. 【详解】由函数，可得， 设切点的坐标为，则在切点处的切线方程为， 把点代入，可得， 整理得，因为过点可作曲线的两条切线， 则方程有两个不等的实根， 所以，即， 分别把点代入验证，可得只有满足， 所以点可以是.故选：D. 【例3】已知函数，过点作曲线的两条切线，切点分别为和，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由题意知， 因为与曲线相切， 所以，整理得， 同理， 则，是方程的两个实数根， 所以， 所以． 故选：. 【变式3-1】过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由，得， 设切点坐标为， 则，切线方程为， 将代入可得，即， 依题意关于的方程有两个不同的解、， 即关于的方程有两个不同的解、， ． 故选：A． 1.已知函数，若过点能作三条直线与的图像相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知：，故，设切点为 根据导数的几何意义，知切线斜率为，切线方程为, 将点坐标代入切线方程可得 化简可得 即函数与函数有三个不同的交点. 故， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 则当时，有极小值， 当时，有极大值. 所以的取值范围为. 故选：D. 2．若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设曲线在点处的切线为， 由可知直线的斜率为， 故直线的方程为， 将代入直线可得关于的方程具有两个不相等的正数解， 构造函数， 则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 且当时，； ，当，即时，， 即当时，； 故为了使方程有两个不相等的正数解， 则须使. 故选：B. 3．若经过点可以且仅可以作曲线的一条切线，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】设切点．因为，所以， 所以点处的切线方程为， 又因为切线经过点，所以，即. 令，则与有且仅有1个交点，， 当时，恒成立，所以单调递增，显然时，，于是符合题意； 当时，当时，，递减，当时，，递增，所以， 则，即． 综上，或． 故选：D 4.若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设切点点，写出切线方程，将点代入切线方程得，此方程有两个不同的解，利用导数求b的范围. 【解析】在曲线上任取一点， ， 所以曲线在点处的切线方程为. 由题意可知，点在直线上，可得， 令函数， 则. 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以. 设， 所以， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以， 所以， 所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 的图象如图： 由题意可知，直线与的图象有两个交点，则. 故选：B 5.若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在曲线上任取一点，对函数求导，得， 所以曲线在点处的切线方程为. 由题意可知，点在直线上，可得. 令，则. 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，且当时，，当时，， 又直线与曲线的图象有两个交点， 所以的取值范围为. 故选：C 6．过点作曲线切线有且只有两条，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设切点为， 由，则， 所以过的切线方程为，即， 故有且仅有两根， 设，则， 当时，，此时单调递增； 当，，此时单调递减， 又当时，，，， 所以的图象如下： 故有且仅有两根，则b的取值范围为． 故选：A． 7.已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数a的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】设切线切点为，后由切线几何意义可得切线方程，代入，可得，则过点作曲线的切线有且仅有两条，等价于关于的方程有两个不同实根，即可得答案. 【详解】设切线切点为，因， 则切线方程为：，代入， 得，因，则. 因过点作曲线的切线有且仅有两条，则有且仅有两个不等实根，则或.则符合题意.故选：D 8.过点作曲线的切线，若切线有且只有两条，则实数的取值范围是___________. 【答案】【分析】利用导数几何意义，求得切线方程，根据该方程过点，且方程有两个根，再构造函数，利用导数研究函数的性质，即得. 【详解】因为，则，设切点为()，， 所以切线方程为，代入，得， 即这个关于的方程有两个解，令()，， 故在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数有最大值，， 且，，所以.故答案为：. 9.若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是___________ 【答案】【分析】根据函数切线的求解方法，设切点求切线方程，代入点，根据方程与函数的关系，将问题转化为两个函数求交点问题，利用导数，作图，可得答案. 【详解】由已知，曲线，即令，则， 设切点为，切线方程的斜率为， 所以切线方程为：，将点代入方程得：，整理得， 设函数，过点可作出曲线的三条切线， 可知两个函数图像与有三个不同的交点， 又因为，由，可得或， 则当或时，；当时，， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极大值为，函数的极小值为， 如图所示，当时，两个函数图像有三个不同的交点．