湖南省衡阳市第八中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

1 八中 2024 年高一上第一次月考数学 一．选择题（共 8 小题，满分 40 分，每小题 5 分） 1．（5 分）已知集合 {2U = ，3，4，5，7}， {2A = ，3}， {3B = ，5，7}，则图中阴影部分表示的集合为 ( ) A．{2，3，5， 7} B．{2，3， 4} C．{2} D．{2，3，4，7} 2．（5 分）下列各式正确的个数是 ( ) ① 0={0}；②{0,1,2} {21 0} ，， ；③ {01,2} ， ；④{0,1} {(0,1)}= A．2 B．3 C．4 D．5 3．（5 分）命题“ x R  ，有 2 2 1 0x x+ +  ”的否定是 ( ) A． x R  ， 2 2 1 0x x+ +  B． x R  ， 2 2 1 0x x+ +  C． x R  ， 2 2 1 0x x+ +  D． x R  ， 2 2 1 0x x+ +  4．（5 分）下列命题中正确的是 ( ) A．若 a b ，则 2 2ac bc B．若 a b ，则 2 2a b C．若 0a b  ， 0m  ，则 b m b a m a +  + D．若 a b 且 0ab  ，则 1 1 a b  5．（5 分）已知条件 1 : 1p x  ，则使得条件 p 成立的一个充分不必要条件是 ( ) A． 1x  − B． 1x  C． 0x  或 1x  D． 0x  6．（5 分）已知集合 2{( , ) | 1}A x y y x= = − ， {( , ) | 1B x y x my= = + ， }m R ， A B C= ，若C 为单元素集 合时，则 ( ) A． 1 2 m = B． 2m = C． 0m = 或 1 2 m = D． 0m = 或 2m = 7．（5 分）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其 大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱 576，买竹子 78 根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每 根大竹子比小竹子贵 1 钱，问买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子 每根的单价可能为 ( ) A．6 钱 B．7 钱 C．8 钱 D．9 钱 2 8．（5 分）对于集合 A，B ，定义 \ { |A B x x A=  且 }x B ．若 { | 6 5A x x n= = + ， }n N ， { | 3 7B y y m= = + ， }m N ， { | ___C x x A B=  且 1000}x  ，以下说法正确的是 ( ) A．若在横线上填写“”则 C 的真子集有 122 1− 个 B．若在横线上填写“”则 C 中元素个数大于 250 C．若在横线上填写“ \ ”则 C 的非空真子集有 1532 2− 个 D．若在横线上填写“ N ”则 NC 中元素的个数为13个 二．多选题（共 3 小题，满分 18 分，每小题 6 分） 9．（6 分）已知集合 {1A = ，2， 2}a ， {1B = ， 2}a + ，若 B A ，则 a 的可能取值为 ( ) A． 1− B．0 C．1 D．2 10．（6 分）已知实数 x ， y 满足1 6x  ， 2 3y  ，则 ( ) A．3 9x y +  B． 1 3x y−  −  C． 2 18xy  D． 1 6 2 1 x y   − 11．（6 分）已知 0a  ， 0b  ，且3 2a b+ = ，则 ( ) A． ab的最大值为 1 3 B． 1 1 3a b + 的最大值是 2 C． 2 2 1 9 a b + 的最小值是 18 D． 1 2 a b a b + + + 的最小值是 2 2 2− 三．填空题（共 3 小题，满分 15 分，每小题 5 分） 12．（5 分）已知集合 {0A = ，1， 2}，写出一个满足 { 1A B = − ，0，1，2，3}的集合： B = ． 13．（5 分）已知命题 : [1p x  ， 2]， 2 2 0x x a− −  是假命题，则实数 a 的取值范围是 ． 14．（5 分）已知关于 x 的不等式 2 0(ax bx c a+ +  ，b ， )c R 的解集为 ( 4,1)− ，则 2 9c a b + + 的取值范围为 ． 四．解答题（共 5 小题，满分 77 分） 15．（13 分）已知集合 { | 2 2 }A x a x a= − + ， { | 1B x x= 或 4}x ． （1）当 3a = 时，求 A B； （2）若 0a  ，且“ x A ”是“ Rx B ”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 16．（15 分）已知函数 2( ) 2h x ax ax= + + ． （1）若对于任意 x R ，不等式 ( ) 1h x  − 恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）当 0a  时，解关于 x 的不等式 ( ) (1 ) 4h x a x − + ． 