第一章集合与常用逻辑用语学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 【知识脉络】 【考点知识】 一、集合的概念与运算 1．集合的运算主要包括交集、并集和补集运算．这也是高考对集合部分的主要考查点．对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解． 2．掌握集合的概念与运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 二、充分条件与必要条件 1．若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件； 若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件． 2．掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养． 三、全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题．首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定． 2．通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等，培养逻辑推理和数学运算素养． 【考点突破】 例1　(1)已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m等于(　　) A．3 B．2 C．2或3 D．0或2或3 (2)已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． ①若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； ②是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？ 跟踪训练1　(1)(多选)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(　　) A．A∩B＝ B．A∩(∁RB)＝ C．A∪B＝ D．(∁RA)∪B＝R (2)已知集合M＝{(x，y)|y＝3x2}，N＝{(x，y)|y＝5x}，则M∩N中的元素个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 例2　(1)设x∈R，则“x>3或x<0”是“x>4”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 (2)设p：实数x满足A＝{x|x≤3a或x≥a(a<0)}．q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 跟踪训练2　(1)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x>1或x<－2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 (2)若－a<x<－1成立的一个充分不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________． 例3　(1)命题：“∀x∈R，x2≠x”的否定是(　　) A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2≠x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x (2)设命题p：∀x∈R，ax2＋x＋2>0，若綈p为假命题，则实数a的取值范围是________． 跟踪训练3　(1)命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是____________________________________________． (2)命题p：存在实数x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立．若命题p为真命题，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语 【知识脉络】 【考点突破】 一、集合的概念与运算 1．集合的运算主要包括交集、并集和补集运算．这也是高考对集合部分的主要考查点．对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解． 2．掌握集合的概念与运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 二、充分条件与必要条件 1．若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件； 若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件． 2．掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养． 三、全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题．首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定． 2．通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等，培养逻辑推理和数学运算素养． 例1　(1)已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m等于(　　) A．3 B．2 C．2或3 D．0或2或3 答案　D 解析　当m＝0时，方程mx－6＝0无解， B＝∅，满足B⊆A； 当m≠0时，B＝，因为B⊆A，所以＝2或＝3，解得m＝3或m＝2. (2)已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． ①若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； ②是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？ 解　①∵A＝{x|0≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x<0或x>2}． ∵(∁RA)∪B＝R， ∴∴－1≤a≤0. ∴a的取值范围为{a|－1≤a≤0}． ②由(1)知(∁RA)∪B＝R时， －1≤a≤0，而2≤a＋3≤3， ∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾． 即这样的a不存在． 跟踪训练1　(1)(多选)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(　　) A．A∩B＝ B．A∩(∁RB)＝ C．A∪B＝ D．(∁RA)∪B＝R 答案　AB 解析　因为A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}＝，∁RA＝{x|x≥2}，∁RB＝， 所以A∩B＝，A∩(∁RB)＝，A∪B＝{x|x<2}，(∁RA)∪B＝. (2)已知集合M＝{(x，y)|y＝3x2}，N＝{(x，y)|y＝5x}，则M∩N中的元素个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　联立解得或 因此M∩N中的元素个数为2. 例2　(1)设x∈R，则“x>3或x<0”是“x>4”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　B 解析　由x>3或x<0，推不出x>4， 但当x>4时，不等式x>3或x<0成立． (2)设p：实数x满足A＝{x|x≤3a或x≥a(a<0)}．q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解　∵q是p的充分不必要条件， ∴BA， ∴或 解得－≤a<0或a≤－4. ∴a的取值范围为. 跟踪训练2　(1)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x>1或x<－2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　A 解析　|x－2|<1⇔1<x<3， 由于{x|1<x<3}是{x|x>1或x<－2}的真子集， 所以“|x－2|<1”是“x>1或x<－2”的充分不必要条件． (2)若－a<x<－1成立的一个充分不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________． 答案　a>2 解析　根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系， 应有{x|－2<x<－1}{x|－a<x<－1}， 所以－a<－2，解得a>2. 例3　(1)命题：“∀x∈R，x2≠x”的否定是(　　) A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2≠x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x 答案　D 解析　先将“∀”改为“∃”，再否定结论，可得命题的否定为∃x∈R，x2＝x. (2)设命题p：∀x∈R，ax2＋x＋2>0，若綈p为假命题，则实数a的取值范围是________． 答案　a> 解析　因为綈p为假命题，所以命题p是真命题， 所以解得a>. 跟踪训练3　(1)命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是____________________________________________． 答案　所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0 解析　把“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定． (2)命题p：存在实数x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立．若命题p为真命题，求实数a的取值范围． 解　当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意； 当a≠0时，由题意可得ax2＋2x－1＝0有实根，得Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0. 综上可得a≥－1，即实数a的取值范围是{a|a≥－1}． 学科网（北京）股份有限公司 $$