故答案为：． 题型六：公切线问题 公切线问题基本步骤： 1.设两切点，求出两切点对应的斜率,且=。 公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解． 已知和存在（）条公切线问题 第一步 设的切点 设的切点 求公切线的斜率 写出并整理切线 整理得： 整理得： 联立已知条件 消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数； 消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数； 【例1】若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=　1﹣ln2　． 【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可 【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）； 由导数的几何意义可得k==，得x1=x2+1 再由切点也在各自的曲线上，可得 联立上述式子解得； 从而kx1+b=lnx1+2得出b=1﹣ln2． 【变式1-1】若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．26 B．23 C．15 D．11 【解题思路】先由，利用切线斜率为-1求得切点，再将切点代入切线方程求得a，然后设切线与的切点为，利用切线斜率为-1和切点在切线上求解. 【解答过程】解：因为， 所以，由，解得或（舍去）， 所以切点为， 因为切点在切线上，解得， 所以切线方程为， 设切点为， 由题意得，解得， 所以， 故选：D. 【变式1-2】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则　． 【解析】设直线与和的切点分别为()和()， 则切线分别为，， 化简得：，， 依题意有：， 由方程①得，代入方程②解得， 则． 故答案为：． 【点拨】先分别求出两条切线，由于是公切线，所以它们是同一直线，两切线的斜率和轴上的截距相等. 【变式1-3】已知直线是函数与函数的公切线，若是直线与函数相切的切点，则____________． 【答案】【分析】求出导函数，，由得切线方程，设图象上的切点为，由导数几何意义得切线方程，两直线重合求得，从而得值． 【详解】，，又， 所以切线的方程为，即， 设直线与相切的切点为，， 所以切线方程为，即， 所以，解得，所以．故答案为：． 【例2】试写出曲线与曲线的一条公切线方程 . 【答案】或（写出一个即可） 【详解】设公切线与曲线切于点， 与曲线切于点. 由，得.由，得. 令，即，则， 且， 即， 化为， 所以，解得或. 当时，，， 此时切线的方程为，即. 当时，，， 此时切线的方程为，即. 综上可知，切线的方程为或，写出任意一个即可. 故答案为：或，写出任意一个即可. 【变式2-1】已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设与曲线相切于点，与相切于点， 由，可得的斜率，所以①， 又由，可得，所以，即②， 又因为③， 将②③代入①中，可得，由③易知，,则④， 将④代入③，可得，则， 令，则，当时，单调递减； 当时，单调递增．所以，当且仅当时取等号， 故，可得，所以， 所以的方程为，即． 故选：B． 【变式2-1】写出曲线与的一条公切线方程： . 【答案】（或）（答案不唯一） 【详解】设公切线与曲线相切的切点为，与曲线相切的切点为， 由，求导得，由，求导得， 于是，即有，公切线方程为， 显然该切线过点，因此， 整理得，即，解得或， 当时，，公切线方程为，当时，，公切线方程为. 故答案为： 【例3】若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设公切线与函数切于点， 由，得，所以公切线的斜率为， 所以公切线方程为，化简得， 设公切线与函数切于点， 由，得，则公切线的斜率为， 所以公切线方程为，化简得， 所以，消去，得， 由，得， 令，则， 所以在上递减， 所以， 所以由题意得， 即实数的取值范围是， 故选：A 【变式3-1】若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题可知，，， 设与曲线相切的切点为，与相切的切点为， 则有公共切线斜率为，则，， 又，，可得， 即有，即， 可得，， 设，，， 可得时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，, 可得处取得极大值，且为最大值， 则正实数a的取值范围， 故答案为： 【变式3-2】若曲线 与曲线 存在公共切线，则的取值范围为　 ． 【解析】在点的切线斜率为， 切线方程为; 在点的切线斜率为，切线方程为; 如果两个曲线存在公共切线，那么两切线相同， 则有， ，， 由②①，得，即， 代入得， 存在公共切线，等价于方程有解， 由的图象有交点即可． 设它们刚好相切，切点为， 则，且， 解得， 由图易得要满足题意， 又， 故答案为 ． 【点拨】得到”有解”，可用分离参数法转化为有解， 即与有交点，从而转化为求函数的的值域； 在递增，在递减， 且. 【变式3-3】已知函数 若曲线与曲线存在2 条公切线， 求a的取值范围. 【答案】. 【详解】设曲线上切点，则切线斜率为，方程为， 依题意，切线与曲线相切，于是方程有两个相等的正实根， 而，则，且，即有， 由公切线有两条，得关于的方程:有两个不同的实数解， 令，则与的图象有两个交点， 由，求导得，由，得， 当时，单调递减；当时，单调递增， 因此，函数的图象如图， 观察图象知，当，即时，直线与函数的图象有两个交点， 所以a的取值范围是. 