3 17．（15 分）（1）已知 x ， y 满足 4x y+ = ，是否存在正实数 x ， y ，使得 5xy = ？若存在，求出 x ， y 的 值；若不存在，请说明理由． （2）已知 , , ,a b c d R ，比较 2 2 2 2( )( )a b c d+ + 与 2( )ac bd+ 的大小并说明理由； （3）利用（2）的结论解决下面问题：已知 m，n 均为正数，且 2 2 5m n+ = ，求 2m n+ 的最大值. 18．（17 分）某工厂生产某种产品，其生产的总成本 y（万元）与年产量 x（吨 ) 之间的函数关系可近似地 表示为 2 1 20 40000 10 y x x= − + ．已知此工厂的年产量最小为 150 吨，最大为 250 吨． （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； （2）若每吨产品的平均出厂价为 24 万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？ 并求出最大利润． 19．（17 分）已知正整数集合 1(S a= ， 2a ，， }( 2, )na n n N ， 1 20 na a a   ，对任意 ia ， ja S ， 定义 1 1 ( , ) | |i j i j d a a a a = − ，若存在正整数 k ，使得对任意 ia ， ( )j i ja S a a  ，都有 2 1 ( , )i jd a a k ，则称集合 S 具有性质 kF ．记 ( )d S 是集合中的{ ( id a ， ) |j ia a ， }ja S 最大值． （1）判断集合 {1A = ，2，3}和集合 {4B = ，6}是否具有性质 3F ，直接写出结论； （2）若集合 S 具有性质 4F ，求证： 1 ( ) 16 n d S − ； （3）若集合 S 具有性质 kF ，求 n 的最大值． 4 八中 2024 年高一上第一次月考数学答案 一．选择题（共 8 小题，满分 40 分，每小题 5 分） 1．（5 分）已知集合 {2U = ，3，4，5，7}， {2A = ，3}， {3B = ，5，7}，则图中阴影部分表示的集合为 ( ) A．{2，3，5， 7} B．{2，3， 4} C．{2} D．{2，3，4，7} 【解答】解：集合 {2U = ，3，4，5，7}， {2A = ，3}， {3B = ，5，7}， 则图中阴影部分表示的集合为： ( ) {2UA B = ，3} {2 ， 4} {2}= ． 故选：C ． 2．（5 分）下列各式正确的个数是 ( ) ① 0={0}；②{0,1,2} {21 0} ，， ；③ {01,2} ， ；④{0,1} {(0,1)}= A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】A 3．（5 分）命题“ x R  ，有 2 2 1 0x x+ +  ”的否定是 ( ) A． x R  ， 2 2 1 0x x+ +  B． x R  ， 2 2 1 0x x+ +  C． x R  ， 2 2 1 0x x+ +  D． x R  ， 2 2 1 0x x+ +  【解答】B 4．（5 分）下列命题中正确的是 ( ) A．若 a b ，则 2 2ac bc B．若 a b ，则 2 2a b C．若 0a b  ， 0m  ，则 b m b a m a +  + D．若 a b 且 0ab  ，则 1 1 a b  【解答】D 5．（5 分）已知条件 1 : 1p x  ，则使得条件 p 成立的一个充分不必要条件是 ( ) A． 1x  − B． 1x  C． 0x  或 1x  D． 0x  【解答】A 5 6．（5 分）已知集合 2{( , ) | 1}A x y y x= = − ， {( , ) | 1B x y x my= = + ， }m R ， A B C= ，若C 为单元素集 合时，则 ( ) A． 1 2 m = B． 2m = C． 0m = 或 1 2 m = D． 0m = 或 2m = 【解答】解：因为集合 2{( , ) | 1}A x y y x= = − ， {( , ) | 1B x y x my= = + ， }m R ， A B C= ，若C 为单元素 集合， 则方程组 2 1 1 y x x my  = −  = + 只有唯一解， 所以 2( 1) 1y my= + − ，整理可得 2 2 (2 1) 0m y m y+ − = ， 当 0m = 时，方程变为 0 0y y− =  = ，此时 1x = ，符合题意； 当 0m  时， 2 2 1 (2 1) 4 0 0 2 m m m= − −  =  = ， 所以 0m = 或 1 2 m = ． 故选：C ． 7．