第三章圆锥曲线练习题（回归课本）-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

三、圆锥曲线---回归课本 一、单选题：本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.以椭圆的对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程是(    ) A. B. 或 C. D. 或 2.抛物线的焦点坐标是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，共78分。 3.若经过双曲线的一个焦点，且垂直于实轴的直线与双曲线交于，两点，则线段的长为          ． 4.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，且该椭圆经过点，求椭圆的标准方程_____________________． 5.已知椭圆长轴的两个端点到左焦点的距离分别是和，求椭圆的离心率______________________设是椭圆的一个焦点，是短轴，若，求椭圆的离心率_________________________． 6.设椭圆的两个焦点分别为，短轴的一个端点为． 若为直角，求椭圆的离心率___________________________；若为钝角，求椭圆离心率的取值范围_____________________________． 7.船上两根高的桅杆相距，一条长的绳子两端系在桅杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧．假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，求绳子与甲板接触点到桅杆的距离____________________． 8.已知探照灯的轴截面是抛物线如图，平行于轴的光线照射到抛物线上的点，反射光线经过抛物线的焦点后又照射到抛物线上的点试确定点的坐标____________________________． 9.已知抛物线：与直线相交于、两点，线段中点的横坐标为，且抛物线的焦点到直线的距离为，分别求的值_____________________________________________． 10.求适合下列条件的双曲线的标准方程：一个焦点为，且经过点_______________________________________--- 与双曲线有相同的焦点，且经过点_____________________________________ 经过和两点_______________________________________________________________． 三、解答题：本题共1小题，共12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题分 某种汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线的一段，灯口直径为，反光曲面的顶点到灯口的距离是由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线为了获得平行光线，应怎样安装灯泡精确到 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三、圆锥曲线---回归课本 一、单选题：本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.以椭圆的对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程是(    ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查椭圆的性质和抛物线的标准方程，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 求出椭圆的焦点坐标即可求出抛物线的标准方程． 【解答】 解：由题意，得椭圆的焦点为， 则以椭圆的对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程是或， 故选：． 2.抛物线的焦点坐标是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查抛物线的焦点坐标，属于基础题． 先把方程化成标准方程，再求出其焦点坐标． 【解答】 解：化成标准方程为， 可得抛物线的焦点在轴的正半轴上，并且， 所以其焦点坐标为， 故选：． 二、填空题：本题共8小题，共78分。 3.若经过双曲线的一个焦点，且垂直于实轴的直线与双曲线交于，两点，则线段的长为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查双曲线中的弦长问题，考查基本的运算能力，属于基础题． 求出双曲线的焦点，求出直线的方程，代入双曲线方程，解出，求出线段的长． 【解答】 解：因为双曲线中，， 所以，， 所以双曲线的上焦点为， 不妨记直线过双曲线的上焦点， 则过双曲线的上焦点且垂直于实轴的直线的方程为， 把代入双曲线方程得，，得， 故． 故答案为：． 4.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，且该椭圆经过点，求椭圆的标准方程_____________________． 【答案】解：  因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为． 因为椭圆的两个焦点坐标分别是，，且点在椭圆上，所以由椭圆的定义知 ， 所以． 又因为，所以． 因此，所求椭圆的标准方程为．   【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程的求法，考查了椭圆的定义． 利用椭圆的定义可求出，再根据焦点坐标可求出，利用求出，可得椭圆标准方程． 5.已知椭圆长轴的两个端点到左焦点的距离分别是和，求椭圆的离心率______________________设是椭圆的一个焦点，是短轴，若，求椭圆的离心率_________________________． 【答案】解：由题意得： 设焦点坐标为，长轴两端点的坐标，， 焦点到椭圆长轴两端点的距离分别是，， ，， ，由椭圆的对称性可知， 是等边三角形， ，，， ，．  【解析】本题考查了椭圆的方程及其性质，考查了运算求解能力，属于基础题． 设焦点坐标为，则，从而可求出，，从而可得该椭圆的离心率； 由题意，得是等边三角形，则，进而求出，的关系，可得该椭圆的离心率． 6.设椭圆的两个焦点分别为，短轴的一个端点为． 若为直角，求椭圆的离心率___________________________；若为钝角，求椭圆离心率的取值范围_____________________________． 【答案】解：由已知条件可知， 由已知条件可知， ， 所以椭圆离心率．  【解析】本题考查椭圆标准方程及椭圆的性质及几何意义，属基础题目． 由已知分析得，可得离心率．  若为钝角，则，即，即可得离心率的取值范围． 7.船上两根高的桅杆相距，一条长的绳子两端系在桅杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧．假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，求绳子与甲板接触点到桅杆的距离____________________． 【答案】解：由题意，设为焦点，则运动轨迹为椭圆 ， 椭圆方程为： 当时，，解得 到距离．  【解析】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 由题意，设为焦点，则运动轨迹为椭圆，求出椭圆方程，即可求出绳子与甲板接触点到桅杆的距离． 8.已知探照灯的轴截面是抛物线如图，平行于轴的光线照射到抛物线上的点，反射光线经过抛物线的焦点后又照射到抛物线上的点试确定点的坐标____________________________． 【答案】解   因为抛物线的焦点为，所以直线的方程为 由于是抛物线与直线的公共点，解方程组得或舍去． 故点的坐标为   【解析】本题考查直线与抛物线的交点，属于基础题． 求直线的方程为联立方程组求解． 9.已知抛物线：与直线相交于、两点，线段中点的横坐标为，且抛物线的焦点到直线的距离为，分别求的值_____________________________________________． 【答案】解：抛物线，焦点， 直线：． 联立两个方程得：， ，，， 由题设可知，，， 再由焦点到直线的距离为，可得， ． 结合，可得：，或，．   【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 利用线段的中点横坐标为，可得，利用抛物线的焦点到直线的距离为，可得，即可得出结论． 10.求适合下列条件的双曲线的标准方程：一个焦点为，且经过点_______________________________________--- 与双曲线有相同的焦点，且经过点_____________________________________ 经过和两点_______________________________________________________________． 【答案】解：由题意可设双曲线的方程为． 双曲线经过点，，． 又，． 故所求双曲线的标准方程为． 由双曲线得， ，． 又因为所求双曲线经过点 ，两边平方，整理得， ． 故所求双曲线的标准方程为． 设双曲线的方程为，， 由所求双曲线经过和两点， 则有，解得 故所求双曲线的标准方程为．  【解析】本小题主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等基础知识，求双曲线的标准方程，先确定标准方程的形式，再根据条件求出 ，，属于基础题． 先根据条件求出，由双曲线的定义求出，可得，进而求出双曲线标准方程； 由题可得，根据条件得，得，从而即可得双曲线标准方程； 根据条件可设双曲线的方程为设双曲线的方程为，，则有，解之即可得双曲线标准方程． 三、解答题：本题共1小题，共12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题分 某种汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线的一段，灯口直径为，反光曲面的顶点到灯口的距离是由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线为了获得平行光线，应怎样安装灯泡精确到 【答案】解：如图，在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系，设抛物线方程为，灯应安装在其焦点处． 在轴上取一点，使，过作轴的垂线，交抛物线于，两点，就是灯口的直径，即，所以点坐标为 将点坐标代入方程，解得． 它的焦点坐标约为． 因此，灯泡应该安装在距顶点约处．  【解析】本题考查知识点为抛物线的性质及其几何意义，考查转换能力，属于基础题． 建立适当坐标系，将题设中的距离转化为抛物线上的点．应用待定系数法求得抛物线方程． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$