【例4】若存在过点的直线与曲线和都相切，则实数　 　． 【答案】 或 【解析】设直线与曲线y=x3的切点坐标为(x0，y0)， 则，则切线的斜率k=3x02=0或k， 若k=0，此时切线的方程为y=0， 由， 消去y，可得ax2x－9=0， 其中△=0，即()2+36a=0， 解可得a； 若k，其切线方程为y(x－1)， 由， 消去y可得ax2－3x0， 又由△=0，即9+9a=0， 解可得a=－1． 故或． 【变式4-1】曲线过点的切线也是曲线的切线，则 ； 【答案】 【分析】根据导数的几何意义可求出； 【详解】由得， 设曲线过点的切线的切点为， 则切线的斜率为，切线方程为， 由于该切线过点，所以， 设该切线与曲线切于，因为，所以，所以该切线的斜率为， 所以切线方程为，将代入得，得， 所以，所以，所以，所以. 1.已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（    ） A．0 B． C．0或 D．或 【答案】D【分析】本题主要求切线方程，设两个曲线方程的切点，由两条切线均为，通过等量关系可得到的取值. 【详解】,,，设切点分别为， 则曲线的切线方程为：，化简得，， 曲线的切线方程为：，化简得，，，故，解得e或.当e，切线方程为，故. 当，切线方程为，故，则. 故的取值为或.故选：D 2.若直线是曲线的切线，也是的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】设直线与和的切点分别为，， 分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到的值. 【详解】设直线与和的切点分别为，， 则切线方程分别为，，，化简得， 依题意上述两直线与是同一条直线， 所以，，解得，所以．故选：C． 3.曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】两个函数求导分别为， 设，图象上的切点分别为，， 则过这两点处的切线方程分别为，， 则，，所以， 设，，， 令，所以， 所以在上单调递增，且， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 故选：B. 4.若存在直线，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足，则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数，，若和存在唯一的“隔离直线”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当与相切时，只有唯一的“隔离直线”， 且“隔离直线”为公切线.设切点为， 则即所以. 故选：D. 5.斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】依题意得，设直线的方程为， 由直线和圆相切可得，，解得， 当时，和相切， 设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得， 即和相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位， 和仍会保持相切状态，即时，， 综上所述，或. 故选：A 6.若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设出两个切点，根据导数几何意义得，，再利用函数的单调性得到，最后代入计算即可. 【解析】设直线与曲线相切于点， 因为直线与曲线相切于点， 设，，且直线过定点， 则，且，所以， 设，则，则，且直线过定点， 则，所以， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，且， 当时，，且，所以当时，， 因为，，即， 所以，，所以，故. 故选：A. 7.已知直线y＝kx+b是曲线y＝ln（1+x）与y＝2+lnx的公切线，则k+b＝　3﹣ln2　． 【分析】设切点（x1，kx1+b），（x2，kx2+b），分别表示出在这两点处的斜率和切线，找到对应关系即可． 【解答】解：设切点（x1，kx1+b），（x2，kx2+b）， 由题意得k＝，∴x2＝x1+1，切线方程分别可以表示为： y＝＝， y＝＝， ∴，得，则k＝2，b＝1﹣ln2． 则k+b＝3﹣ln2． 故答案为：3﹣ln2． 8.已知直线l：y＝kx+b是函数f（x）＝ax2（a＞0）与函数g（x）＝ex的公切线，若（1，f（1））是直线l与函数f（x）相切的切点，则b＝　﹣　． 【分析】根据导数的几何意义即可求出． 【解答】解：∵f（x）＝ax2（a＞0）， ∴f′（x）＝2ax，g′（x）＝ex， ∵（1，f（1））是直线l与函数f（x）相切的切点， ∴k＝f′（1）＝2a，f（1）＝a， ∴a＝2a+b， ∴b＝﹣a， 即直线l的方程为y＝2ax﹣a， ∵g（x）＝ex， ∴g′（x）＝ex， 设y＝2ax﹣a与g（x）＝ex的切点坐标为（x0，y0）， ∴k＝，y0＝ ∴切线方程为y﹣＝k（x﹣x0）， 即y＝x﹣x0﹣， ∴2a＝，﹣a＝﹣x0+， 解得x0＝， ∴2a＝， ∴b＝﹣． 故答案为：﹣． 9.已知曲线与的公切线为，则实数 . 【答案】 【解析】由函数，可得， 设切点坐标为，可得，则切线方程为， 即，与公切线重合，可得， 可得，所以切线方程为， 对于函数，可得，设切点为，则 则 ，解得. 故答案为： 10.若曲线与曲线存在2条公共切线，则a的值是_________． 【答案】【分析】设公切线在上的切点为，在上的切点为，利用导数的几何意义求出对应的切线方程，有，整理得，构造函数，利用导数研究的单调性，结合图像即可得出结果. 