（5 分）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其 大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱 576，买竹子 78 根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每 根大竹子比小竹子贵 1 钱，问买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子 每根的单价可能为 ( ) A．6 钱 B．7 钱 C．8 钱 D．9 钱 【解答】解：设买大竹子 x 根、小竹子为78 x− ， 小竹子每根 y 钱，则大竹子每根 1y + 钱， 由题意可得： (78 ) ( 1) 576x y x y− + + = ， 整理得 78 576x y+ = ， 576 78x y = − ， 由 0 78x ，得 576 78 0 576 78 78 y y −  − ，解得 83 96 13 13 y ， 由题意， x N ，可得 y N ，则 7y = ． 在这个问题中大竹子每根的单价可能为7 1 8+ = 钱． 故选：C ． 8．（5 分）对于集合 A，B ，定义 \ { |A B x x A=  且 }x B ．若 { | 6 5A x x n= = + ， }n N ， { | 3 7B y y m= = + ， }m N ， { | ___C x x A B=  且 1000}x  ，以下说法正确的是 ( ) 6 A．若在横线上填写“”则 C 的真子集有 122 1− 个 B．若在横线上填写“”则 C 中元素个数大于 250 C．若在横线上填写“ \ ”则 C 的非空真子集有 1532 2− 个 D．若在横线上填写“ N ”则 NC 中元素的个数为13个 【解答】解： 6 5 3(2 1) 2x n n= + = + + ，集合 A 中的元素被 3 除余 2； 3 7 3( 2) 1y m m= + = + + ，集合 B 中的元素被 3 除余 1， 选项 A： A B =，A 错误； 选项 B：6 5 1000n +  ，得 5 165 6 n  ，集合 A 中有 166 个元素，3 7 1000m +  ，得 331m  ，集合 B 中有 331 个元素，因此 C 中有 497 个元素，B 正确； 选项 C：C 中有 166 个元素，非空真子集有 1662 2− 个，C 错误； 选项 D： Nx A B  ，即 Nx B ，所以 NC B= ，其中元素有 331 个，D 错误. 故选： B ． 二．多选题（共 3 小题，满分 18 分，每小题 6 分） 9．（6 分）已知集合 {1A = ，2， 2}a ， {1B = ， 2}a + ，若 B A ，则 a 的可能取值为 ( ) A． 1− B．0 C．1 D．2 【解答】解：由集合 {1A = ，2， 2}a ， {1B = ， 2}a + ， B A ，得到 2 2a a= + 或 2 2a + = ， 解得： 1a = − 或 2a = ， 0a = ， 而 1a = − 时，不合题意，舍去， 则实数 a 的可能取值为 2 或 0． 故选： BD． 10．（6 分）已知实数 x ， y 满足1 6x  ， 2 3y  ，则 ( ) A．3 9x y +  B． 1 3x y−  −  C． 2 18xy  D． 1 6 2 1 x y   − 【解答】解：因为1 6x  ， 2 3y  ，则3 9x y +  ， 2 18xy  ，故 A、C 正确； 由题 3 2y−  −  − ，故 2 4x y−  −  ， B 错误； 1 1 2y −  ，则 1 1 1 2 1y   − ，故 1 6 2 1 x y   − ， D 正确． 故选： ACD ． 7 11．（6 分）已知 0a  ， 0b  ，且3 2a b+ = ，则 ( ) A． ab的最大值为 1 3 B． 1 1 3a b + 的最大值是 2 C． 2 2 1 9 a b + 的最小值是 18 D． 1 2 a b a b + + + 的最小值是 2 2 2− 【解答】解：因为 0a  ， 0b  ，且3 2a b+ = ，所以 2 3 2ab  ，所以 1 3 ab  ，当且仅当3 1a b= = 时等号 成立，则 A正确； 由题意可得 1 1 1 1 1 1 3 1 3 (3 )( ) ( 2) (2 2) 2 3 2 3 2 3 2 3 b a b a a b a b a b a b a b + = + + = + +    + = ，当且仅当3 1a b= = 时等号 成立，则 B 正确； 因为 1 3 ab  ，所以 2 2 1 9 6 18 a b ab +   ，当且仅当3 1a b= = 时等号成立，则C 正确； 对于 D ，由 0 2 3 0 a b a   = −  ，得 2 0 3 a  ， 1 1 1 1 (2 3 ) 2 2 2(2 ) 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 a b a a a a a b a a a a + + = + + − = + − = + − −  − + + − − − ， 当且仅当 1 2(2 ) 2 a a = − − ，当 2 2 2 a =  时， 2 2 2 2 3   ，矛盾，故等号取不到，故 D 错误． 故选： ABC ． 三．填空题（共 3 小题，满分 15 分，每小题 5 分） 12．