【详解】设公切线在上的切点为，在上的切点为， 则曲线在切点的切线方程的斜率分别为，， 对应的切线方程分别为、， 即、，所以，得，有， 则，整理，得， 设，则，， 令，令或， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增， 因为两条曲线有2条公共切线，所以函数与图像有两个交点， 又，且，如图，所以，解得.故答案为：. 11.若二次函数的图象与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为　 ． 【答案】 【解析】f(x)=x2+1的导数为f′(x)=2x，g(x)=aex+1的导数为g′(x)=aex， 设公切线与f(x)=x2+1的图象切于点(x1，x12+1)， 与曲线C：g(x)=aex+1切于点(x2，aex2+1)， ∴2x1=aex2， 化简可得，2x1，得x1=0或2x2=x1+2， ∵2x1=aex2，且a>0，∴x1>0，则2x2=x1+2>2，即x2>1， 由2x1=aex2，得a， 设h(x)(x>1)，则h′(x)， ∴h(x)在(1，2)上递增，在(2，+∞)上递减， ∴h(x)max=h(2)， ∴实数a的取值范围为(0，]， 故答案为：． 12.若曲线与存在公共切线，则实数的取值范围是　 　． 【答案】 (－∞，0)∪(0，2e] 【解析】y=alnx在点(n，alnn)(n>0)的切线斜率为，切线方程为：y－alnn(x－n)， 因为切线方程也是曲线y=x2的切线方程， 所以x2－alnn(x－n)，可得△0，可得a=4(1－lnn)n2， 令f(n)=4(1－lnn)n2，(n>0)， 可得f′(n)=4n(1－2lnn)，当n∈(0，)时，f′(n)>0，函数是增函数， 当n∈(，+∞)时，f′(n)＜0，函数是减函数，所以f()=2e是函数的最大值， 所以a∈(－∞，0)∪(0，2e]． 题型七：存在切线垂直平行重合问题 【例1】函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 或 设切点横坐标为，所作切线斜率为，则， 当时，，故不存在； 当时，满足：. 所以：. 故选：C. 【变式1-1】已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意知有两个不相等的正实数根，结合一元二次方程根的分布即可求得参数的范围. 【解析】由题意知，因为切线与直线垂直， 所以曲线在点处的切线斜率都是， 即关于的方程有两个不相等的正实数根， 化简得，有两个不相等的正实数根， 则，解得. 故选：A. 【变式1-2】已知函数的图象上存在不同的两点、，使得曲线在这两点处的切线重合，则点的横坐标的取值范围可能是（    ） A．， B． C．， D． 【答案】A 【解题思路】方法一：设，，不妨设，利用导数的几何意义判断出，写出函数在两点处的切线方程，再根据两直线重合列式，消去，得，构造函数，由，，可求出结果. 方法二：易知曲线位于分段的两个区间，且两段属于一凹一凸模型，故可以类比两圆相离时的内公切线，两区间一定属于同一单调区间，分析函数的单调区间即可得出结果. 【解析】解法一： 当时，的导数为； 当时，的导数为， 设，为该函数图象上的两点，且， 当，或时，，故， 当时，函数在点处的切线方程为；当时，函数在点处的切线方程为． 两直线重合的充要条件是①，②， 由得，由①②可得， 设，由，，可得，可能； 由，B不正确； 由①可得，由②可得，即有，则C，D不正确． 解法二： 如图，易知曲线位于分段的两个区间，且两段属于一凹一凸模型，故可以类比两圆相离时的内公切线，两区间一定属于同一单调区间，时，属于单调增区间，故当时，的单调增区间为，根据图像，可以位于此区间，另一个点B所在区间，不好把握. 故选：A． 1.已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】函数在两点处的切线平行，转化为函数在两点处的导数相等，得到的关系，在结合不等式求的取值范围即可. 【解析】因为，. 所以，. 由因为在，两个不同点处的切线相互平行， 所以，又，所以，故CD错误； 因为且，所以，故A不成立； 当时，.故B成立. 故选：B 2.函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数的几何意义结合导函数的单调性计算即可. 【解答过程】由， 不妨设这两条相互垂直的切线的切点为，且 若，则恒成立，不符合题意，可排除A项； 所以，此时易知单调递增， 要满足题意则需. 故选：D. 3.若函数的图象上存在互相垂直的切线，则实数的值为　 　． 【答案】 0 【解析】 ， 假设函数的图象上存在互相垂直的切线， 不妨设在与处的切线互相垂直 则 因为的值必然存在，即方程必然有解，所以 判别式 所以 解得 或 由于，所以有， 或，且 所以变为：所以 故答案为：0 4.已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围． 【解答过程】由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1， 设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由条件可知，， 解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1， 得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞). 题型八：切线斜率或倾斜角范围问题 【例1】过函数图象上一动点作函数图象的切线，则切线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，则， 即切线的斜率的取值范围是， 所以倾斜角的取值范围是. 