（5 分）已知集合 {0A = ，1，2}，写出一个满足 { 1A B = − ，0，1，2，3}的集合：B = { 1− ，3}（答 案不唯一） ． 【解答】解：根据题意，只要是满足{ 1− ，3} { 1B  − ，0，1，2，3}的集合即可， 所以 { 1B = − ，3}． 故答案为：{ 1− ，3}（答案不唯一）． 13．（5 分）已知命题 : [1p x  ， 2]， 2 2 0x x a− −  是假命题，则实数 a 的取值范围是 ． 【解答】解：由题意，命题 : [1p x   ， 2]， 2 2 0x x a− −  是真命题， 所以 2 min( 2 ) 1a x x − = − 故答案为： 1a  − ． 14．（5 分）已知关于 x 的不等式 2 0(ax bx c a+ +  ，b ， )c R 的解集为 ( 4,1)− ，则 2 9c a b + + 的取值范围为 ． 【解答】解：关于 x 的不等式 2 0(ax bx c a+ +  ，b ， )c R 的解集为 ( 4,1)− ， 8 所以 0a  ，且-4 和 1 是关于 x 的方程 2 0ax bx c+ + = 的两实数根， 由根与系数的关系知， 1 4 4 b a c a  − = −  − =  ， 解得 3b a= ， 4c a= − ， 所以 2 2 99 16 9 4 3 4 c a a a b a a a + + = = + + + ，因为 0a  ，所以 ( 4 ) ( ) 2 ( 4 9 9 ) ( ) 6 4 4 a a a a − + −  −  − = 即 2 9 6 c a b +  − + 故答案为： (−， 6]− ． 四．解答题（共 5 小题，满分 77 分） 15．（13 分）已知集合 { | 2 2 }A x a x a= − + ， { | 1B x x= 或 4}x ． （1）当 3a = 时，求 A B； （2）若 0a  ，且“ x A ”是“ Rx B ”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 【解答】解：（1）当 3a = 时，集合 { | 2 2 } { | 1 5}A x a x a x x= − + = − ， { | 1B x x= 或 4}x ， { | 1 1A B x x = − 或 4 5}x ； （2） 若 0a  ，且“ x A ”是“ Rx B ”的充分不必要条件， { | 2 2 }( 0)A x a x a a= − +  ， { |1 4}R B x x=   ， RA B ，则 2 1 2 4 0 a a a −   +    解得 0 1a  ． 故 a 的取值范围是： (0,1)． 16．（15 分）已知函数 2( ) 2h x ax ax= + + ． （1）若对于任意 x R ，不等式 ( ) 1h x  − 恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）当 0a  时，解关于 x 的不等式 ( ) (1 ) 4h x a x − + ． 【解答】解：（1）由题意可得， 2 3 0ax ax+ +  对于任意 x R 恒成立， 当 0a = 时，得3 0 ，显然符合题意； 9 当 0a  时，得 2 0 12 0 a a a   = −  ，解得0 12a  ， 综上，实数 a 的取值范围是[0 ，12) ． （2）原不等式转化为 2 (2 1) 2 0ax a x+ − −  ，即 ( 1)( 2) 0ax x− +  ． 又 0a  ，不等式可化为 1 ( )( 2) 0x x a − +  ， 若 1 2 a  − ，即 1 0 2 a−   时，得 1 x a  或 2x  − ，即解集为 1 { | 2}x x x a −或 ； 若 1 2 a = − ，即 1 2 a = − 时，得 2x  − ，即解集为{ | 2}x x  − ； 若 1 2 a  − ，即 1 2 a  − 时，得 2x  − 或 1 x a  ，即解集为 1 { | 2 }x x x a − 或 ． 17．（15 分）（1）已知 x ， y 满足 4x y+ = ，是否存在正实数 x ， y ，使得 5xy = ？若存在，求出 x ， y 的 值；若不存在，请说明理由． （2）已知 , , ,a b c d R ，比较 2 2 2 2( )( )a b c d+ + 与 2( )ac bd+ 的大小并说明理由； （3）利用（2）的结论解决下面问题：已知 m，n 均为正数，且 2 2 5m n+ = ，求 2m n+ 的最大值. 【解答】解：（1）因为 4 2x y xy+ = ，所以 4xy ， 故不存在正实数 x ， y ，使得 5xy = ． （2） 2 2 2 2 2( )( ) ( )a b c d ac bd+ + − + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) 2 ( ) 0 a c a d b c b d a c abcd b d a d b c abcd ad bc = + + + − + + = + − = −  （3） 2 2 2 2 1(2 ) ( )(2 1 ) 25m n m n+  + + = ， 2 5m n+  所以 2m n+ 的最大值为 5 18．