故选：B 【变式1-1】已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围； 【解题思路】先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围； 【解答过程】由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1， 即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． 【变式1-2】已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为 ． 【答案】18 【解析】由于， 故， 故，， 则 ， 由，得， 由，即，知位于之间， 不妨设，则， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故则的最小值为18， 故答案为：18 1.已知曲线与轴交于点，设经过原点的切线为，设上一点横坐标为，若直线，则所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，求导得，设直线与曲线相切的切点坐标为，则直线的斜率为， 直线的方程为，由直线过原点，即，解得， 依题意，直线的斜率为，而点，则直线的方程为， 由消去得，显然是方程的不为零的根， 令，求导得，当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增，， 显然，即在上有唯一零点0，而， 则在上有唯一零点，即，又， 所以所在的区间为. 故选：D 2.过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，函数，可得， 因为，所以，即切线的斜率， 设切线的倾斜角为，则 又因为，所以或， 即切线的倾斜角的范围为. 故选：B. 3.点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 则， 则， 又， 所以， 故选：D. 4．已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，，则，当且仅当即等号成立， 根据导数的几何意义知，切线的斜率，因为切线与直线l平行，所以l的斜率， 选项A中直线的斜率为，符合题意； 选项B中直线的斜率为，不符合题意； 选项C中直线的斜率为，符合题意； 选项D中直线的斜率为，符合题意； 故选：ACD. 题型九：奇偶函数切线问题 求奇偶函数在某点的切线方程，有两种常见的方法： 1.根据奇偶性求出对称区间的解析式，然后再利用该解析式求导求斜率。 2.根据奇偶函数的性质，奇函数在对称点处的切线斜率相同，偶函数在对称点的切线斜率相反，求出斜率后利用点斜式方程求切线方程 【例1】．已知函数f（x）是偶函数，当x＜0时，f（x）＝x3﹣x+1，则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为（　　） A．2x+y﹣1＝0 B．2x﹣y﹣3＝0 C．2x+y﹣3＝0 D．2x﹣y﹣1＝0 【分析】由已知求出x＞0时的函数解析式，求其导函数，再求出x＝1时的函数值与导数值，利用直线方程的点斜式得答案． 【解答】解：∵x＜0时，f（x）＝x3﹣x+1，f（﹣1）＝1，且f（x）是偶函数，∴f（1）＝1， 设x＞0，则﹣x＜0，∴f（x）＝f（﹣x）＝﹣x3+x+1， ∴x＞0时，f′（x）＝﹣3x2+1，得f′（1）＝﹣2， 故曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y﹣1＝﹣2（x﹣1）， 即2x+y﹣3＝0． 故选：C． 【变式1-1】已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是__y＝2x [解析]　当x>0时，－x<0，则f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝＋x，所以当x>0时， f ′(x)＝ex－1＋1，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x. 【变式1-2】已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】因为是偶函数，所以函数的图象关于对称，则， 当时，， ， ，则， ，即曲线在点处切线的斜率为2. 故选：C. 【变式1-3】已知函数，为的导函数，则 . 【答案】8 【解析】设，显然为奇函数， 又为偶函数， 所以. 故答案为：8 1.已知f（x）＝ln（1+x）﹣ln（a﹣bx）是奇函数，则f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（　　） A．y＝2x B．y＝x C．y＝0 D．y＝﹣2x 【分析】根据定义域关于原点对称、奇函数则f（﹣x）+f（x）＝0恒成立，求出a，b的值，再利用导数的几何意义求出切线方程． 【解答】解：显然x＞﹣1，根据奇函数定义域关于原点对称，所以x≠1， 所以a﹣b×1＝0，即a＝b， 又f（0）＝lna＝0，所以a＝1， 所以f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）， f′（x）＝+，f′（0）＝2， 所以切线方程为y＝2x． 故选：A． 【点评】本题考查函数奇偶性的判断、导数的几何意义与切线方程的求法，属于中档题． 2.已知为奇函数，且当时，，其中为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】由题设，当时，，故时，， 所以，而， 故切线方程为，即． 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$