（17 分）某工厂生产某种产品，其生产的总成本 y（万元）与年产量 x（吨 ) 之间的函数关系可近似地 表示为 2 1 20 40000 10 y x x= − + ．已知此工厂的年产量最小为 150 吨，最大为 250 吨． （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； （2）若每吨产品的平均出厂价为 24 万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？ 并求出最大利润． 10 【解答】解：（1）由题意可得，生产每吨产品的平均成本为 4000 20 10 y x x x = + − ， [150x ， 250]， 又因为 4000 4000 20 2 20 20 10 10 x x x x + −   − = ， 当且仅当 4000 10 x x = ，即 200x = 时，等号成立， 所以年产量为 200 吨时，平均成本最低为 20 万元； （2）设利润为 ( )W x ， 则 2 21( ) 24 ( 20 4000) ( 220) 840 10 10 x W x x x x= − − + = − − + ， 又因为150 250x ， 所以当 220x = 时， ( ) 840maxW x = ． 即年产量为 220 吨时，最大利润为 840 万元． 19．（17 分）已知正整数集合 1(S a= ， 2a ，， }( 2, )na n n N ， 1 20 na a a   ，对任意 ia ， ja S ， 定义 1 1 ( , ) | |i j i j d a a a a = − ，若存在正整数 k ，使得对任意 ia ， ( )j i ja S a a  ，都有 2 1 ( , )i jd a a k ，则称集合 S 具有性质 kF ．记 ( )d S 是集合中的{ ( id a ， ) |j ia a ， }ja S 最大值． （1）判断集合 {1A = ，2，3}和集合 {4B = ，6}是否具有性质 3F ，直接写出结论； （2）若集合 S 具有性质 4F ，求证： 1 ( ) 16 n d S − ； （3）若集合 S 具有性质 kF ，求 n 的最大值． 【解答】解：（1）集合 {1A = ，2，3}，则 1(d a ， 2 2) (a d a= ， 1 1 1 1 1 ) | | 1 2 2 9 a = − = ， 1(d a ， 3 3) (a d= ， 1 1 1 2 1 ) | | 1 3 3 9 a = − = ， 2(d a ， 3 3) (a d= ， 2 1 1 1 1 ) | | 3 2 6 9 a = − = ， 故集合 A具有性质 3F ； {4B = ， 6}， 1(d b ， 2 2) (b d b= ， 1 1 1 1 1 ) | | 4 6 12 9 b = − =  ， 故集合 B 不具有性质 3F ． （2）证明：因为 1(S a= ， 2a ，， }( 2, )na n n N ， 1 20 na a a   ， 所以 1 2 1 1 1 0 na a a    ，故 ( id a ， 1 1 1 )j max n a a a = − ， 11 即 1 1 1 ( ) n d S a a = − ， 因为集合 S 具有性质 4F ，所以 ( id a ， 1 ) 16 ja ， 1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) | | | | ... | | ... 16 16 16 16n n n n d S a a a a a a a a− − = − = − + − + + − + + + = ． （3）因为集合 S 具有性质 kF ，则 2 1 ( , )i jd a a k ， 1 1a ， ia i ， *i N ， ( id a ， 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) | | | | | | ... | |n i n i n i i i i n n n i a a a a a a a a a a a k+ + + − − = − = − = − + − + + − ， 故 2 1 i n i a k −  ， 又 ia i ，故 1 1 ia i  ，即 2 1 n i i k −  ， *i N ， 所以 2 2 2( ) ( ) 2 4 i n i n k i n i + −  − = ， 当 n 为偶数时，当且仅当 i n i= − ，即 2n i= 时等号成立， 当 n 为奇数时，等号不成立， 2 1 [ ( )] 4 max n i n i − − = ， 故 2 2 1 4 n k −  ，即 2 24 1n k + ，所以 2 1n k − ； 综上所述： 2 1n k − ，故 n 的最大值为 2 1k − ． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/15 16:14:13 ；用户：高数；邮箱：15919 160797@xyh.com；学号：3712979 2